ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА 1 АСИМПТОТЫ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

1. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ n О п р е д е л е н и е 1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции x → a, если выполнено хотя бы одно из условий или n О п р е д е л е н и е 2. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции при , если при

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ n n Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если точка является для функции точкой разрыва второго рода. О п р е д е л е н и е 3. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции на (на ), если имеет место следующее

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ y x 0

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ n n Т е о р е м а. Кривая имеет наклонную асимптоту на (на ) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы: П р и м е р. Найти асимптоты графика функции: Область определения: Непрерывна во всех точках области определения,

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ n n 1. Найдем вертикальные асимптоты графика: Точка х = 0 является точкой разрыва второго рода, значит прямая х = 0 является вертикальной асимптотой графика. 2. Найдем горизонтальную асимптоту на. Вычислим:

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ n 2. Найдем наклонную асимптоту на . Вычислим:

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ Наклонной асимптотой является прямая: n n n Ответ: х = 0 - вертикальная асимптота; - горизонтальная асимптота при - наклонная асимптота при

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

2. n ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ, ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ О п р е д е л е н и е 1. Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором промежутке, если для любых условию и из этого промежутка, удовлетворяющих выполняется неравенство:

3. Экстремумы функции n n n О п р е д е л е н и е 2. Точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими. О п р е д е л е н и е 3. Пусть функция определена всюду в некоторой окрестности точки. Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность с центром в точке , что справедливо неравенство: О п р е д е л е н и е 4. Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции.

ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ, ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ n n Т е о р е м а 1. (достаточное условие возрастания (убывания)). Пусть во всех точках некоторого интервала функция дифференцируема и Тогда в этом интервале функция возрастает (убывает). Т е о р е м а 2. (необходимое условие экстремума). Если функция имеет экстремум в точке , то эта точка критическая.

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ n n Т е о р е м а 3. (достаточное условие экстремума). Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки за исключением, быть может, самой этой точки. Если в пределах указанной окрестности функция имеет разные знаки слева и справа от точки , то точка экстремума. Если при этом знак производной меняется с « » на «+» , то точка минимума, с «+» на « » , то точка максимума. Если в пределах указанной окрестности функция имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то в экстремума нет.

ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ, ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ n n П р и м е р. Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции: Р е ш е н и е. 1) Функция определена 2) Найдем производную при и

4 знак - + вывод о max Возраст. + min убывает О т в е т: интервалы возрастания: интервалы убывания: Возраст.

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА 4. Выпуклость и вогнутость графика n О п р е д е л е н и е 1. График функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если в пределах он лежит не выше (не ниже) любой своей касательной. у у . о а b х 17

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА 4. Выпуклость и вогнутость графика n Т е о р е м а 1 (достаточное условие выпуклости (вогнутости)). Пусть во всех точках интервала функция условие: n дважды дифференцируема и выполнено Тогда в интервале выпуклый (вогнутый). Пример: график функции 18

Выпуклость и вогнутость графика n Решение. Выполним исследование функции: 1) D(y)=R n 2) n 3) n 4) Следовательно на полуоси график функции вогнутый n 5) на полуоси график функции выпуклый n Ответ: график вогнутый , выпуклый на n 19

Точки перегиба графика n О п р е д е л е н и е 2. Точка называется точкой перегиба графика функции , если в некоторой окрестности точки график функции расположен по разные стороны от касательной, проходящей через точку . у М М 1 о х 20

Точки перегиба графика n n Т е о р е м а 2 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция удовлетворяет условиям: 1) имеет конечную вторую производную на интервале за исключением, быть может, точки 2) число равно нулю или не существует; 3) функция имеет разные знаки на интервалах и Тогда график функции имеет перегиб в точке. . 21

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА 5. Точки перегиба графика Пример: n n Решение. Выполним исследование функции: n 1) D(y)=R n 2) y(x) непрерывна на R n 3) 22

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА Точки перегиба графика n 4) Единственное значение аргумента, при котором возможен перегиб, это Х=0. Ему соответствует точка графика М(0; 0). Так как при Х < 0 и при Х > 0, то по теореме 2 график функции имеет перегиб в точке (0; 0) n Ответ: (0; 0) – точка перегиба. 23

