История развития и становления теории действительных чисел

История развития и становления теории действительных чисел.

n На первых этапах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов, дней, шагов. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать большие числа. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.

n Понятие числа зародилось в глубокой древности. На протяжении веков это понятие подвергалось расширению и обобщению.

n На первом этапе возникали понятия «больше» , «меньше» или «равно» . Вероятно, на этом же этапе развития люди стали складывать числа. Значительно позже они научились вычитать числа, затем умножать и делить их. Даже в средние века деление чисел считалось очень сложным и служило признаком чрезвычайно высокой образованности человека.

n n С открытием действий с числами или операций над ними возникла наука АРИФМЕТИКА. Спустя некоторое время Пифагор открыл неизмеримые отрезки, длины которых не могли выразить ни целым, ни дробным числом. В дальнейшем возникает понятие «геометрическое выражение» . Благодаря первым открытиям математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, а позднее и Европы пользовались иррациональными величинами. Однако их долгое время не признавали равноправными числами. Их признанию способствовало появление «Геометрии» Декарта.

n После стало известно, что любое число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. В 18 в. Л. Эйлер и И. Ламберт показали, что всякая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом.

n Действительные числа являются основой науки Арифметики, а также способствовали возникновению рациональных и иррациональных чисел.

N – множество натуральных чисел (образуем при счете предметов: 1, 2, 3, 4…) Z – множество целых чисел (образуют натуральные числа, им противоположные и 0: …-2; -1; 0; 1; 2…) Q – множество рациональных чисел (вида m/n, где m Є Z, n Є N: 1/3; -6, 75; 1/2, √ 16…) Любое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической дроби. Примеры: √ 16 = 4, 0; 1/3 = 0. 3333…= 0, (3); 1/2 = 0, 5; 8/13 = 0, 61538461…= 0, (615384) n

I – множество иррациональных чисел (например: √ 3; √ 7; π……. ) Любое иррациональное число нельзя представить в виде периодической дроби. Примеры: √ 3 ≈ 1, 73205080…; π ≈ 3, 1415926… Множество рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел (R)

n Действительное число (вещественное число) - любое положительное число, отрицательное число или нуль.

n n n Строгая теория д. ч. , которая позволяет определять иррациональные числа, исходя из рациональных, была развита лишь во 2 -й половине 19 в. трудами К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда и Г. Кантора. Множество всех д. ч. называется числовой прямой и обозначается R. Построение действительных чисел на основе бесконечных десятичных дробей было дано немецким математиком К. Вейрштрассом.

n n n Важнейшее свойство числовой прямой состоит в её непрерывности. Принцип непрерывности числовой прямой имеет несколько различных формулировок. Принцип Вейерштрасса: всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет (единственную) верхнюю грань. Принцип Дедекинда: всякое сечение в области д. ч. имеет рубеж. Принцип Кантора (принцип стягивающихся отрезков): всякая стягивающаяся система отрезков {[an, bn]} числовой прямой имеет единственное число, принадлежащее всем отрезкам.

R − 2, 74 Q Z 0 3 1 146 − 23 0, 2 9, 0(223) N