Истинное образование приходит не от книг и формул,

Истинное образование приходит не от книг и формул, но от сердца к сердцу, от Учителя к ученику.

Тема: Введение в теорию графов. Вопросы: 1. История возникновения теории графов. 2. Основные понятия теории графов. 3. Примеры использования теории графов.

Введение в теорию графов. • Отцом теории графов (так же как и топологии) является Эйлер (1707— 1782), решивший в 1736 г. широко известную в то время задачу, называвшуюся проблемой кёнигсбергских мостов.

Задача о кёнигсбергских мостах Рисунок 1. Парк в городе Кенигсберге, 1736 г. В городе Кенигсберге было два острова, соединенных семью мостами с берегами реки Преголя и друг с другом так, как показано на рисунке. Задача состояла в следующем: найти маршрут прохождения всех четырех частей суши, который начинался бы с любой из них, кончался бы на этой же части и ровно один раз проходил по каждому мосту.

Рисунок 2. Граф к задаче о кенигсбергских мостах

• Эйлер обобщил постановку задачи и нашел критерий существования обхода (специального мар шрута)у данного графа, а именно граф должен быть связным и каждая его вершина должна быть инцидентна (принадлежать) четному числу ребер. • Граф, показанный на рисунке, связный, но не каждая его вершина инцидентна (принадлежит) четному числу ребер.

Электрические цепи • В 1847 г. Кирхгоф разработал теорию деревьев для решения совместной системы линейных алгебраических уравнений, позволяющую найти значение силы тока в каждом проводнике (дуге) и в каждом контуре рассматриваемой электрической цепи.

Химические изомеры Занимаясь чисто практическими задачами органической химии, Кэли в 1857 г. открыл важный класс графов, называемых деревьями. Он стремился перечислить изомеры предельных (насыщенных) углеводородов Сn Н 2 n+2 с данным числом n атомов углерода; Рисунок 4. Изобутан

В социальной психологии. В 1936 г. психолог Курт Левин высказал предположение, что «жизненное пространство» индивидуума можно представить с помощью планарной карты 1). На такой карте области представляют различные типы деятельности человека, например, то, что он делает на работе, дома, или же его хобби. Карта и соответствующий ей граф.

В теории организаций Графы могут быть представлены не только в строгой классической форме. Так жизненный цикл компании И. Адизеса представлен следующим форме. Жизненный цикл компании Адизеса.

Функциональная организационная структура (Директор)Функциональный руководитель 1 Функциональный 2 Функциональный 3 Функциональный руководитель Производственные подразделения

Схема метро

2. Основные понятия теории графов • Теория графов - раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств с заданными отношениями между их элементами. • Теория графов - раздел математики, особенность которого - геометрический подход к изучению объектов • Теория графов - математический язык для формализованного определения понятий, связанных с анализом и синтезом структур систем и процессов. • Мы остановимся на следующем: Теория графов раздел математики исследующий свойства конечного множества элементов с заданными связями и отношениями между ними с помощью математических и графических средств.

Граф - математическая модель взаимодействующих систем, имеющая вид системы точек, часть из которых соединена отрезками. Графом называется пара (V, E), где V - конечное множество вершин, а E - набор неупорядоченных и упорядоченных пар рёбер Или другими словами, графом называется некоторое количество вершин (кружков)V, соединённых некоторым количеством рёбер или дуг E. - Вершина V Неориентированное ребро Е ребро Ориентированное ребро Е. дуга

Рисунок 4. Петля - ребро принадлежащее (инцедентное) одной вершине (единственной). Петля ребро, соединяющее вершину саму с собой. Петля - ребро оба конца которых принадлежат одной и той же вершине. Может быть несколько петель Псевдограф — граф, содержащий петли

Таким образом, граф это система которая может рассматриваться как множество кружков и множество соединяющих их линий. Обозначим граф G=(V, E). 1 2 1 2 3 4 3 4 Рисунок 1. Граф Ga. Рисунок 2. Граф Gb Рисунок. Граф G у которого V - количество вершин равно 4, а E – количество рёбер равно 3. Неориентированный граф - граф ребра которого не имеют направления (двусторонние) Граф Ga. – содержащий только ребра неориентированный граф. Орграф - ориентированный граф - граф ребра которого имеют некоторое направление. Граф Gb - содержащий только дуги - ориентированный, или орграф.

