ІНТУЇЦІОНІСТСЬКА ЛОГІКА Шляхи виходу з кризи основ математики

Скачать презентацию ІНТУЇЦІОНІСТСЬКА ЛОГІКА Шляхи виходу з кризи основ математики

ml_lect_9.ppt

Количество слайдов: 52

ІНТУЇЦІОНІСТСЬКА ЛОГІКА Шляхи виходу з кризи основ математики на межі 19– 20 ст. 1. Програма Д. Гільберта. Гільберт: математика має справу переважно з ідеальними об'єктами. Вони використовують актуальну (завершену) нескінченність, далеко виходять за межі безпосереднього осмислення та обгрунтування на інтуїтивній основі. Проте математика не може існувати без ідеальних об'єктів, які необхідні для ефективності нашого мислення, без них не можна обійтися в отриманні реальних результатів. Наприклад, аналітична теорія чисел використовує для доведень тверджень про цілі числа засоби теорії R-чисел та теорії C-чисел, причому для багатьох теорем про цілі числа неаналітичні доведення невідомі. 1

Отже, треба обгрунтувати принципову можливість видалення ідеальних об'єктів із виведень реальних тверджень. Доведення про можливість такої перебудови виведень треба проводити максимально надійними, інтуїтивно переконливими засобами. Гільберт назвав їх фінітними, вони мають уникати актуальної нескінченності. Для фінітного доведення теорем про перебудову виведень необхідне математичне уточнення мови та логічного виведення. Це означає побудову формальної системи для відповідного розділу математики. Після формалізації необхідно довести чисто фінітними методами несуперечливість та повноту отриманої ФС. Повна реалізація програми Гільберта неможлива (th Гьоделя) 2

2. Інтуїціоністська програма Л. Брауер високо оцінив програму Гільберта в цілому, проте заявив: навіть якби Гільберт довів несуперечливість класичної математики, це не зробило б її коректною. "Неправильна теорія, яка не наштовхнулась на суперечність, не стає від цього правильнішою, подібно до того, як злочинна поведінка, не зупинена правосуддям, не стає від цього менш злочинною". Брауер: закони математики не мають ні абсолютного, ні апріорного характеру. Вони є узагальненням роботи із скінченними множинами стійких в часі об'єктів, тому поширення таких законів на нескінченні множини об'єктів неадекватне. Отже, необхідно: – або цілком відмовитися від нескінченних множин, – або перейти до нової логіки, інтуїтивно зрозумілої. Така логіка повинна описувати мат. твердження не як абстрактні істину чи фальш, а як твердження про можливість виконання деякої побудови. Тому математичне доведення мусить давати побудову та її обгрунтування. 3

Методи, що дають побудову, Брауер назвав ефективними, пропоновану ним логіку і математику – інтуїціоністською. Виникнення ТА – потужний імпульс розвитку інтуїціоністської математики і логіки. Відомо багато різновидностей інтуїціоністської логіки. Весь напрям в математиці та логіці, для якого основоположними є поняття задачі та побудови, а не істини та обгрунтування, називають конструктивізмом. Інтуїціонізм – напрям, безпосер. базований на брауерових постулатах. Формалізація інтуїціоністської логіки Брауер: на відміну від класичної, інтуїціоністська математика в принципі не може бути адекватно формалізована. Але Брауер запропонував А. Гейтінгу створити формальні моделі ІЛ. Далі – семантичні моделі (інтерпретації) інтуїціоністської логіки. Іінтерпретацію, яка базується на брауеровому розумінні формул як задач, запропонував А. М. Колмогоров, далі розвинув А. Гейтінг (BKH-інтерпретація). У ній поняттю істинності формули відповідає поняття її реалізовності як задачі. 4

Мова інтуїціоністської логіки Для ІЛ не діє: – закон виключеного третього – закони де Моргана – закон зняття подвійного заперечення. , , &, , х та x незалежні Алфавiт мови ІПЛ: , , &, та множина Ps Визначення формули мови ІПЛ. 1) кожний А Ps є формулою; 2) якщо та – формули, то , , & , – формули. 5