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА 6. СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n Если требуется построить график функции , то необходимо предварительно провести исследование ее свойств. n n Для исследования свойств функции рекомендуем воспользоваться следующей с х е м о й : 1). Найти область определения функции: множество тех , при которых функция имеет смысл. 2). Исследовать функцию на периодичность: выяснить, существует ли такое наименьшее положительное число , что: 24

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА 3. СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n n Если «да» , то целесообразно далее продолжить исследование свойств функции и строить ее график. 3). Исследовать функцию на четность или нечетность: выяснить, обладает ли функция свойством: четность или нечетность n Это позволит узнать, является ли график функции симметричным относительно оси Оу (в случае четности) или относительно начала координат (в случае нечетности) 25

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА 3. СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n 4). Найти точки пересечения графика функции с осями координат: n n n а) с осью Оу точка , если б) с осью Ох точки , если решения уравнения: ; и 5). Найти промежутки знакопостоянства функции: выяснить, при каких выполняется неравенство (то есть график функции расположен выше оси Ох) и при каких выполняется неравенство (то есть график функции расположен ниже оси Ох). 26

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n 4). Найти точки пересечения графика функции с осями координат: n n n а) с осью Оу точка , если б) с осью Ох точки , если решения уравнения: ; и 5). Найти промежутки знакопостоянства функции: выяснить, при каких выполняется неравенство (то есть график функции расположен выше оси Ох) и при каких выполняется неравенство (то есть график функции расположен ниже оси Ох). 27

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n 6). Исследовать функцию на непрерывность, установить тип точек разрыва. n 7). Найти вертикальные и наклонные асимптоты графика. n 8). Найти промежутки убывания и возрастания, экстремумы функции. n 9). Найти множество Е(у) значений функции. 28

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n 10). Найти промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика n 11). Построить график функции, используя свойства, установленные в проведенном выше исследовании. Если в некоторых промежутках график остался неясным, то его уточняют по дополнительным точкам. 29

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n П р и м е р. Исследовать функцию: и построить ее график. Р е ш е н и е. Проведем исследование функции по приведенной выше схеме: 30

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n 1). Область определения: 2). Функция не периодическая. n 3). Так как: n и , то функция не является ни четной, ни нечетной, то есть функция общего вида. 31

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n 4). Следовательно, точка О(0; 0) точка пересечения графика с осью Ох. функции n 5). Для определения промежутков знакопостоянства функции воспользуемся знанием точек пересечения ее графика с осью Ох и методом интервалов. 32

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ х ( ; 0) знак у(х) 0 0 (0; 1) + 1 (1; + ) + Следовательно, график функции. расположен ниже оси Ох при , выше оси Ох при 33

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n 6) Функция непрерывна во всех точках области определения. При Х=1 функция терпит разрыв второго рода, так как имеют место следующие равенства: 34

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА 3. СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n 7) Прямая Х=1 вертикальная асимптота графика функции , Выясним наличие у графика функции у(х) наклонных асимптот на и на +. n а) Вычислим пределы: 35

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n Следовательно, прямая асимптотой графика функции является наклонной при. 36

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n б). Вычислим пределы (аналогично предыдущему): Следовательно, прямая является наклонной асимптотой графика функции при 37

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n б) найдем критические точки: не существует при ; х ( ; 0) знак вывод о у(х) + 0 0 нет экстр. (0; 1) 1 (1; 3) + 3 (3; ) 0 + min 27/8 38

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n n Следовательно, функция убывает на интервале возрастает на интервалах и n достигает минимум в точке Х=3, при этом: n 9) Найдем множество значений Вычислим пределы: ; ; функции. 39

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n n Следовательно, функция убывает на интервале возрастает на интервалах и n достигает минимум в точке Х=3, при этом: n 9) Найдем множество значений Вычислим пределы: ; ; функции. 40

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n n Следовательно, получаем 10) Выполним следующие вычисления: а) найдем вторую производную функции . : 41

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ ; Следовательно, ; непрерывна в 42

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n n б) найдем точки, в которых обращается в нуль или не существует: не существует при в) составим таблицу: х ( ; 0) знак вывод о графике у(х) выпукл. 0 0 точка перег. (0; 0) (0; 1) + вогнут. 1 (1; ) + вогнутый 43

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ n Следовательно, график функции является выпуклым на интервале ( ; 0), вогнутым на интервалах (0; 1) и (1; ); точка (0; 0) точка перегиба графика. Построим график функции: 44

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ у 27/8 1 2 0 1 3 х 45