Исследование функций и построение графиков

Исследование функций и построение графиков

Исследование функций • Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа.

Исследование функций • Теорема Ферма. • Пусть функция • удовлетворяет условиям: Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. )( xfy

Исследование функций • Теорема Ферма. • Пусть функция • удовлетворяет условиям: • а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; • б) имеет производную • во всех внутренних точках ( a, b ); • в) принимает наибольшее или • наименьшее значение • во внутренней точке c є (a, b). • Тогда : Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. )( xfy 0)( cf )( xf

Исследование функций • Теорема Ферма. • Пусть функция • удовлетворяет условиям: • а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; • б) имеет производную • во всех внутренних точках ( a, b ); • в) принимает наибольшее или • наименьшее значение • во внутренней точке c є (a, b). • Тогда : )( xfy Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет условиям: Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет условиям: )(xfy)( xfy 0)( cf )(xf

Исследование функций • Теорема Ферма. • Пусть функция • удовлетворяет условиям: • а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; • б) имеет производную • во всех внутренних точках ( a, b ); • в) принимает наибольшее или • наименьшее значение • во внутренней точке c є (a, b). • Тогда : )( xfy Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет условиям: Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет условиям: а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; б) имеет производную во всех внутренних точках ( a, b ); )(xfy)( xfy 0)( cf )(xf

Исследование функций • Теорема Ферма. • Пусть функция • удовлетворяет условиям: • а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; • б) имеет производную • во всех внутренних точках ( a, b ); • в) принимает наибольшее или • наименьшее значение • во внутренней точке c є (a, b). • Тогда : )( xfy Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет условиям: Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет условиям: а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; б) имеет производную во всех внутренних точках ( a, b ); в) в концах отрезка принимает одинаковые значения)(xfy)( xfy 0)( cf )()(bfaf )( xf )(xf

Исследование функций • Теорема Ферма. • Пусть функция • удовлетворяет условиям: • а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; • б) имеет производную • во всех внутренних точках ( a, b ); • в) принимает наибольшее или • наименьшее значение • во внутренней точке c є (a, b). • Тогда : )( xfy Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет условиям: Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет условиям: а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; б) имеет производную во всех внутренних точках ( a, b ); в) в концах отрезка принимает одинаковые значения)(xfy)( xfy 0)( cf )()(bfaf Тогда : хотя бы в одной внутренней точке c є (a, b). )(xf

Исследование функций • Теорема Ферма. • Пусть функция • удовлетворяет условиям: • а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; • б) имеет производную • во всех внутренних точках ( a, b ); • в) принимает наибольшее или • наименьшее значение • во внутренней точке c є (a, b). • Тогда : )( xfy Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет условиям: Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет условиям: а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; б) имеет производную во всех внутренних точках ( a, b ); в) в концах отрезка принимает одинаковые значения Тогда : хотя бы в одной внутренней точке c є (a, b). а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; б) имеет производную во всех внутренних точках ( a, b ); )(xfy)( xfy 0)( cf )()(bfaf )(xf)(xf

Исследование функций • Теорема Ферма. • Пусть функция • удовлетворяет условиям: • а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; • б) имеет производную • во всех внутренних точках ( a, b ); • в) принимает наибольшее или • наименьшее значение • во внутренней точке c є (a, b). • Тогда : )( xfy Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет условиям: Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет условиям: а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; б) имеет производную во всех внутренних точках ( a, b ); в) в концах отрезка принимает одинаковые значения Тогда : хотя бы в одной внутренней точке c є (a, b). а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; б) имеет производную во всех внутренних точках ( a, b ); Тогда : хотя бы в одной внутренней точке c є (a, b). )(xfy)( xfy 0)( cf ab afbf cf )()( )( )()(bfaf )(xf)(xf