Если две вершины соединены ребром е, то говорят, что они смежны между собой, а ребро e принадлежит (инцидентно) каждой из них. Количество ребер графа, принадлежащих (инцидентных) вершине называется степенью данной вершины. Для ориентированного графа выделяют входящую степень, равную количеству входящих ребер и исходящую степень, равную количеству исходящих ребер, а степенью вершины в таком случае называют сумму ее входящей и исходящей степени. Вершины, имеющие степень 0 называют изолированными. (Примечание: в социометрии степень вершины называется социометрическим статусом личности. Рассчитывается по специальной формуле. ) 1 2 5 4 3 Рисунок 3. Для орграфа на рис. 3 входящие степени вершин 1, 2, 3, 4, 5 равны соответственно 0, 1, 1, 1, 0, исходящие - 2, 0, 0, 1, 0. Степени вершин, получаемые сложением входящих и исходящих степеней равны 2, 1, 1, 2, 0. Таким образом, вершина 5 изолированная. ( Как называется изолированная вершина в социометрии ? ) (Как называется степень вершины в социометрии? )

Рисунок 5. Граф называется разреженным, если общее количество ребер значительно меньше их возможного количества. Рисунок 6. Граф называется полным если он содержит максимально возможное количество рёбер.

Путь в орграфе 5 6 1 2 3 8 9 4 7 Рисунок 7. Путь в орграфе — это последовательность вершин v 1, v 2, …, vn, для которой существуют дуги e 1 -> e 2, e 2 -> e 3, …, en-1. Говорят, что этот путь начинается в вершине v 1, проходит через вершины v 2, v 3, …, vn- 1, и заканчивается в вершине vn. На рисунке 7. путь это последовательность вершин 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9. Длина пути — это количество дуг, составляющих путь. На рисунке 7. длина пути равна 6. Вершина 1 - начало пути, вершина 9 - конец пути Путь называется простым, если он содержит каждую из вершин не более одного раза.

Цикл 5 6 1 2 3 8 9 4 7 Рисунок 7 • Циклом называется путь из некоторой вершины в эту же вершину, содержащий хотя бы одно ребро. На рисунке 7. Путь 1, 2, 5, 1. – цикл. • Цикл простой, если в нем нет повторяющихся вершин (за исключением начальной (конечной), которая является первой и последней вершиной пути).

Дерево Связный граф без циклов называется деревом. Важный класс графов составляют ориентированные деревья. Рисунок 8. Определение. Ориентированный граф G называется ориентированным деревом, если выполняются следующие условия: 1. существует в точности одна вершина (корень), полустепень захода которой равна нулю; 2. полустепень захода любой вершины, кроме корня, равна единице, 3. для любой вершины v, отличной от корня, существует путь из корня в эту вершину. Отметим одно свойство ориентированных деревьев: для любой вершины vn v 0 существует единственный путь из v 0 в vn.

Граф называется двудольным, если множество его вершин V можно разбить на непересекающиеся подмножества V 1 и V 2 так, что никакие две вершины одного подмножества не смежны. Пример двудольного графа на рис. 9. 1 2 3 4 Рисунок 9. Пример: смежные специальности. Кто какие должности (функции) может совмещать? Кому следует увеличить денежные выплаты?

Матричное и табличное представление графов. Геометрическое представление графов, являясь наглядным, трудно поддается математической обработке, поэтому необходимо его формализовать и представить определение графа в более общем, абстрактном виде. Вершины V V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 1 + V 2 + + V 3 + + V 4 + V 5 + Рисунок 17. Граф G. Матричное представление графа G. Степени вершин 3 2 4 2 2 Табличное представление графа G. + входящая дуга; исходящая дуга; Пример: Вершины – сотрудники. У кого максимальная нагрузка, у кого минимальная?

Транспортные задачи 1. Транспортные коммуникации 2. Информационные коммуникации 3. Сети снабжения и т. п. 5 6 1 2 3 8 9 4 7

Управление проектами Сетевое планирование

Технологические задачи Где слабое звено? Пример: Академик Кошкин – роторные линии.

Модели организационных структур Структура административной подчинённости службы УП руководителю организации Руководитель организации НИОКР Производство Реализация Администрирование Планирование Финансы и учёт Организация Служба управления персоналом

В социометрии Таблица. Основные типы неформальных структур - представлена виде графов. Число Номер типа структуры (графа). членов группы 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Структура неформальных отношений в студенческой группе представлена в виде социограммы.

социограмма