Инженерная и компьютерная графика Лектор доцент канд

Инженерная и компьютерная графика Лектор – доцент, канд. техн. наук Олег Игоревич Евстратов Кафедра инженерной графики СЗТУ О. И. Евстратов, 2007. Лекция 5_6 1

Инженерная и компьютерная графика 6. Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей Прямая и плоскость, две плоскости могут быть параллельны, перпендикулярны или составлять произвольный угол между собой (общий случай взаимного положения). Если прямая и плоскость или две плоскости не параллельны между собой, значит они пересекаются. В этом случае определяют точки или линии их взаимного пересечения. 6. 1. Параллельность 6. 1. 1. Параллельность прямой и плоскости. Известно, что прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей данной плоскости. Лекция 5_6 2

Инженерная и компьютерная графика На рис. 54 требуется через точку А провести прямую, параллельную плоскости α. Задача имеет множество решений, т. к. через точку А можно провести множество прямых, параллельных плоскости α. Построим одну из них. Для этого в плоскости α проведем произвольную прямую, положение которой определяется двумя характерными точками: горизонталь ным (М) и фронтальным Лекция 5_6 3 Рис. 54 (N) её следами.

Инженерная и компьютерная графика Прямая принадлежит плоскости, если её следы находятся на одноименных следах данной плоскости (5. 3. 1). Обозначив указанные следы и соединив между собой их одноименные проекции, получим горизонтальную (МINI) и фронтальную (МIINII) проекции выбранной прямой. Известно, что у парал лельных прямых их одноименные проекции параллельны между собой (4. 4. 1). Ограничив прямую произвольной точкой В, строим АI ВI‖MI NI Лекция 5_6 4 Рис. 54 и АII ВII‖MII NII.

Инженерная и компьютерная графика Прямая АВ параллельна плоскости α, так как она параллельна прямой MN, проведенной в α. На рис. 55 задана плоскость АВС, фронтальная проекция DII EII отрезка прямой DE и горизонталь ная проекция DI одного из его концов D. Требуется достроить горизонтальную проек цию отрезка DE при условии, что он ‖ АВС. Для решения задачи в треугольнике АВС следует провести произвольную прямую AF ‖ DE. Лекция 5_6 5 Рис. 55

Инженерная и компьютерная графика Их фронтальные проекции должны быть параллельны между собой. Горизонтальная проекция AIFI прямой AF находится из условия её принадлежности плоскости АВС (5. 3. 1). Искомая проекция DIEI должна быть ‖ AIFI. Две плоскости параллельны между собой, если две пересекающиеся прямые одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Лекция 5_6 6 Рис. 55

Инженерная и компьютерная графика Пусть через точку D (рис. 56) требуется провести плоскость, параллельную плоскости треугольника АВС. Для решения этой задачи можно принять заданную точку D за общую точку двух пересекаю щихся прямых FD и DE, соответственно, параллель ных сторонам ВС и АВ заданного треугольника. Лекция 5_6 Рис. 56 7

Инженерная и компьютерная графика Известно, что две параллельные плоскости пересекаются третьей (например, плоскостью проекций) по параллельным прямым. Из этого можно сделать важный вывод: одноименные следы параллельных плоскостей параллельны между собой (рис. 57). Лекция 5_6 Рис. 57 8

Инженерная и компьютерная графика Так как все горизонтали плоскости параллельны между собой и параллельны ее горизонтальному следу (нулевой горизонтали), фронтали фронтальному следу (нулевой фронтали) этой же плоскости (5. 3. 3), можно утверждать: главные линии параллельных плоскостей параллельны между собой (рис. 58). Это свойство широко используется при решении задач, связан ных с проведением через данную точку пространства плоскости, параллельной заданной плоскости. Лекция 5_6 9 Рис. 58

Инженерная и компьютерная графика 6. 2. Перпендикулярность 6. 2. 1. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости. На рис. 59 и 60 требуется через точку К провести прямую l, перпендикулярную данной плоскости. Рис. 60 Рис. 59 Лекция 5_6 10

Инженерная и компьютерная графика Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости, в том числе, её горизонталям, фронталям или следам. Рис. 59 Рис. 60 Лекция 5_6 Рис. 60 11

Инженерная и компьютерная графика На основании теоремы о проецировании прямого угла (4. 5. 3) проекции перпендикуляра к плоскости будут перпендикулярны к соответствующим проекциям горизонталей и фронталей плоскости или к ее следам. Поэтому для определения направления проекций искомой прямой достаточно провести в плоскости АВС произвольные горизонталь А 1 и фронталь В 2. Эти главные линии плоскости определяют направление проекций искомого перпендикуляра l к плоскости АВС (l. I АI 1 I ; l. II BII 2 II). На основании (4. 5. 3) направление проекций перпендикуляра l к плоскости α (рис. 60) определяют следы данной плоскости Лекция 5_6 12 (l. I h. I 0α; l. II f. II 0α).