Исследование функций • Теорема Ферма. • Пусть функция • удовлетворяет условиям: • а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; • б) имеет производную • во всех внутренних точках ( a, b ); • в) принимает наибольшее или • наименьшее значение • во внутренней точке c є (a, b). • Тогда : • Геометрический смысл. )( xfy Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет условиям: Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет условиям: а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; б) имеет производную во всех внутренних точках ( a, b ); в) в концах отрезка принимает одинаковые значения Тогда : хотя бы в одной внутренней точке c є (a, b). а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; б) имеет производную во всех внутренних точках ( a, b ); Тогда : хотя бы в одной внутренней точке c є (a, b). )(xfy)( xfy 0)( cf ab afbf cf )()( )( 0 y x a bc )()(bfaf )(xf)(xf

Исследование функций • Теорема Ферма. • Пусть функция • удовлетворяет условиям: • а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; • б) имеет производную • во всех внутренних точках ( a, b ); • в) принимает наибольшее или • наименьшее значение • во внутренней точке c є (a, b). • Тогда : • Геометрический смысл. )( xfy Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет условиям: Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет условиям: а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; б) имеет производную во всех внутренних точках ( a, b ); в) в концах отрезка принимает одинаковые значения Тогда : хотя бы в одной внутренней точке c є (a, b). а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; б) имеет производную во всех внутренних точках ( a, b ); Тогда : хотя бы в одной внутренней точке c є (a, b). )(xfy)( xfy )()(bfaf 0)( cf ab afbf cf )()( )( Геометрический смысл. 0 0 y y x x a bc )()(bfaf 1 c )(xf)(xfy)( xfy

Исследование функций • Теорема Ферма. • Пусть функция • удовлетворяет условиям: • а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; • б) имеет производную • во всех внутренних точках ( a, b ); • в) принимает наибольшее или • наименьшее значение • во внутренней точке c є (a, b). • Тогда : • Геометрический смысл. )( xfy Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет условиям: Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет условиям: а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; б) имеет производную во всех внутренних точках ( a, b ); в) в концах отрезка принимает одинаковые значения Тогда : хотя бы в одной внутренней точке c є (a, b). а ) непрерывна на отрезке [a, b] ; б) имеет производную во всех внутренних точках ( a, b ); Тогда : хотя бы в одной внутренней точке c є (a, b). )(xfy)( xfy )()(bfaf 0)( cf ab afbf cf )()( )( Геометрический смысл. 0 0 0 y y y x x x a bc a a b b c c )()(bfaf 1 c )( af )( bf )( xfy )(xf)(xfy )( xfy

Исследование функций • Монотонность функции. – Определение 1. – Функция называется – возрастающей в ( a, b ) , если – Определение 2. – Функция называется – убывающей в ( a, b ) , если). ()(: ), (, 212121 xfxfxxbaxx)( xfy ). ()(: ), (, 212121 xfxfxxbaxx y y x x 00 )( xfy 1 x 2 x)( 1 xf )( 2 xf a b ba

Исследование функций • Теорема. • Пусть • Тогда: • Доказательство. • 1. • 2. • 3. . ), ()(baxxf. ), ()(0)()2 ; ), ()(0)()1 baвубываетxfxf baввозрастаетxfxf ). , (), (; ))(()()( : ), (, 211212 2121 baxxcxxcfxfxf xxbaxx . )()()(0)()( 0)(), (0)( 1212 возрастаетxfxf cfbaxxf . )()()(0)()( 0)(), (0)( 1212 убываетxfxf cfbaxxf

Исследование функций • Экстремум функции. – Определение 1. – Точка оси ОХ называется – точкой minimum` а функции , – если — окрестность точки такая, что – Определение 2. – Точка оси ОХ называется – точкой maximum` а функции , – если — окрестность точки такая, что – Определение 3. – Точками экстремума называются – точки minimum ` а и точки maximum ` а. – Значения функции в этих точках – Называют экстремальными значениями. 0 x 0 x 0 x 0 x x ьокрестност 00, )()( xxиокрестностxxfxf 00 , )()( xxиокрестностxxfxf y y x x 0 0 x 0 x 0 x )(xf )( 0 xf )(0 xf)( xf ьокрестност )(xfy

