Исследование функций на монотонность и экстремумы с помощью

Исследование функций на монотонность и экстремумы с помощью производной.

Промежутки возрастания и убывания – промежутки монотонности. Достаточный признак убывания : если f’ (x)< 0, то f (x) убывает на на данном промежутке. Достаточный признак возрастания : если f’ (x)> 0, то f (x) возрастает на на данном промежутке.

Пример. f (x)= x 4 -8 x 2 1) D (f)= (-∞; +∞), функция непрерывна и дифференцируема на D(f). 2) f’ (x)= 4 x 3 -16 x f’ (x)=0, если 4 x 3 -16 x=0 4 х(х-2)(х+2)=0

3)

Ответ: функция возрастает , если х Є [-2; 0], [2; +∞); убывает , если хЄ(-∞; -2], [0; 2].

Необходимое условие экстремума (Теорема Ферма) Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f `(x), то она равна нулю: f `(x) = 0.

Признак максимума функции • Если функция f непрерывна в точке х0, а f `(x) > 0 на • интервале (а; х0), и f `(x) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f. Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то точка х0 максимума. 10 + 9 8 7 + 6 Y - - 5 4 + - 3 2 1 X -10 -9 -8 -7 -6 + -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 + -4 -5 1 2 3 4 - -6 + -7 -8 -9 -10 - 5 6 7 8 9 10

Признак минимума функции • Если функция f непрерывна в точке х0, f `(x) < 0 на интервале (а; • х0) и f `(x) > 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f. Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума. 10 - Y 9 + 8 7 6 5 - + 4 3 2 1 X -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 - 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 + -5 -6 -7 -8 -9 -10 - + 7 + 8 9 10