Мова інтуїціоністської логіки предикатів 1 -го порядку (кванторного рівня). Алфавiт мови ІЛП: – предметнi імена (змiннi) x, y, z, . . . ; – предикатнi символи (ПС) p 0, p 1, p 2, . . . заданої арностi; символи логiчних операцiй , , &, та х, x. Множина Ps предикатних символів – сигнатура мови ІЛП. Атомарна формула мови ІЛП: px 1. . . xn, де p – n-арний ПС, x 1, . . . , xn – предметнi змiннi. Індуктивне визначення формули мови ІЛП: 1) кожна атомарна формула є формулою; 2) якщо та формули, то , , & , формули; 3) якщо формула, x предметне iм’я, то x та x формули. 6

Реляційна семантика інтуїціоністської логіки Класична логіка – логіка конкретного знання Інтуїціоністська логіка – логіка накопичення знань. На цій ідеї Брауера базуються моделі можливих світів (реляційні моделі). Започатковані Л. Брауером та А. Гейтінгом, розвинуті С. Кріпке та Я. Хінтіккою. Модель можливих світів інт. логіки, або реляційна інтуїціоністська модель: М = (S, , I). S – множина світів – бінарне відношення на S (є віднош. часткового порядку) I – відображення інтерпретації. Для випадку ІПЛ I : Ps S {T, F}. Світи узгоджуються із відношенням : та I(A, ) = T. 7

I : Ps S {T, F} продовжимо до J : Fp S {T, F}: 1) J(A, ) = I(A, ) для всіх А Ps; 2) J( , ) = T J( , ) = T або J( , ) = T; 3) J( & , ) = T J( , ) = T та J( , ) = T; 4) J( , ) = T : , маємо J( , ) = F. 5) J( , ) = T : , маємо: якщо J( , ) = T, то J( , ) = T позначаємо |=. М |= : істинна в реляційній моделі М, якщо S маємо |= : інтуїціоністськи істинна, якщо М |= реляційної моделі М 8

Для випадку ІЛП світами є АС сигнатури s, яка визначає мову ІЛП. Bідображення інтерпретації атомарних формул на світах: Світи узгоджуються із відношенням : – Нехай = (A, s), = (B, s) та . Тоді A B. – Нехай p Ps. Якщо та p (a 1, . . . , an) = T, то p (a 1, . . . , an) = T. 9

Значення формули в світі визначаємо індуктивно. 1) Для атомарних формул p (d) = T означає I(p, )(d) = T; 2) ( ) (d) = T або (d) = T; 3) ( & ) (d) = T та (d) = T; 4) ( )(d) = T : , маємо (d) = F; 5) ( ) (d) = T : , маємо: (d) = T, то (d) = T. 6) ( x ) (d) = T a A: (d x a) = T; 7) ( x ) (d) = T : , a B маємо (d x a) = T. Істинність формули в світі позначаємо |=. М |= істинна в реляційній моделі М: S маємо |= I |= інтуїціоністськи істинна: рел. моделі М із світами сигнатури s маємо М |= 10

Формально-аксіоматичні системи інтуїціоністської логіки Акс. системи гільбертівського типу для ІПЛ – інт. проп. числення (ІПЧ). ПВ ІПЧ: МР) A, A B | B Схеми аксіом ІПЧ: А 1) A (B A) А 2) (A (B C)) ((A B) (A C)) А 3) A&B A А 4) A&B B А 5) A (B A&B) А 6) A A B А 7) B A B А 8) (A C) (B C)) (A B C) А 9) (A B) ((A B) A) АI) A (A B) I | A, але зворотне невірне. В ІПЧ невивідні A A, проте вивідна A A 13

Акс. системи гільбертівського типу для інтуїціоністської логіки предикатів – інтуїціоністські числення предикатів Логічні аксіоми ІЧП: схеми аксіом ІПЧ, до яких додаємо АQ 1) A x. A; АQ 2) x. A A. Множина ПВ інтуїціоністського числення предикатів: МР) A, A B | B – modus ponens; П ) A B | x. A B, якщо x не вiльна у B – -введення; П ) A B | A x. B, якщо x не вiльна в A – -введення. 14

Інтуїціоністські секвенційні числення Побудуємо варіант ІСЧ, пов'язаний з реляційною семантикою інт. логіки. Інтуїціоністська специфікація – слово вигляду | чи | Тут – інтуїціоністський префікс, що є іменем світу, в якому специфікована формула має відповідне значення. Інтуїціоністський префікс – слово, символами якого є імена нат. чисел. Усі формули початкової секвенції мають порожній інт. префікс. Для префіксів пишемо , якщо має вигляд . Якщо та , то пишемо <. означає, що , тобто світ є наступником світу . Світ вигляду n – безпосередній наступник світу . 15

