Исследовательская работа по математике ученицы 7 «а» класса гимназии № 7 г. Лыткарина М. о. ДАНИЕЛЯН МАРИИ
Актуальность выбранной темы. В шестом классе мы проходили понятия делителей, кратных, наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Мы решали немного простых задач, а потом применяли эти понятия для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Но учительница говорила нам, что НОД и НОК применяются и в других случаях. Мне стало интересно, и я решила выяснить, при решении задач какого типа используются НОД и НОК. Вот что я узнала…
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ I. Определения и свойства. II. Общие делители и НОД при поиске решения задач. III. Использование общего кратного и НОК. IV. Применение делимости чисел и пропорциональности величин при решении задач методом подобия.
I. Определения и свойства. 1) Наибольшим общим делителем (НОД) данных чисел называется самое большое число, на которое делятся все эти числа. НОД данных чисел делится на любой общий делитель этих чисел. Целые числа называются взаимно простыми, если их НОД равен 1. 2) Свойства простых чисел 1. 2. 3. 4. 5. Если (a∙b) : c, a b и c взаимно просты, то a : c. Если a : c и a : b, а числа c и b взаимно просты, то a : (c∙b). Если p : a, причём p – простое, a – натуральное число, то p = a. Всякое целое число a или делится на простое число p, или взаимно просто с ним. Если (a∙b) : p, и p – простое число, то либо a : p, либо b : p.
НОК 3) Целое число с, являющееся кратным каждого из чисел называется их общим кратным Наименьшим общим кратным (НОК) данных чисел называется наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из этих чисел. НОК обладает следующим свойством: любое общее кратное чисел делится на их меньшее общее кратное. Для любых целых чисел a и b верно равенство: ׀ a∙b = ׀ НОД (a, b) ∙ НОК (a, b).
II. Общие делители и НОД при поиске решения задач. При решении текстовых задач с использованием делимости основная трудность заключается в том, чтобы увидеть, что данные и искомые должны выражаться целыми числами. Кроме того, значения искомых бывают ограниченным соображениями здравого смысла, связанными с содержанием задачи и личностным опытом учащегося. ПРИМЕР: Ученики 5 «А» класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них? Решение: • Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т. е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем: 203 = 1 ∙ 7 ∙ 29. • Из практических соображений следует, что учебников не может быть 29. также число учебников не может равняться 1, т. к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников. Ответ: 29 пятиклассников; 7 учебников
Общие делители и НОД при поиске решения задач. Несколько человек должны были заплатить поровну всего 72 рубля. Если бы их было тремя меньше, то каждому пришлось заплатить 4 рублями больше. Сколько их было? Решение: Количество человек n выражается числом, которое является делителем числа 72. Делителем числа 72 должно быть и число (n – 3). Выпишем такие пары делителей числа 72: (4; 1), (6; 3), (9; 6), (12; 9). Единственной парой, удовлетворяющей второму условию задачи, является пара (9; 6), т. к. (72 : 6 – 72: 9 = 4). Ответ: 9 человек.
Общие делители и НОД при поиске решения задач. Имеется 60 апельсинов, 165 орехов и 225 конфет. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса? Что войдёт в каждый набор? Решение: Количество подарков должно быть делителем каждого из чисел, выражающих количество апельсинов, конфет и орехов, причем наибольшим из этих чисел. Поэтому надо найти НОД данных чисел. НОД (60, 175, 225) = 15. Каждый подарок будет содержать: 60 : 15 = 4 – апельсина, 175 : 15 = 11 – орехов и 225 : 15 = 15 – конфет. Ответ: В одном подарке – 4 апельсина, 11 орехов, 15 конфет.
III. Использование общего кратного и НОК. Дополнительные трудности, которые возникают при решении задач с использованием понятий общего кратного и НОК, связаны с тем, что в отличие от общих делителей количество общих кратных бесконечно, поэтому бывает необходимо использовать либо соображения здравого смысла, либо особенности условия каждой конкретной задачи, чтобы сократить перебор. ПРИМЕР: В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, ½ - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ? Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42 : 7 + 42 : 3 + 42 : 2) = 1 – 1 неуспевающий. Математические отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т. д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42. Ответ: 1 работа.
III. Использование общего кратного и НОК. В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе? Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное кол-во детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Единственным возможным вариантом оказалась пара (34, 36). Ответ: В первом классе – 34 ученика, во втором классе – 36 учеников.
