Истинное образование приходит не от книг и формул,

Скачать презентацию Истинное образование приходит не от книг и формул, Скачать презентацию Истинное образование приходит не от книг и формул,

Т-4. Основы теории графов.ppt

  • Количество слайдов: 30

>Истинное образование приходит не от книг и формул, но от сердца к сердцу, от Истинное образование приходит не от книг и формул, но от сердца к сердцу, от Учителя к ученику.

> Тема: Введение в теорию графов.       Вопросы: 1. Тема: Введение в теорию графов. Вопросы: 1. История возникновения теории графов. 2. Основные понятия теории графов. 3. Примеры использования теории графов.

>  Введение в теорию графов.  • Отцом теории графов (так же как Введение в теорию графов. • Отцом теории графов (так же как и топологии) является Эйлер (1707— 1782), решивший в 1736 г. широко известную в то время задачу, называвшуюся проблемой кёнигсбергских мостов.

>  Задача о кёнигсбергских мостах   Рисунок 1.  Парк в городе Задача о кёнигсбергских мостах Рисунок 1. Парк в городе Кенигсберге, 1736 г. В городе Кенигсберге было два острова, соединенных семью мостами с берегами реки Преголя и друг с другом так, как показано на рисунке. Задача состояла в следующем: найти маршрут прохождения всех четырех частей суши, который начинался бы с любой из них, кончался бы на этой же части и ровно один раз проходил по каждому мосту.

>Рисунок 2. Граф к задаче о кенигсбергских мостах Рисунок 2. Граф к задаче о кенигсбергских мостах

> • Эйлер обобщил постановку задачи и нашел  критерий существования обхода  (специального • Эйлер обобщил постановку задачи и нашел критерий существования обхода (специального мар шрута)у данного графа, а именно граф должен быть связным и каждая его вершина должна быть инцидентна (принадлежать) четному числу ребер. • Граф, показанный на рисунке, связный, но не каждая его вершина инцидентна (принадлежит) четному числу ребер.

>  Электрические цепи •  В 1847 г. Кирхгоф разработал теорию деревьев для Электрические цепи • В 1847 г. Кирхгоф разработал теорию деревьев для решения совместной системы линейных алгебраических уравнений, позволяющую найти значение силы тока в каждом проводнике (дуге) и в каждом контуре рассматриваемой электрической цепи.

>   Химические изомеры Занимаясь чисто практическими задачами органической химии,  Кэли в Химические изомеры Занимаясь чисто практическими задачами органической химии, Кэли в 1857 г. открыл важный класс графов, называемых деревьями. Он стремился перечислить изомеры предельных (насыщенных) углеводородов Сn Н 2 n+2 с данным числом n атомов углерода; Рисунок 4. Изобутан

>   В социальной психологии. В 1936 г. психолог Курт Левин высказал предположение, В социальной психологии. В 1936 г. психолог Курт Левин высказал предположение, что «жизненное пространство» индивидуума можно представить с помощью планарной карты 1). На такой карте области представляют различные типы деятельности человека, например, то, что он делает на работе, дома, или же его хобби. Карта и соответствующий ей граф.

>    В теории организаций Графы могут быть представлены не только в В теории организаций Графы могут быть представлены не только в строгой классической форме. Так жизненный цикл компании И. Адизеса представлен следующим форме. Жизненный цикл компании Адизеса.

> Функциональная организационная структура  (Директор)Функциональный руководитель  1 Функциональный  2 Функциональный Функциональная организационная структура (Директор)Функциональный руководитель 1 Функциональный 2 Функциональный 3 Функциональный руководитель Производственные подразделения

>Схема метро Схема метро

>    2. Основные понятия теории графов   • Теория графов 2. Основные понятия теории графов • Теория графов - раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств с заданными отношениями между их элементами. • Теория графов - раздел математики, особенность которого - геометрический подход к изучению объектов • Теория графов - математический язык для формализованного определения понятий, связанных с анализом и синтезом структур систем и процессов. • Мы остановимся на следующем: Теория графов раздел математики исследующий свойства конечного множества элементов с заданными связями и отношениями между ними с помощью математических и графических средств.

>  Граф - математическая модель взаимодействующих систем, имеющая вид системы точек, часть из Граф - математическая модель взаимодействующих систем, имеющая вид системы точек, часть из которых соединена отрезками. Графом называется пара (V, E), где V - конечное множество вершин, а E - набор неупорядоченных и упорядоченных пар рёбер Или другими словами, графом называется некоторое количество вершин (кружков)V, соединённых некоторым количеством рёбер или дуг E. - Вершина V Неориентированное ребро Е ребро Ориентированное ребро Е. дуга

>     Рисунок 4. Петля - ребро принадлежащее (инцедентное) одной вершине Рисунок 4. Петля - ребро принадлежащее (инцедентное) одной вершине (единственной). Петля ребро, соединяющее вершину саму с собой. Петля - ребро оба конца которых принадлежат одной и той же вершине. Может быть несколько петель Псевдограф — граф, содержащий петли

>  Таким образом, граф это система которая может рассматриваться как   Таким образом, граф это система которая может рассматриваться как множество кружков и множество соединяющих их линий. Обозначим граф G=(V, E). 1 2 1 2 3 4 3 4 Рисунок 1. Граф Ga. Рисунок 2. Граф Gb Рисунок. Граф G у которого V - количество вершин равно 4, а E – количество рёбер равно 3. Неориентированный граф - граф ребра которого не имеют направления (двусторонние) Граф Ga. – содержащий только ребра неориентированный граф. Орграф - ориентированный граф - граф ребра которого имеют некоторое направление. Граф Gb - содержащий только дуги - ориентированный, или орграф.