Инженерная и компьютерная графика 6. 2. 1. 1. Направление проекций перпендикуляра к плоскости на ортогональном чертеже определяется направлением соответствующих проекций горизонталей и фронталей или следов данной плоскости. Рис. 59 Рис. 60 Лекция 5_6 13

Инженерная и компьютерная графика 6. 2. 2. Взаимно перпендикулярные плоскости Известно, что две плоскости перпендикулярны между собой, если в одной из них имеется прямая, перпендикулярная ко второй плоскости. Если на рис. 59 и 60 построенные прямые l, перпендикулярные заданным плоскостям, пересечь произвольными прямыми t, получим новые плоскости, перпендикулярные к плоскостям АВС и α. Чертеж к данной задаче студентам предлагается выполнить самостоятельно. Лекция 5_6 14

Инженерная и компьютерная графика 6. 3. Взаимное пересечение прямой и плоскости, двух плоскостей Основные приемы решения задач, связанных с определением элементов пересечения прямой и плоскости или двух плоскостей не зависят от угла между указанными объектами пространства. Если один из объектов пересечения является плоскостью частного положения, решение задачи существенно упрощается. Лекция 5_6 15

Инженерная и компьютерная графика 6. 3. 1. Пересечение прямой с проецирующей плоскостью Любая точка, линия или плоская фигура, лежащие в проецирующей плоскости, имеют одну из своих проекций на соответствующем следе этой плоскости (5. 2. 2. 1). На рис. 61 и 62 плоскости α и АВС являются горизонтально проецирующими. Рис. 61 Лекция 5_6 Рис. 62 16

Инженерная и компьютерная графика Поэтому горизонтальные проекции искомых точек пересечения К находятся на горизонтальном следе плоскости α и на горизонтальной проекции треугольника АВС. Фронтальные проекции определяются из условия принадлежности этих точек прямым DE (4. 1. 1. 1). Видимость прямых DE определяется с помощью конкурирующих точек (4. 4. 3. 2). 6. 3. 2. Пересечение плоскостей общего и частного положений Как у точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью, так и у линии пересечения плоскости общего положения с проецирующей плоскостью, одна из проекций совпадает с соответствующим 17 следом проецирующей. Лекция 5_6 плоскости (5. 2. 2. 1).

Инженерная и компьютерная графика На рис. 63 и 64 плоскости общего положения АВС и α пересекаются с фронтально проецирую щей плоскостью β. Линия пересечения плоскости АВС с плоскостью β (рис. 63) проецируется на плоскость π2 на фронтальный след плоскости β и определяется точками 1 1 II и 2 2 II. Рис. 64 Рис. 63 Лекция 5_6 18

Инженерная и компьютерная графика Горизонтальная проекция искомой линии находит ся из условия принадлежности точек 1 и 2 сторонам треугольника АВС (4. 1. 1. 1). Аналогичным образом находятся проекции линии пересечения двух плоскостей, заданных следами (рис. 64). Ее фронтальная проекция сливается с фронтальным следом фронтально проецирующей плоскости β и определяется проекциями NII и АII (произвольной точки А). Точка N пересечения фронтальных следов заданных плоскостей является одновременно фронтальным следом искомой линии пересечения и имеет горизонтальную проекцию NI на оси x. Горизонтальная проекция точки А находится из условия ее принадлежности плоскости α и определяется с помощью горизонтали h 1 этой 19 Лекция 5_6 плоскости, проведенной через точку А.

