Исследование функций и построение графиков Исследование функций

Исследование функций и построение графиков

Исследование функций • Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа.

Исследование функций • Теорема Ферма. • • Пусть функция удовлетворяет условиям: Теорема Ролля. Теорема Лагранжа.

Исследование функций • Теорема Ферма. • • • Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a, b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a, b); в) принимает наибольшее или наименьшее значение во внутренней точке c є (a, b). Тогда : Теорема Ролля. Теорема Лагранжа.

Исследование функций • Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. • • • Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a, b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a, b); в) принимает наибольшее или наименьшее значение во внутренней точке c є (a, b). Тогда : Пусть функция удовлетворяет условиям:

Исследование функций • Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. • • • Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a, b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a, b); в) принимает наибольшее или наименьшее значение во внутренней точке c є (a, b). Тогда : Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a, b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a, b);

Исследование функций • Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. • • • Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a, b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a, b); в) принимает наибольшее или наименьшее значение во внутренней точке c є (a, b). Тогда : Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a, b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a, b); в) в концах отрезка принимает одинаковые значения

Исследование функций • Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. • • • Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a, b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a, b); в) принимает наибольшее или наименьшее значение во внутренней точке c є (a, b). Тогда : Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a, b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a, b); в) в концах отрезка принимает одинаковые значения Тогда : хотя бы в одной внутренней точке c є (a, b).

Исследование функций • Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. • • • Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a, b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a, b); в) принимает наибольшее или наименьшее значение во внутренней точке c є (a, b). Тогда : Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a, b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a, b); в) в концах отрезка принимает одинаковые значения Тогда : хотя бы в одной внутренней точке c є (a, b).

Исследование функций • Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. • • • Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a, b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a, b); в) принимает наибольшее или наименьшее значение во внутренней точке c є (a, b). Тогда : Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a, b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a, b); в) в концах отрезка принимает одинаковые значения Тогда : хотя бы в одной внутренней точке c є (a, b).

Исследование функций • Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. • • • Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a, b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a, b); в) принимает наибольшее или наименьшее значение во внутренней точке c є (a, b). Тогда : Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a, b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a, b); в) в концах отрезка принимает одинаковые значения хотя бы в одной внутренней Тогда : • Геометрический смысл. y 0 a c b x Тогда : хотя бы в одной внутренней точке c є (a, b).

Исследование функций • Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. • • • Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a, b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a, b); в) принимает наибольшее или наименьшее значение во внутренней точке c є (a, b). Тогда : Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a, b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a, b); в) в концах отрезка принимает одинаковые значения Тогда : хотя бы в одной внутренней Тогда : • Геометрический смысл. точке c є (a, b). хотя бы в одной внутренней точке c є (a, b). Геометрический смысл. y y 0 a c b x

Исследование функций • Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. • • • Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a, b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a, b); в) принимает наибольшее или наименьшее значение во внутренней точке c є (a, b). Тогда : Пусть функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке [a, b]; б) имеет производную во всех внутренних точках (a, b); в) в концах отрезка принимает одинаковые значения Тогда : хотя бы в одной внутренней Тогда : • Геометрический смысл. точке c є (a, b). хотя бы в одной внутренней Геометрический смысл. y точке c є (a, b). Геометрический смысл. y y 0 a c b x

Исследование функций • Доказательство теоремы Лагранжа. – 1. Уравнение хорды имеет вид – 2. Рассмотрим функцию – которая удовлетворяет теореме Ролля:

Исследование функций y • Монотонность функции. – – – Определение 1. Функция называется возрастающей в (a, b) , если 0 – – – Определение 2. Функция называется убывающей в (a, b) , если x y 0 x

Исследование функций • Теорема. • Пусть • Тогда: • Доказательство. • 1. • 2. • 3.

Исследование функций • y Экстремум функции. – – Определение 1. Точка оси ОХ называется точкой minimum`а функции если - окрестность точки , такая, что 0 – – Определение 2. Точка оси ОХ называется точкой maximum`а функции если - окрестность точки – – – Определение 3. Точками экстремума называются точки minimum`а и точки maximum`а. Значения функции в этих точках Называют экстремальными значениями. x y , такая, что 0 x

Исследование функций • Необходимый признак экстремума. – – Теорема. 1. – 2. – Доказательство. – Пусть – Определение 3. – Критическими точками называются – точки оси ОХ , в которых – либо - удовлетворяет теореме Ферма не существует.

