Исчисление предикатов Синтаксис

Исчисление предикатов

Синтаксис ИП Алфавит ИП состоит из: • Набор букв английского алфавита. • Набор цифр. • Символ подчёркивания. Символы состоят из последовательности знаков алфавита, начинающейся с буквы. Несобственные символы – круглые скобки, запятая, точка. Пример Допустимые: George foo bar tom_and_jerry XXX Недопустимые: 123 #number tom&jerry duck!!!

Синтаксис ИП Символы исчисления предикатов могут представлять: 1. Символы истинности true и false. 2. Символы констант (начинаются с нижнего регистра). 3. Символы переменных (начинаются с верхнего регистра). 4. Функциональные символы (начинаются с нижнего регистра). 5. Символы предиката (начинаются с нижнего регистра) Функциональное выражение – идентификатор функции, за которым следуют его аргументы (аргументы – элементы области определения). Число аргументов – арность функции. Терм – константа, переменная или функциональное выражение. Термом обозначают объекты и свойства из области определения данной задачи.

Синтаксис ИП Предикат указывает на отношения между несколькими объектами в мире. Количество объектов – арность предиката. Предикаты с одинаковым именем, но различной арностью считаются разными. like equals on near part_of Атомарное предложение – предикатная константа арности n, за которой следует n термов t 1, t 2, …, tn, заключенных в круглые скобки и отделённых запятыми. eat(cat, fish) eat(cat, X) eat(cat, meat) eat(Y, X) eat(cat, sausages, yesterday) eat(pet(george), sausages, days_ago(1))

Синтаксис ИП

Синтаксис ИП Пример plus(two, three) equal(plus(two, three), five) equal(plus(two, three), seven)

Синтаксис ИП

Синтаксис ИП

Семантика ИП Истинность выражений зависит от соответствия констант, переменных, предикатов и функций объектам и отношениям в области определения. Интерпретация на D – связывание логических объектов из D с каждой константой, переменной, предикатом и функциональным символом в выражении исчисления предикатов на основе правил: 1. Каждой константе ставится в соответствие элемент из D. 2. Каждой переменной ставится в соответствие непустое подмножество из D. 3. Каждая функция f арности m определяется для m параметров из D и задает отображение из Dm в D. 4. Каждый предикат p арности n определяется для n параметров из D и задает отображение Dn в {T, F}.

Семантика ИП Значение истинности для выражения E и интерпретации I для E на непустой области определения D определяется как: 1. Значение константы – это элемент из D, которому соответствует данная константа в интерпретации I. 2. Значение переменной – это множество элементов из D, которые соответствуют данной переменной в интерпретации I. 3. Значение функционального выражения – это такой элемент из D, который получается в результате оценивания функции для значений параметров, соответствующих интерпретации I. 4. Значение символа истинности true – это T, а false – F. 5. Значение атомарного предложения равно либо T, либо F, и определяется интерпретацией I.

Семантика ИП В ИП все переменные должны быть связаны одним из двух кванторов: универсальности или существования. Переменная свободна, если она не связана квантором. Выражение замкнуто, если все его переменные связаны квантором.

Семантика ИП Исчисление предикатов первого порядка позволяет связывать знаком квантора переменные, соответствующие объектам из предметной области, но не предикаты или функции. - выражение исчисления предикатов высших порядков. Пример Если кот голоден, он есть рыбу. Сегодня пасмурно и холодно. Некоторые рыбы летают. Все крокодилы фиолетовые. Если Вы не пропускаете занятия и успешно занимаетесь, то Вы сдадите экзамен хорошо.

Правила вывода в ИП

Правила вывода в ИП

Правила вывода в ИП modus ponens ( «правило отделения» ) «Все люди смертны, и Сократ – человек, поэтому Сократ – смертен. » modus (tollendo) tollens ( «правило исключения исключений» ) «И самый лютый зверь испытывает жалость. Я жалости не знаю , а значит я - не зверь. » У. Шекспир, Ричард III

Правила вывода в ИП

Правила вывода в ИП Пусть формулы А и В имеют одно и то же множество свободных переменных (в том числе и пустое). Формулы А и В равносильны в данной интерпретации, если на любом наборе значений свободных переменных они принимают одинаковое значение (т. е. формулы выражают один и тот же предикат). Формулы А и В равносильны на множестве М, если они равносильны во всех интерпретациях, заданных на множестве М. Формулы А и В равносильны ( ), если они равносильны на всех множествах. Сколемизация – замена каждой переменной, связанной квантором существования, функцией нескольких или всех имеющихся в предложении переменных, которая возвращает соответствующую константу.

Правила вывода в ИП Унификация – это алгоритм определения необходимых подстановок с целью приведения в соответствие двух выражений ИП. foo(X, a, goo(Y)) foo(fred, a, goo(Z)) {fred/X, Z/Y} foo(W, a, goo(jack)) {W/X, jack/Y} foo(Z, a, goo(moo(Z))) {Z/X, moo(Z)/Y} Запись X/Y означает, что X является подстановкой для переменной Y в первоначальном выражении. Говорят, что переменная связана со значением, используемым в качестве подстановки.

Правила вывода в ИП Композиция подстановок – метод, с помощью которого объединяются подстановки. {X/Y, W/Z}, {V/X}, {a/V, f(b)/W} {a/Y, f(b)/Z} Если s – произвольный унификатор выражения E, а g – наиболее общий унификатор этого набора выражений, то в случае применения s к E будет существовать ещё один унификатор s’ такой, что Es=Egs’, где Es и Egs’ – композиции унификаций, примененные к выражению E.