Инверсия Определение Пусть на плоскости дана некоторая

Инверсия

Определение. Пусть на плоскости дана некоторая окружность (O, R) и P – произвольная точка плоскости, отличная от точки O. Сопоставим ей точку P , которая удовлетворяла бы двум условиям: 1. точка P лежит на луче OP; 2. OP OP =R 2. Такую точку P называют инверсной или обратной точке P относительно окружности . Окружность называется базисной окружностью инверсии, точка O – центр инверсии, а радиус окружности - радиус инверсии. Определение. Преобразование, при котором каждой точке некоторой фигуры ставится в соответствие инверсная ей точка, называется инверсией, а фигура, образованная всеми точками, инверсными точкам данной фигуры, называется инверсной по отношению к данной фигуре.

Свойства: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Если точка P инверсна точке P, то и обратно: точка P инверсна точке P. Если при инверсии фигура Ф преобразуется в фигуру Ф , то и наоборот: фигура Ф преобразуется в фигуру Ф. Никакая точка плоскости не является инверсной для центра симметрии. На плоскости с «выколотым» центром инверсии инверсия является взаимно однозначным преобразованием. Каждая точка базисной окружности инверсна самой себе. Если данная точка лежит вне базисной окружности, то инверсная ей точка лежит внутри этой окружности, и наоборот. Если точка, лежащая вне базисной окружности, неограниченно удаляется от этой окружности, то инверсная ей точка (внутри базисной окружности) неограниченно приближается к центру инверсии. Верно и обратное предположение. При инверсии луч, исходящий из центра инверсии, преобразуется в себя. При этом часть луча, внутренняя относительно базисной окружности, преобразуется в его внешнюю часть, и наоборот. При инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, преобразуется в себя. (исключая центр инверсии)

Построение основано на двух теоремах: 1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, соединяющему центр с точкой касания. 2. Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Построение инверсных точек 1 случай: Точка P на базисной окружности. Инверсная точка – сама точка P. 2 случай: Точка P вне базисной окружности (O, R). 3 случай: Точка P внутри базисной окружности.

2 случай: Построение: 1) OP – луч; 2) T – точка T , PT – касательная к ; 3) P – точка P OP, TP OP; P – искомая точка. Из прямоугольного треугольника OTP видно, что OP OP = OT 2 = R 2. T R O P P

3 случай: Построение: 1) OP – луч; 2) a – прямая P a OP; a, 3) a =T; 4) b – касательная к , T b; 5) b OP =P ; P – искомая точка. T R O P P