Исследование функций • Необходимый признак экстремума. – Теорема. – 1. – 2. – Доказательство. – Пусть — удовлетворяет теореме Ферма – Определение 3. – Критическими точками называются – точки оси ОХ , в которых – либо не существует. )( )( 0 0 xточкувключая xточкииокрестноств определенаxfy . 0 экстремуматочкаxточка существуетнеxf либоxf )( 00 )(0 xf )( xfy 0)(0 xf 0)( xf

Исследование функций • Достаточные признаки экстремума. – Определение. – Пусть определена и непрерывна – в δ — окрестности точки (включая точку ). – Пусть в δ — окрестности точки – (за исключением, быть может, точки ). – Говорят, что при переходе через точку – меняет знак с « + » на « — » , если – Говорят, что при переходе через точку – меняет знак с « — » на « + » , если)(xf)( xfy 0 x 0 x. 0)(: , 0)(: 00 xfxxпри . 0)(: , 0)(: 00 xfxxпри

Исследование функций • Первый достаточный признак экстремума. – Теорема. – 1. – 2. – 3. при переходе через точку – меняет знак с « + » на « — » – 4. при переходе через точку – меняет знак с « — » на « + » – Доказательство. – 1. меняет знак – с «+» на «-» – 2. меняет знак – с «-» на «+» ; )( )( 0 0 xточкувключая xточкииокрестноств определенаxfy ; 0 якритическаxточка )( xf )(xf 0 x 0 x Точка — точка maximum` а Точка — точка minimum` а 0 x 0 x убываетxfxfxxпри возрастаетxfxfxxпри )(0)(: 0 0 max )()( 0 0 точкаx xfxf возрастаетxfxfxxпри убываетxfxfxxпри )(0)(: 0 0 min )()( 0 0 точкаx xfxf

Исследование функций • Второй достаточный признак экстремума. – Теорема. – 1. – 2. – 3. – 4. ; )( )( 0 0 xточкувключая xточкииокрестноств определенаxfy ; 0)( 0 xf Точка — точка minimum` а 0 x 0 x 0)( 0 xf Точка — точка maximum` а

Исследование функций • Выпуклость и точки перегиба графика функции. – Определение 1. – График функции называется – выпуклым вверх в , если – график расположен не выше – любой своей касательной при – Определение 2. – График функции называется – выпуклым вниз в , если – график расположен не ниже – любой своей касательной при – Определение 3. – Точка графика функция – называется точкой перегиба , если – окрестность точки , в которой – слева от точки график расположен – по одну сторону , а справа по другую сторону – от касательной , проходящей через точку )( xfy ), (ba ), ( bax ), (000 yx. M 0 x 0 x ), (000 yx. M y y y x x x 0 0 0 ), ( 000 yx. M 0 x 0 y )( xfy a a b b ьокрестност

Исследование функций • Достаточный признак выпуклости. – Теорема. – 1. – 2. – 3. ; ), ()( baxxf ), ( 0)( bax xf График функции выпуклый вниз в )( xfy ), ( ba ), ( 0)( bax xf График функции выпуклый вверх в ), ( ba

Исследование функций • Необходимый признак перегиба. – Теорема. – 1. График функции – в точке имеет перегиб ; – 2. )( xfy ), ( 000 yx. M)( 0 xf 0)(0 xf Достаточный признак перегиба. Теорема. 1. 2. 3. ; ), ()(0 baxxf ; ), (0)( 00 baxприxf 00 )( xточкучерезпереходе признакменяетxf. ), ( 000 перегибаточкаyx. M

Исследование функций • Асимптоты графика функции. – Определение. – Прямая называется асимптотой графика – функции , если расстояние от точки – на графике до прямой стремится к нулю при – неограниченном удалении точки от начала координат. L )(xfy. M L 0 xy LMMM d )( xfy

