Исследование функций одной переменной Ø Асимптоты вертикальные горизонтальные

Исследование функций одной переменной Ø Асимптоты (вертикальные, горизонтальные, наклонные). Исследование на наличие асимптот. Ø Возрастание и убывание функций. Ø Выпуклость функций. Точки перегиба. Ø Максимум и минимум функций. Ø Общая схема исследования функций. Построение графиков.

Вертикальная асимптота Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0 (исключая, быть может, саму эту точку) и хотя бы один из пределов или. Тогда x= x 0 является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x). Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения y y=ln x x x= 0 – вертикальная асимптота графика функции y=lnx

Горизонтальная асимптота Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших x и. Тогда прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x). Если конечен только один из пределов или то функция имеет лишь левостороннюю y=bл или правостороннюю y=bп горизонтальную асимптоту. y y= 0 – левосторонняя горизонтальная асимптота графика функции x

Наклонная асимптота Если функция может иметь наклонную асимптоту. Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших x и существуют конечные пределы и. Тогда y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x). Если y=kx+b –наклонная асимптота, то Из того, что Наклонная асимптота так же может быть правосторонней или левосторонней.

Исследование на наличие асимптот Так как , то вертикальных асимптот нет y=0 – горизонтальная левосторонняя асимптота

Исследование на наличие асимптот Так как и x=1 – вертикальная асимптота при y=x+1 – наклонная асимптота при , то

Возрастание и убывание функции (необходимое условие возрастания и убывания функции) Если дифференцируемая на интервале (a, b) функция y=f(x) возрастает (убывает), то для. Пусть функция y=f(x) возрастает на интервале (a, b). так как: если , то По условию функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a, b)

Возрастание и убывание функции необходимого условия возрастания и убывания функции Касательная к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положительным направлением оси ОX или в некоторых точках параллельны оси ОХ.

Возрастание и убывание функции (достаточное условие монотонности функции) Если функция y=f(x) дифференцируемая на интервале (a, b) и , то эта функция возрастает (убывает) на интервале (a, b). Пусть Возьмем некоторые точки Применим к отрезку Пусть теорему Лагранжа: , где Так как для возрастает на интервале (a, b). по определению функция y=f(x)

Выпуклость функции Отрезком называется множество точек, удовлетворяющих равенству

Выпуклость функции Функция y=f(x) называется выпуклой вниз (вогнутой) на промежутке X, если для любых двух значений из этого промежутка выполняется неравенство y=f(x) Если функция выпукла вниз, то отрезок, соединяющий любые точки графика, целиком лежит над графиком функции.

Выпуклость функции Функция y=f(x) называется выпуклой вверх (выпуклой) на промежутке X, если для любых двух значений из этого промежутка выполняется неравенство y=f(x) Если функция выпукла вниз, то отрезок, соединяющий любые точки графика, целиком лежит под графиком функции.

Выпуклость функции И теоремы Ролля (теоремы о среднем) следует, что функция y=f(x) в точке выпукла вверх (вниз) , если существует окрестность точки такая, что для всех точек этой окрестности касательная к графику функции в точке расположена выше (ниже) самой кривой.

Выпуклость функции (достаточное условие выпуклости функции вверх(вниз)) Если функция y=f(x) имеет то эта функция выпукла вниз(вверх) на интервале (a, b) Пусть Рассмотрим , такую что точка принадлежит графику. Проведем через точку М касательную и покажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Сравним y=f(x) c ординатой ее касательной: По теореме Лагранжа

Выпуклость функции По теореме Лагранжа Если График функции выпуклый вверх. y=f(x)

Точки перегиба Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх. (достаточное условие существования точки перегиба) Если при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует меняет знак, то точка является точкой перегиба ее графика.

Максимум и минимум функции Точка если называется точкой максимума функции y=f(x), Точка если называется точкой минимума функции y=f(x), Максимум(минимум) функции называется экстремумом функции. Функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения. Поэтому часто экстремум функции называют локальным экстремумом.

Максимум и минимум функции (необходимое условие экстремума) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю, то есть. Пусть точка максимума функции y=f(x). По определению точки максимума если , то По условию функция y=f(x) дифференцируема Переходя к пределу при Поэтому , получим если

Максимум и минимум функции Теорема обратная необходимому условию экстремума не верна. y 0 x x=0 не является точкой экстремума Существуют функции, которые в точке экстремума не имеют производной. y 0 x x=0 является точкой минимума Функция не имеет производной в точке x=0

Максимум и минимум функции Для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.

Максимум и минимум функции (1 -ое достаточное условие экстремума) Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируема в некоторой - окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с пляса на минус, то - точка максимума; с минуса на плюс, то - точка минимума. Рассмотрим - окрестность точки . Пусть Тогда согласно достаточному условию монотонности функция y=f(x) возрастает на интервале и убывает на интервале - точка максимума функции y=f(x) .

Максимум и минимум функции - точка максимума - точка минимума

Максимум и минимум функции Найти область определения функции y=f(x) Найти критические точки функции y=f(x) Выбрать те, которые являются внутренними точками области определения функции Исследовать знак производной слева и справа от исследуемой внутренней критической точки Найти экстремумы функции y=f(x)

Найти экстремум функции не существуют при + и - + - точка максимума - максимум функции - точка минимума - минимум функции

Максимум и минимум функции (2 -ое достаточное условие экстремума) Если в точке , то если имеет максимум, если имеет минимум. , а существует и , то в точке функция Пусть для определенности Так как , то если , то Таким образом, при переходе через точку меняет знак с “-” на “+” производная первого порядка - точка минимума

Общая схема исследования функции и построения графика Найти область определения функции Найти (если возможно) точки пересечения графика с осями координат Найти интервалы знакопостоянства функции Исследовать функцию на четность (нечетность) Найти асимптоты графика функции Найти интервалы монотонности функции Найти экстремумы функции Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции

Исследовать функцию и построить ее график Точки пересечения с осями координат OX: y=0 - точки пересечения с осью OX OY: x=0 - точка пересечения с осью OY

Исследовать функцию и построить ее график - функция ни четна, ни нечетна Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна горизонтальных асимптот нет наклонная асимптота

Исследовать функцию и построить ее график при не существует при + - + + - точка максимума - максимум функции - точка минимума - минимум функции

Исследовать функцию и построить ее график не существует при - + - - точки перегиба

Исследовать функцию и построить ее график y 0 1 -1 2 3 x