>  Если две вершины соединены ребром е, то говорят, что они смежны между Если две вершины соединены ребром е, то говорят, что они смежны между собой, а ребро e принадлежит (инцидентно) каждой из них. Количество ребер графа, принадлежащих (инцидентных) вершине называется степенью данной вершины. Для ориентированного графа выделяют входящую степень, равную количеству входящих ребер и исходящую степень, равную количеству исходящих ребер, а степенью вершины в таком случае называют сумму ее входящей и исходящей степени. Вершины, имеющие степень 0 называют изолированными. (Примечание: в социометрии степень вершины называется социометрическим статусом личности. Рассчитывается по специальной формуле. ) 1 2 5 4 3 Рисунок 3. Для орграфа на рис. 3 входящие степени вершин 1, 2, 3, 4, 5 равны соответственно 0, 1, 1, 1, 0, исходящие - 2, 0, 0, 1, 0. Степени вершин, получаемые сложением входящих и исходящих степеней равны 2, 1, 1, 2, 0. Таким образом, вершина 5 изолированная. ( Как называется изолированная вершина в социометрии ? ) (Как называется степень вершины в социометрии? )

>       Рисунок 5. Граф называется разреженным, если общее Рисунок 5. Граф называется разреженным, если общее количество ребер значительно меньше их возможного количества. Рисунок 6. Граф называется полным если он содержит максимально возможное количество рёбер.

>      Путь в орграфе     Путь в орграфе 5 6 1 2 3 8 9 4 7 Рисунок 7. Путь в орграфе — это последовательность вершин v 1, v 2, …, vn, для которой существуют дуги e 1 -> e 2, e 2 -> e 3, …, en-1. Говорят, что этот путь начинается в вершине v 1, проходит через вершины v 2, v 3, …, vn- 1, и заканчивается в вершине vn. На рисунке 7. путь это последовательность вершин 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9. Длина пути — это количество дуг, составляющих путь. На рисунке 7. длина пути равна 6. Вершина 1 - начало пути, вершина 9 - конец пути Путь называется простым, если он содержит каждую из вершин не более одного раза.

>      Цикл     5  6 Цикл 5 6 1 2 3 8 9 4 7 Рисунок 7 • Циклом называется путь из некоторой вершины в эту же вершину, содержащий хотя бы одно ребро. На рисунке 7. Путь 1, 2, 5, 1. – цикл. • Цикл простой, если в нем нет повторяющихся вершин (за исключением начальной (конечной), которая является первой и последней вершиной пути).

>     Дерево       Связный граф Дерево Связный граф без циклов называется деревом. Важный класс графов составляют ориентированные деревья. Рисунок 8. Определение. Ориентированный граф G называется ориентированным деревом, если выполняются следующие условия: 1. существует в точности одна вершина (корень), полустепень захода которой равна нулю; 2. полустепень захода любой вершины, кроме корня, равна единице, 3. для любой вершины v, отличной от корня, существует путь из корня в эту вершину. Отметим одно свойство ориентированных деревьев: для любой вершины vn v 0 существует единственный путь из v 0 в vn.

>  Граф называется двудольным, если множество его вершин V можно разбить на непересекающиеся Граф называется двудольным, если множество его вершин V можно разбить на непересекающиеся подмножества V 1 и V 2 так, что никакие две вершины одного подмножества не смежны. Пример двудольного графа на рис. 9. 1 2 3 4 Рисунок 9. Пример: смежные специальности. Кто какие должности (функции) может совмещать? Кому следует увеличить денежные выплаты?

>     Матричное и табличное представление графов.   Геометрическое представление Матричное и табличное представление графов. Геометрическое представление графов, являясь наглядным, трудно поддается математической обработке, поэтому необходимо его формализовать и представить определение графа в более общем, абстрактном виде. Вершины V V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 1 + V 2 + + V 3 + + V 4 + V 5 + Рисунок 17. Граф G. Матричное представление графа G. Степени вершин 3 2 4 2 2 Табличное представление графа G. + входящая дуга; исходящая дуга; Пример: Вершины – сотрудники. У кого максимальная нагрузка, у кого минимальная?

>  Транспортные задачи 1.  Транспортные коммуникации 2.  Информационные коммуникации 3. Транспортные задачи 1. Транспортные коммуникации 2. Информационные коммуникации 3. Сети снабжения и т. п. 5 6 1 2 3 8 9 4 7

>Управление проектами Сетевое планирование Управление проектами Сетевое планирование

> Технологические задачи Где слабое звено? Пример: Академик Кошкин – роторные линии.  Технологические задачи Где слабое звено? Пример: Академик Кошкин – роторные линии.

>    Модели организационных структур Структура административной подчинённости службы УП руководителю организации Модели организационных структур Структура административной подчинённости службы УП руководителю организации Руководитель организации НИОКР Производство Реализация Администрирование Планирование Финансы и учёт Организация Служба управления персоналом

>    В социометрии Таблица. Основные типы неформальных структур - представлена виде В социометрии Таблица. Основные типы неформальных структур - представлена виде графов. Число Номер типа структуры (графа). членов группы 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

>   Структура неформальных отношений в студенческой группе   представлена в виде Структура неформальных отношений в студенческой группе представлена в виде социограммы.

>социограмма социограмма