Исследование функций • Достаточные признаки экстремума. – – Определение. Пусть определена и непрерывна – – в δ - окрестности точки (включая точку Пусть в δ - окрестности точки – (за исключением, быть может, точки – Говорят, что – меняет знак с « + » на « - » , если – Говорят, что – меняет знак с « - » на « + » , если ). при переходе через точку ).

Исследование функций • Первый достаточный признак экстремума. – Теорема. – 1. – 2. – 3. меняет знак с « + » на « - » – – при переходе через точку 4. при переходе через точку меняет знак с « - » на « + » – – Доказательство. 1. меняет знак с «+» на «-» – – 2. меняет знак с «-» на «+» Точка - точка maximum`а - точка minimum`а

Исследование функций • Второй достаточный признак экстремума. – Теорема. – 1. – 2. – 3. Точка - точка minimum`а – 4. Точка - точка maximum`а

Исследование функций • y Выпуклость и точки перегиба графика функции. – – – Определение 1. График функции называется выпуклым вверх в , если график расположен не выше любой своей касательной при – – – Определение 2. График функции называется выпуклым вниз в , если график расположен не ниже любой своей касательной при y x 0 – – – – Определение 3. Точка графика функция называется точкой перегиба, если окрестность точки , в которой слева от точки график расположен по одну сторону, а справа по другую сторону от касательной, проходящей через точку x 0 y 0 x

Исследование функций • Достаточный признак выпуклости. – Теорема. – 1. – 2. График функции выпуклый вниз в – 3. График функции выпуклый вверх в

Исследование функций • Необходимый признак перегиба. – Теорема. – 1. График функции – – в точке имеет перегиб; 2. Достаточный признак перегиба. Теорема. 1. 2. 3.

Исследование функций • Асимптоты графика функции. – Определение. – Прямая – функции – на графике до прямой – y неограниченном удалении точки от начала координат. называется асимптотой графика , если расстояние от точки стремится к нулю при 0 x

Исследование функций • y Асимптоты графика функции. – Определение. – Прямая – функции – на графике до прямой – неограниченном удалении точки от начала координат. называется асимптотой графика , если расстояние от точки стремится к нулю при 0 y 0 x x

Исследование функций • y Асимптоты графика функции. – Определение. – Прямая – функции – на графике до прямой – неограниченном удалении точки от начала координат. называется асимптотой графика , если расстояние от точки стремится к нулю при 0 y x y 0 x 0 -1 1 x

Исследование функций • Теорема 1. – – Прямая является вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов – равен Теорема 2. Прямая если является наклонной асимптотой, и Замечание. Горизонтальная асимптота - частный случай наклонной асимптоты при

Исследование функций • Общая схема исследования функции. – – – – Первый этап. 1. Область определения, точки разрыва. 2. Четность, нечетность. 3. Периодичность. 4. Точки пересечения с осями координат. 5. Асимптоты графика. 6. Поведение при Уточненное исследование с помощью первой производной. 1. Точки экстремума (вычислить экстремальные значения). 2. Интервалы монотонности. Исследование с помощью второй производной. 1. Точки перегиба (вычислить значение функции и угловой коэффициент). 2. Интервалы выпуклости.

Исследование функций • Пример 1. – Исследовать функцию и построить график – 1. О. О. Ф. – 2. Четность, нечетность: Функция общего вида – 3. Непериодическая. – 4. Точки пересечения с осями координат: • с Оу: • С Ох:

Исследование функций – 5. Асимптоты. • а) вертикальных асимптот нет; • б) наклонные: Наклонных асимптот нет – 6. Поведение при

Исследование функций • Исследование с помощью первой производной. + max - min 4 + х

Исследование функций y Построение графика. 0 x

Исследование функций • Исследование с помощью второй производной. + х

Исследование функций y Построение графика. 0 x

Исследование функций • Пример 2. – – Исследовать функцию и построить график. 1. О. О. Ф. : – 2. Четность, нечетность: Функция общего вида. – – – 3. Непериодическая. 4. Точки пересечения с осями координат: 5. Асимптоты: • а) вертикальные: • б) наклонные:

Исследование функций • График функции. y -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 x

Исследование функций • График функции. y -1 0 1 2 -1 -2 -3 -4 -5 ? 3 x

Исследование функций • Исследование с помощью первой производной. 0 1 2 x

Исследование функций • Уточненный график. y -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 x