III. Использование общего кратного и НОК. Два ученика вышли одновременно из пункта А; шаг одного из них 60 см, а другого – 69 см. В первый раз их шаги совпали через 15 с после начала движения, а после 5 мин движения их шаги совпали в пункте В. Определите расстояние от А до В. Решение: НОК (60; 69) = 1380 (см) – расстояние, которое они прошли за 15 секунд. 5 мин = 300 сек = 15 сек ∙ 20. Таким образом, расстояние от А до Я составляет : 1380 ∙ 20 = 27600 (см) = 276 (м). Ответ: 276 м.
III. Использование общего кратного и НОК. На столе лежат книги, которые нужно упаковывать. Если их связывать по 4, по 5 или по 6 в пачку, то каждый раз остаётся 1 лишняя книга, а если связывать по 7 книг в пачку, лишних книг не останется. Каково наименьшее количество книг, которые могли быть на столе? Решение: Обозначим буквой n число книг на столе, тогда по условию задачи (n – 1) делится на 4, 5, 6. А само n делится на 7. Рассмотрим последовательность чисел общих кратных 4, 5, 6. Это числа: 60, 120, 180, 240, 300, 360, … Наше искомое число на единицу больше одного из этих чисел, т. е. находится среди чисел последовательности: 61, 121, 181, 241, 301, 361… Кроме того, известно, что это число делится на 7. Наименьшим из таких чисел является число 301. Ответ: 301.
IV. Применение делимости чисел и пропорциональности величин при решении задач методом подобия. Метод подобия – метод, охватывающий широкий спектр задач. Методом подобия очень часто пользуются люди, не знакомые с теорией арифметики, называя его «примерным расчетом» . Метод подобия используется в том случае, когда в условии задачи имеются пропорциональные величины. Эти задачи обладают большим разнообразием и требуют каждый раз определённой выдумки, смекалки. Нецелесообразно изучать метод подобия какую-либо «теорию» , гораздо продуктивнее и интереснее познакомиться с применением этого метода в процессе решения различных задач.
IV. Применение делимости чисел и пропорциональности величин при решении задач методом подобия Расстояние между станциями А и В пассажирский поезд проходит на 45 мин. быстрее, чем товарный. Определить расстояние между станциями, если известно, что скорость движения пассажирского поезда равна 48 км/ч, а товарного – 36 км/ч. Решение: Предположим, что расстояние между станциями равно 144 км (144 = НОК (48; 30)). Тогда имеем: 1) 144 : 48 = 3 (ч); 2) 144 : 36 = 4 (ч); 3) 4 – 3 = 1 (ч). По условию задачи, разность во времени движения поездов составляет 45 мин ( ¾ ч). Отсюда получаем отношение: 1 : ¾ = 144 : x; x = 108. Ответ: 108 км.
IV. Применение делимости чисел и пропорциональности величин при решении задач методом подобия Какова стоимость роз, лилий и хризантем в букете, если за розы заплатили 1/3, за лилии – ¼, за хризантемы – 1/5 стоимости букета и 26 рублей за упаковку. Решение: Предположим, что стоимость букета выражается целым числом. Возьмем наименьшее из таких чисел: НОД (3, 4, 5) = 60. В таком случае за упаковку пришлось бы заплатить: 60 – (60 : 4 + 60 : 3 + 60 : 5) = 13 (р. ), что не соответствует условию задачи. Составим отношение подобия: 26 : 13 = 2 : 1. В качестве цены букета возьмем число в 2 раза большее, чем 60, т. е. 120. Тогда стоимость упаковки составила бы: 120 – (120 : 3 + 120 : 4 + 120 : 5) = 26 (р. ), что соответствует условию задачи. Ответ: Розы стоили 40 р. , лилии – 30 р. , хризантемы -24 р.
IV. Применение делимости чисел и пропорциональности величин при решении задач методом подобия ЗАДАЧА ВЕЛИКОГО ФРАНЦУЗСКОГО МАТЕМАТИКА БЕЗУ. По контракту работнику причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый необработанный день с него взыскивают 12 франков. Через 30 дней работник узнал, что ему ничего не причитается. Сколько дней проработал работник в течение этих 30 дней? Решение: Предположим, что работник проработал 1 день, тогда он заработал бы 48 франков. Значит, чтобы у него вычли эту сумму, ему необходимо 4 дня не работать. Таким образом, «нулевой» цикл составляет 5 дней. Составим отношение: 5 дн. : 1 дн. = 30 дн. : x = 6 дн. Ответ: 6 дней
Выводы. • Изучая математическую литературу, я узнала, как много различных видов задач можно решить, используя понятия общих делителей, общих кратных, а также НОД и НОК. • Конечно, встретились и более трудные задачи, для решения которых мне не хватило имеющихся знаний. Может, кто из старшеклассников продолжит эту интересную тему?
Скачать презентацию Исследовательская работа по математике ученицы 7 а класса
исслед-работа.ppt