Исследование функций • Асимптоты графика функции. – Определение. – Прямая называется асимптотой графика – функции , если расстояние от точки – на графике до прямой стремится к нулю при – неограниченном удалении точки от начала координат. L )(xfy. M L 0 xy LMMM d )( xfy 0 xy M M L d M )( xfy a

Исследование функций • Асимптоты графика функции. – Определение. – Прямая называется асимптотой графика – функции , если расстояние от точки – на графике до прямой стремится к нулю при – неограниченном удалении точки от начала координат. L )(xfy. M L 0 xy LMMM d )( xfy 0 0 x xy y M M L d M 1 -1 1 1 xy)( xfy a

Исследование функций • Теорема 1. – Прямая является вертикальной асимптотой, – если хотя бы один из пределов – равен Теорема 2. Прямая является наклонной асимптотой , если и Замечание. Горизонтальная асимптота — частный случай наклонной асимптоты при )(lim 00 xfилиxf axax или ax bkxy k x xf x )( lim bkxxf x )(lim 0 k

Исследование функций • Общая схема исследования функции. – Первый этап. – 1. Область определения, точки разрыва. – 2. Четность, нечетность. – 3. Периодичность. – 4. Точки пересечения с осями координат. – 5. Асимптоты графика. – 6. Поведение при Уточненное исследование с помощью первой производной. 1. Точки экстремума (вычислить экстремальные значения). 2. Интервалы монотонности. Исследование с помощью второй производной. 1. Точки перегиба (вычислить значение функции и угловой коэффициент). 2. Интервалы выпуклости. x

Исследование функций • Пример 1. – Исследовать функцию и построить график – 1. О. О. Ф. – 2. Четность, нечетность: – 3. Непериодическая. – 4. Точки пересечения с осями координат: • с Оу: • С Ох: xxxy 168 23 Rx )168(168)(16)(8)()( 232323 xxxxxy )()(; )()(xyxy Функция общего вида )0, 0(00 0 Myx 0)4( 0)168( 01680 22 23 xx xxxy )0, 4(), 0, 0( 4, 0 10 10 MM xx

Исследование функций – 5. Асимптоты. • а) вертикальных асимптот нет; • б) наклонные: – 6. Поведение приbkxy )168(lim 168 lim )( lim 2 23 xx x xf k xxx Наклонных асимптот нет x )168(lim 23 xxx x

Исследование функций • Исследование с помощью первой производной. 6 816 6 16341616 0161630 16163 2 2, 122 xxxy 34 , 4 21 xx х 43 4 y+ — + minmax 5, 9 27256 34 16) 34 (8) 34 ( 23 y 0)4(y

Исследование функций Построение графика. xy

Исследование функций • Исследование с помощью второй производной. 166)16163( 2 xxxy 38 616 01660 xxy хy 3 8 + —

Исследование функций Построение графика. xy

Исследование функций • Пример 2. – Исследовать функцию и построить график . – 1. О. О. Ф. : – 2. Четность, нечетность: – 3. Непериодическая. – 4. Точки пересечения с осями координат: – 5. Асимптоты: • а) вертикальные: • б) наклонные: xx y 12 ; 1 x x x ox ox 1 lim 2 1. 1 родавторого разрываточкаx xx xx xy 1)(1 )( )( 22 )()(; )()( xyxy Функция общего вида. . 0; 0 yx. 1 x ; bkxy ; 1 1 lim )( lim x xf k xx . 1 1 lim)(lim 2 x xx kxxfbxx 1 xy

Исследование функций • График функции. 0 xy 1 2 -1 -1 -3 -2 -4 —

Исследование функций • График функции. ? xy 0 1 2 3 -1 -1 -2 -3 -4 —

Исследование функций • Исследование с помощью первой производной. ; )1( )2( )1()1(2 22 2 x xxx y ; 4; 0 ; 2; 0021 21 yy xxy x 0 1 2 y maxmin 1: xсуществуетнеy

Исследование функций • Уточненный график. xy 0 1 2 3 — 1 -1 — 5 — 4 — 3 —