Замкненість секвенції) дає пара специф. формул вигляду | та |. Це відповідає умові, що формула, істинна в світі , зберігає істинність в усіх його наступниках. Введемо такі додаткові умови замкненості секвенції: – поява в секвенції пари формул | та | ; – поява в секвенції пари формул | та | . Зауважимо, що пара формул | та | , де , не дає замкненості секвенції. 16

Секвенційні форми для ІСПЧ Форми | , | &, |& аналогічні відп. формам секв. числень класичної логіки. Вони не змінюють інтуїціоністський префікс нових формул Для | та | нові формули стверджуються чи заперечуються не в світі основної формули висновку, а в світі-наступнику n. Кожний раз таке n вибирається новим (на шляху від початкової секвенції). Тут n – нове, відмінне від yсіх імен нат. чисел, що фігурують в префіксах формул світів секвенції-висновку. 17

Форми | та | вимагають багатократного розбиття основної формули, адже при появі нових світів-наступників виникають спростовувані формули, які не можуть автомат. переноситися на світи-наступники. 1, …, m – імена усіх світів-наступників , які фігурують в секвенціївисновку Виконання | означає побудову піддерева, корінь якого – секвенціявиcновок Нехай секвенція-виcновок має вигляд | A B, . Нехай 1, …, m – імена усіх наступників світу , які фігурують в . | A B i | A B i {1, …, m} виконання | зводиться до побудови піддерева з коренем , листами якого можуть бути всеможливі секвенції 1, . . . , m, , де кожна i – 18

Базові секвенційні форми ІСЧП: до базових форм ІСПЧ додаються якщо вільна змінна у { х. A}. Тут {z 1, …, zт} – множина вільних імен доступних формул секвенціївисновку та її наступників. якщо вільна змінна у { х. A}. Тут n – нове, відмінне від yсіх імен нат. чисел, що фігурують в префіксах формул світів секвенції-висновку. 19

Основні результати теорії доведень класичної логіки переносяться на випадок інтуїціоністської логіки. Для інтуїціоністських числень справджуються відповідні теореми коректності та повноти, Ґ. Ґенцен довів теорему про нормальну форму (елімінацію перетинів) одночасно для класичної логіки та інтуїціоністської логіки. В певному розумінні інтуїціоністська логіка слабша за класичну, адже не кожна теорема інтуїціоністського числення є теоремою класичного числення. У той же час класична логіка ізоморфно занурюється в інтуїціоністську логіку (теорема Глівенка), тобто класичну логіку можна трактувати як підсистему інтуїціоністської 20

МОДАЛЬНІ ЛОГІКИ Твердження, які не можна трактувати тільки як істинні чи хибні, а які можна охарактеризувати певною мірою істинності, розглядались ще в античні часи. Арістотель: "кожне S необхідно P", "кожне S можливо P" і т. п. Модальності – властивості тверджень, які в тому чи іншому аспекті характеризують міру їх істинності чи наше відношення до них. Модальності – "необхідно" та – "можливо" загальні (алетичні) Міркування з твердженнями, які містять загальні модальності, вивчає загальна, або алетична модальна логіка. Модальності, які мають часовий зміст, – часові, або темпоральні. Такі модальності теж відомі з античності (Арістотель, Діодор Кронос). Основні часові модальності: "завжди було", "колись було", "завжди буде", "колись буде". Міркування з твердженнями, які містять часові модальності, вивчає часова, або темпоральна логіка. 21

Модальності, які характеризують міру обгрунтованості знання – епістемічні Такими є модальності "достовірно", "доведено", "підтверджено", "обгрунтовано", "вірогідно", "спростовно". Міркування з твердженнями, що містять епістемічні модальності, вивчає епістемічна логіка (логіка знання) Модальності "обов'язково", "дозволено", "заборонено" характеризують норми та нормативні поняття. Такі модальності називаються деонтичними. Логіка, в якій вивчаються міркування з деонтичними модальностями, – деонтична, або прескриптивна. Вживана також назва "логіка норм". 22

