Исследование функций Основные свойства функции

Исследование функций Основные свойства функции • Функция одной переменной y=f(x) – это правило, по которому каждому значению независимой переменной х соответствует одно и только одно значение функции y. • Переменная x называется независимой переменной или аргументом. • Множество всех x данной функции называется областью определения функции — D(f). • Переменная y называется зависимой переменной или функцией. • Множество всех у данной функции называется областью значения функции — Е(f). • Основные свойства функции: четность; 1 ограниченность функции (ее предел).

Исследование функций Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований Геометрические преобразования При изменении АРГУМЕНТА САМОЙ функции ФУНКЦИИ 2

Исследование функций Монотонность функции Пусть функция f непрерывна на отрезке [а, b] и имеет положительную (отрицательную) производную на (а, b). Тогда функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b]. 19

Исследование функций Монотонность функции У функции у=х производная х =1. И она возрастает на всей числовой оси. Для функции у=х2 производная у =2 х отрицательная при х<0 и положи- тельная при х>0. Функция убывает на участке (-∞, 0) и возрастает на участке (0, +∞). 21

Исследование функций Максимумы и минимумы Точка х0 называется точкой локального максимума функции f(x), если найдется такая окрестность точки х0, в которой f(x) определена, что для любой точки х из этой окрестности выполняется f(x)≤ f(x 0), и локального минимума, если f(x) ≥ f(x 0). Локальный максимум или локальный минимум называется локальным экстремумом. 22

Исследование функций Максимумы и минимумы Теорема Ферма. Если функция f(x) достигает в точке х0 локального экстремума и в этой точке существует производная f, то f (x 0)=0. 23

Исследование функций Максимумы и минимумы Условие равенства нулю производной есть необходимое (но недостаточное) условие экстремума: • в точке экстремума может не быть производной; • точка, производная в которой равна нулю, может не быть точка экстремума 24

Исследование функций Максимумы и минимумы Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными или точками, «подозрительными на экстремум» . Если функция непрерывна в окрестностях точки x 0 и имеет производную f (x)≥ 0 слева от точки x 0 и f (x) ≤ 0 справа от точки x 0 , то x 0 есть точка максимума (если знаки чередуются в обратном порядке, то x 0 есть точка минимума. 25

Исследование функций Максимумы и минимумы 26

Исследование функций Максимумы и минимумы Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке x 0 и: f (x 0)=0. Если при этом вторая производная: f (x 0)<0, то точка x 0 — точка максимума, f (x 0)>0, то точка x 0 — точка минимума. 27