Исчисление высказываний Формальные системы Вывод в формальной системе

Исчисление высказываний Формальные системы. Вывод в формальной системе. Исчисление высказываний. Полнота и непротиворечивость исчисления высказываний. Теорема о дедукции. Доказательства общезначимости формулы. Метод резолюций.

Формальные системы •

Вывод в формальной системе • Вывод – последовательное применение правил вывода для получения ППФ из аксиом. • Теорема – ППФ, получаемая с помощью применения правил вывода к аксиомам и другим теоремам. • Интерпретация – задание семантики (смысла) для формулы. • При выводе интерпретация сохраняется, однако не все формулы с одинаковой интерпретацией могут быть выведены друг из друга.

Формальные системы. Пример •

Исчисление высказываний Формальная система, в которой выводятся общезначимые формулы логики высказываний и только они. Позволяет выводить все общезначимые формулы из аксиом, не рассматривая их интерпретации.

Язык исчисления высказываний. •

Интерпретация языка высказываний •

Общезначимость, выполнимость, следование •

Правила вывода. Секвенция. •

Правила вывода. •

Исчисление высказываний. Аксиомы •

Исчисление высказываний. Аксиомы •

Полнота и непротиворечивость исчисления •

Теорема о дедукции • Подробнее есть тут: www. intuit. ru/department/calculate/lancalc/3/

Доказательство общезначимости •

Семантические методы • Алгоритм истинностных таблиц • Алгоритм Квайна • Метод резолюций

Метод истинностных таблиц • Строится таблица истинности формулы. Если во всех строках таблицы получилось значение Истина – формула является общезначимой. • Для формулы из n переменных требуется 2^n раз вычислить значение формулы.

Метод Квайна • Пусть задана формула F на некотором наборе переменных p, q, r, … • Строится дерево (дерево испытаний): – Корень дерева – исходная формула. – Выбирается переменная, используемая в формуле, и строятся 2 новые формулы, получаемые подстановкой 0 и 1 вместо выбранной переменной. (В этих формулах на 1 переменную меньше чем в исходной) – Построенные формулы становятся левым и правым узлами дерева. Построение дерева повторяется рекурсивно, сначала для левой ветви, потом для правой. • На каждом шаге надо вычислять формулу для меньшего числа переменных, что сокращает объем вычислений

Метод резолюций •

Правило резолюций: •

Метод резолюций •

Пример (из википедии) •

Пример (из википедии) •

Полезные ссылки (лекции) • Дмитрий Сошников. Логическое программирование http: //www. intuit. ru/department/pl/logicp/3/ • Н. К. Верещагин, А. Х. Шень. Исчисление высказываний http: //www. intuit. ru/department/calculate/la ncalc/3/