Виникнення сучасної модальної логіки: К. Льюїс 1912– 1916 рр. та Я. Лукасєвич 1920 р. 1932 – робота "Symbolic logic" (К. Льюїс, К. Ленґфорд, ) – формалізована система класичних модальностей – розпочато дослідження систем модальної логіки (класичні S 1–S 5). Модальність трактується як спеціальний оператор (композиція), який застосовується до предикатів. Уточнення і формалізація модaльних логік: К. Ґьодель, Я. Лукасєвич, Д. Гільберт, Ґ. Ґенцен, А. Тарський, Р. Карнап Спочатку – синтаксичний стиль, не було строго заданих семантик. Вперше алгебраїчна семантика для S 4 – 1948 р. (А. Тарський, Дж. Мак. Кінсі). Інтенсивна розробка семантик модальних логік – 50– 60 рр. 20 ст. Важливий етап – розробка семантик можливих світів (реляційних) С. Канґер, C. Кріпке, Я. Хінтікка. 23

Концепція можливих світів природно пов'язана з модальною логікою. Фундаментальне поняття можливості одного світу відносно іншого. Семантичні моделі модальної логіки на основі концепції можливих світів дозволяють природним чином трактувати як загальні модальності "необхідно" та "можливо", так і спеціальні (часові, епістемічні, деонтичні). Семантики можливих світів виявились плодотворними для дослідження інших типів логік, зокрема, інтуїціоністської. Пізніше – узагальнення реляційної семантики (Д. Скотт, Р. Монтеґю). Останні роки – бурхливий розвиток модальної логіки. Модальна логіка дуже гнучка, може ефективно використовуватись для аналізу та моделювання найрізноманітніших ПО та аспектів діяльності людини. – створення сучасних інтелектуальних інформаційних систем, зокрема, систем та баз знань, експертних систем. – використання апарату модальної й темпоральної логіки для адекватного опису та моделювання складних динамічних систем. 24

Алетичні модальні логіки Модальні композиції (оператори) алетичної модальної логіки: (необхідно) та (можливо). Пов'язані співвідношеннями: Р = Р, Р = Р. Початкові етапи дослідження модальної логіки – вивчення суперпозицій модальностей: "необхідно, що необхідно", "необхідно, що можливо", "можливо, що необхідно, що можливо" і т. п. Були запропоновані аксіоми що дозволяють зводити складні модальності до модальностей певної форми. В найсильнішій формі така звідність реалізована в системі S 5, де кожна суперпозиція модальностей еквівалентна модальності без суперпозицій. Для предикату Р маємо 6 різних предикатів: Р, Р, Р, Р. 25

Можна використати слабші редукції модальностей. Найприродніша зводить повторення однакових модальних операторів чи до єдиного такого оператора. У відповідній системі S 4 існує 14 різних модальностей: – Р, Р, Р, Р, Р – 7 дуальних модальностей, коли замість Р беремо Р. Для ще слабшої системи S 3 існує 42 різних модальностей, Для S 2 та S 1 кількість різних модальностей нескінченна. 26

Аксіоматичні системи алетичної модальної логіки на пропозиційному рівні. Мова – розширення мови пропозиційної логіки. Алфавіт мови: множина Ps, , та символ модальної композиції Множина формул Fm визначається індуктивно: 1) Кожний p Ps є формулою. Такi формули атомарні. 2) Нехай та – ф-ли. Тодi , , – формули. Символ трактується як скорочення для . 27

Система К. Множина аксіом – аксіоми ПЛ та модальні, задані схемою: Ах. Nr) ( ). ПВ – це ПВ класичної ПЛ із доданим правилом модалізації: ПM) | . Системи модальної логіки, які включають Ах. Nr та ПМ – нормальні Льюїсові системи S 1, S 2 та S 3 не є нормальними. Система Т. Множина аксіом – аксіоми системи К, до яких додана: Ах ) . ПВ – як і в системи К. Система B (Брауерова). Множина аксіом – аксіоми системи T, до яких додана: Ах. В) . ПВ – як і в системи К. 28

Система S 4. Множина аксіом – аксіоми системи T, до яких додана схема: Ах. S 4) . ПВ – як і в системи К. Система S 5. Множина аксіом – аксіоми системи T, до яких додана схема: Ах. S 5) . ПВ – як і в системи К. Те, що є теоремою системи К, Т, В, S 4, S 5, позначаємо K| , T| , B| , S 4| , S 5|. 29

Приклад 1. Повний опис пропозиційної системи S 4. Аксіоми: Ах. ПР) (пропозиційні аксіоми). Ах. Nr) ( ). Ах ) . Ах. S 4) . Правила виведення: П 1) | правило розширення. П 2) | правило скорочення. П 3) ( X) | ( ) X правило асоціативності. П 4) , X | X правило перетину. ПM) | правило модалізації. 30