Инженерная и компьютерная графика На рис. 65 требуется определить линию пересечения плоскости общего положения α с горизонтальной плоскостью β. Так как плоскость β является проецирующей относительно плоскости π2, фронтальная проекция искомой линии пересечения сливается с фронтальным следом плоскости β. Следовательно, линия пересечения является горизонталью плоскости α и ее горизонтальная проекция параллельна следу h. I 0α (5. 3. 3. 1). Лекция 5_6 Рис. 65 20

Инженерная и компьютерная графика 6. 4. Взаимное пересечение объектов общего положения В общем случае задачи, связанные с определени ем результата пересечения линии с поверхностью или двух поверхностей (прямая и плоскость част ные случаи общих понятий линия и поверхность) решаются с помощью вспомогательных секущих поверхностей, чаще всего плоскостей частного положения. 6. 4. 1. Пересечение прямой с плоскостью общего положения На рис. 66 прямая АВ не параллельна плоскости общего положения α. Требуется определить точку их пересечения. Для решения этой задачи прове дём через заданную прямую АВ вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость β и Лекция 5_6 21 найдем линию ее пересечения с плоскостью α.

Инженерная и компьютерная графика Положение этой линии пересечения определяется точками пересечения одноименных следов этих плоскостей. Точка пересечения фронтальных следов плоскостей α и β будет одновременно фронтальным следом (N) линии их пересечения, а точка пересечения горизонтальных следов её горизонтальным следом (М). Точка пересечения К прямой АВ с найденной линией пересечения MN будет общей для трех объектов пространства: прямой АВ, плоскости α и вспомогательной секущей горизонтально проецирующей плоскости β. Лекция 5_6 22 Рис. 66

Инженерная и компьютерная графика Рассмотрим решение аналогичных задач на ортогональном чертеже (рис. 67 и 68). Требуется определить точки пересечения прямых АВ с плоскостями общего положения α и CDE. Рис. 67 Рис. 68 Лекция 5_6 23

Инженерная и компьютерная графика В одном случае (рис. 67) заключим заданную прямую АВ в горизонтально проецирующую, а во втором (рис. 68) во фронтально проецирующую плоскость ρ. Найдем проекции линии пересечения заданных плоскостей α и CDE с проецирующими плоскостями ρ (6. 3. 2). Рис. 67 Лекция 5_6 Рис. 68 24

Инженерная и компьютерная графика Найденные линии пересечения MF и 1 2 пересека ют заданные прямые АВ в точках К, которые и будут являться искомыми точками пересечения прямых АВ с плоскостями α и CDE. Видимость прямых АВ относительно плоскостей α и CDE определяется методом конкурирующих точек (4. 4. 3. 2). Рис. 67 Рис. 68 Лекция 5_6 25

Инженерная и компьютерная графика 6. 4. 1. 1. Алгоритм определения точки пересечения (К) прямой с плоскостью общего положения: 1. Через заданную прямую проводят вспомогательную секущую плоскость частного положения (обычно горизонтально или фронтально проецирующую). 2. Определяют проекции линии пересечения заданной и вспомогательной секущих плоскостей (рис. 64, 69 71). 3. Проекции точки К находят на пересечении одноимённых проекций найденной линии пересечения и заданной прямой. 4. Видимость прямой относительно заданной плоскости определяется методом конкурирующих Лекция 5_6 26 точек (4. 4. 3. 2).

Инженерная и компьютерная графика 6. 4. 2. Пересечение двух плоскостей общего положения В общем случае, линия пересечения плоскостей общего положения определяется с помощью вспомогательных секущих плоскостей. Если одна из пересекающихся плоскостей задана плоской фигурой, например треугольником, достаточно найти точки пересечения каких либо двух сторон треугольника со второй плоскостью и, соединяя их между собой, получить искомую линию пересечения. Таким образом, решение данной задачи сводится к последовательному решению двух задач (6. 4. 1). Рассмотрим несколько случаев взаимного пересечения двух плоскостей, заданных следами. Лекция 5_6 27

Инженерная и компьютерная графика Определим проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения α и β, следы которых пересекаются в пределах чертежа (рис. 69). Известно (6. 4. 1), что точки пересечения одно именных следов заданных плоскостей являются одновременно следами М и N искомой линии пересечения. Соединяя одноименные проекции указанных точек между собой, находим горизонталь ную и фронтальную проекции искомой линии пресечения. Лекция 5_6 28 Рис. 69

Инженерная и компьютерная графика Если две плоскости не параллельны между собой, и их одноименные следы не пересекаются в пределах чертежа, линия их пересечения определяется также способом вспомогательных секущих плоскостей. На рис. 70 плоскости α и β не параллельны между собой, а их фронтальные следы f. II 0α и f. II 0β не пересекаются в пределах чертежа. Требуется определить проекции линии их пересечения. Воспользуемся горизон тальной плоскостью ρ. Лекция 5_6 Рис. 70 29

Инженерная и компьютерная графика Эта плоскость пересечет плоскость α по горизонтали N 1 K; а плоскость β по горизонтали N 2 K (6. 3. 2). Так как найденные линии попарного пересечения плоскостей α и ρ, β и ρ находятся в одной и той же секущей плоскости ρ, они пересекаются в точке К, являющейся общей для плоскостей α, β и ρ. Следовательно, три плоскости непараллельные между собой, имеют одну общую точку пересечения. Примером может послужить начало координат, как результат пересечения плоскостей π1, π2, π3. Второй общей точкой для плоскостей α и β является точка пересечения их горизонтальных следов М. Прямая КМ – искомая линия Лекция 5_6 30 пересечения заданных плоскостей α и β.

