Исчисление высказываний Формальные системы. Вывод в формальной системе. Исчисление высказываний. Полнота и непротиворечивость исчисления высказываний. Теорема о дедукции. Доказательства общезначимости формулы. Метод резолюций.
Формальные системы •
Вывод в формальной системе • Вывод – последовательное применение правил вывода для получения ППФ из аксиом. • Теорема – ППФ, получаемая с помощью применения правил вывода к аксиомам и другим теоремам. • Интерпретация – задание семантики (смысла) для формулы. • При выводе интерпретация сохраняется, однако не все формулы с одинаковой интерпретацией могут быть выведены друг из друга.
Формальные системы. Пример •
Исчисление высказываний Формальная система, в которой выводятся общезначимые формулы логики высказываний и только они. Позволяет выводить все общезначимые формулы из аксиом, не рассматривая их интерпретации.
Язык исчисления высказываний. •
Интерпретация языка высказываний •
Общезначимость, выполнимость, следование •
Правила вывода. Секвенция. •
Правила вывода. •
Исчисление высказываний. Аксиомы •
Исчисление высказываний. Аксиомы •
Полнота и непротиворечивость исчисления •
Теорема о дедукции • Подробнее есть тут: www. intuit. ru/department/calculate/lancalc/3/
Доказательство общезначимости •
Семантические методы • Алгоритм истинностных таблиц • Алгоритм Квайна • Метод резолюций
Метод истинностных таблиц • Строится таблица истинности формулы. Если во всех строках таблицы получилось значение Истина – формула является общезначимой. • Для формулы из n переменных требуется 2^n раз вычислить значение формулы.
Метод Квайна • Пусть задана формула F на некотором наборе переменных p, q, r, … • Строится дерево (дерево испытаний): – Корень дерева – исходная формула. – Выбирается переменная, используемая в формуле, и строятся 2 новые формулы, получаемые подстановкой 0 и 1 вместо выбранной переменной. (В этих формулах на 1 переменную меньше чем в исходной) – Построенные формулы становятся левым и правым узлами дерева. Построение дерева повторяется рекурсивно, сначала для левой ветви, потом для правой. • На каждом шаге надо вычислять формулу для меньшего числа переменных, что сокращает объем вычислений
Метод резолюций •
Правило резолюций: •
Метод резолюций •
Пример (из википедии) •
Пример (из википедии) •
Полезные ссылки (лекции) • Дмитрий Сошников. Логическое программирование http: //www. intuit. ru/department/pl/logicp/3/ • Н. К. Верещагин, А. Х. Шень. Исчисление высказываний http: //www. intuit. ru/department/calculate/la ncalc/3/