Инженерная и компьютерная графика Аналогичным приемом решается задача по определению проекций линии пересечения плоскостей, заданных двумя пересекающимися прямыми а и b и параллельными прямыми с и d (рис. 71). Лекция Рис. 5_6 71 31

Инженерная и компьютерная графика С помощью вспомогательных секущих горизонтальных плоскостей ρ1 и ρ2 находим горизонтальные проекции 1 I 2 I и 3 I 4 I; 5 I 6 I и 7 I 8 I линий их пересечения с заданными плоскостями, которые, попарно пересекаясь между собой, определят горизонтальные проекции КI 1 и КI 2 точек К 1 и К 2. Через них пройдет горизонтальная проекция линии пересечения заданных плоскостей. Фронтальные проекции КII 1 и КII 2 точек К 1 и К 2 будут на фронтальных следах плоскостей ρ1 и ρ2. Лекция 5_6 32

Инженерная и компьютерная графика 6. 4. 2. 1. Алгоритм определения линии пересечения двух непараллельных плоскостей общего положения: 1. Способом вспомогательных секущих плоскостей частного положения определяют две общие точки заданных плоскостей, определяющие линию пересечения, если на чертеже они отсутствуют. 2. Находят проекции линии пересечения заданных плоскостей со вспомогательными секущими плоскостями. 3. Отмечают проекции двух точек, в которых пересекаются одноименные проекции найденных линий пересечения. Они являются общими для заданных плоскостей, и через них проводят проекции искомой линии пересечения. 4. Взаимная видимость заданных плоскостей, при необходимости, определяется методом Лекция 5_6 33 конкурирующх точек (4. 4. 3. 2).

Инженерная и компьютерная графика Вопросы и задачи для проверки усвоения материала 1. Как по чертежу определить параллельность прямой и плоскости? 2. Через точку А (80; 50; 45) проведите плоскость β, параллельную плоскости α (70; 65; 75). 3. По каким линиям плоскости определяют направление проекций проводимого к ней перпендикуляра? 4. Сформулируйте условие взаимной перпендикулярности двух плоскостей. 5. Поясните на примере алгоритм определения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения. 6. Как определяются проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения, горизонтальные следы которых не пересекаются в пределах чертежа? 7. Решите задачи 17 – 24 из пособия [10], затем индивидуальное задание № 8. Лекция 5_6 34

Задача 17 из [10] и её решение Задача 17. Достроить недостающую горизонтальную проекцию отрезка прямой DE, параллельной плоскости ABC. Лекция 5_6 35

Задача 18 из [10] и её решение Задача 18. Через точку D провести плоскость, параллельную заданной плоскости АВС. Лекция 5_6 36

Задача 19 из [10] и её решение Задача 19. Через точку К провести прямую m, перпендикулярную к плоскости АВС. Лекция 5_6 37

Задача 22 из [10] и её решение Задача 22. Построить проекции линии пересечения двух плоскостей общего Лекция 5_6 положения и . 38

Задача 23 из [10] и её решение Задача 23. Построить проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения и . Лекция 5_6 39

Задача, подобная 21 [10], и стадии её решения Задача 21. Определить точку Если необходимо, на чертеже пересечения прямой АВ с плоско показывают видимость стью . Показать видимость прямой. 5_6 плоскости . Лекция 40

Задача, подобная 21 [10], и стадии её решения 1. Прямая заключается во 2. Определяются проекции линии вспомогательную проецирующую пересечения заданной и плоскость (5. 2. 2. 1). вспомогательной плоскостей (6. 4. 2). Лекция 5_6 41

Задача, подобная 21 [10], и стадии её решения 3. Определяется точка К 4. Способом конкурирующих точек пересечения прямой АВ и линии определяется видимость прямой АВ LM пересечения плоскостей. Лекция 5_6 относительно заданной плоскости. 42