Алгебраїчні семантики модальної логіки не зовсім прийнятні з інтуїтивної точки зору, що змусило шукати змістовнішу інтерпретацію модальних систем. Такими є реляційні семантики, або семантики можливих світів. Модель можливих світів (реляційна модель) – М = (S, , I). S – множина світів, – бінарне відношення на S, I : Ps S {T, F} – відобр. інтерпретації атомарних формул на світах. Традиційно трактуємо так: світ можливий відносно світу , або світ досяжний із світу . Це означає, що всяке твердження, істинне в світі , можливе в світі . Тому – відношення досяжності. При такому розумінні кожне твердження, істинне в , можливе в Звідси . Це означає, що рефлексивне. 31

I : Ps S {T, F} індуктивно продовжується до J : Fm S {T, F}: 1) J(A, ) = I(A, ) А Ps; 2) J( , ) = (J( , )); 3) J( , ) = (J( , ), J( , )); 4) J( , ) = Т S: , else J( , ) = F. Це означає: необхідна в , якщо істинна в усіх світах, досяжних із світу . істинна в моделі М, що позн. М |= : S J( , ) = Т. Модель можливих світів М називають: 1) Т-моделлю, якщо рефлексивне; 2) B-моделлю, якщо рефлексивне і симетричне; 3) S 4 -моделлю, якщо рефлексивне і транзитивне; 4) S 5 -моделлю, якщо рефлексивне, транзитивне і симетричне. 32

Формула Т-, В-, S 4 -, S 5 -істинна якщо істинна на кожній Тмоделі, В-моделі, S 4 -моделі, S 5 -моделі. Позначаємо Т|= , В|= , S 4|= , S 5|= Між Ах. В, Ах. S 4, Ах. S 5 та властивостями В-, S 4 -, S 5 -моделей існує безпосередній зв'язок: – аксіома Ах. В дає умову симетричності відношення ; – аксіома Ах. S 4 дає умову транзитивності відношення ; – аксіома Ах. S 5 дає умову транзитивності та симетричності . Використовуючи модальні аксіоми, можна описати багато важливих властивостей відношення : щільність, зв'язність, функціональність та інші. Зокрема, щільність: Ах. Dn) . Проте деякі властивості , зокрема, іррефлексивність, асиметричність, антисиметричність, описати аксіомами такого типу неможливо 33

Теореми коректності та повноти. Теорема. Для кожної формули : 1) T| Т|= ; 2) B| В|= ; 3) S 4|= ; 4) S 5|=. 34

Темпоральні логіки Основні модальності часової (темпоральної) логіки відомі з античних часів: "завжди було", "колись було", "завжди буде", "колись буде". Відповідно введемо модальні композиції темпоральної логіки: (завжди буде), (завжди було), (колись буде) та (колись було). , , , – базові часові (темпоральні) оператори. Вони пов'язані співвідношеннями: Р = Р, Р = Р. Вважаємо базовими та Тоді та є похідними: Р означає Р, Р означає Р. 35

Аксіоматичні системи темпоральної логіки на пропозиційному рівні. Мова – розширення мови ПЛ. Алфавіт мови: множина Ps, , та , . Множина формул Fm визначається індуктивно: 1) Кожний P Ps є формулою. Такi формули атомарні. 2) Нехай та – формули. Тодi , , – формули. та – це скорочення для та . 36

Мінімальне темпоральне числення Кt – аналог системи К. Аксіоми системи Кt – це аксіоми ПЛ і аксіоми, задані схемами: Ах. Nr ) ( ). Ах. Т ) . Аксіоми Ах. Т та Ах. Т відображають принципи змішування часів. ПВ темпорального числення – це ПВ класичної ПЛ, до яких додані: ПM ) | . 37

Темпоральне числення Тt є аналогом системи Т. Множина аксіом Тt складається з аксіом Кt та аксіом: Ах ) . Темпоральне числення Вt є аналогом системи В. Множина аксіом Вt складається з аксіом Тt та аксіом: Ах. В ) . 38

Темпоральне числення S 4 t є аналогом системи S 4. Множина аксіом S 4 t складається з аксіом Тt та аксіом: Ах. S 4 ) . Аналогом системи S 5 є темпоральне числення S 5 t. Множина аксіом S 5 t складається з аксіом Тt та аксіом: Ах. S 5 ) . Правила виведення темпоральних числень Тt, Вt, S 4 t, S 5 t такі ж, що й для Кt. 39

Реляційна семантика темпоральної логіки задається подібно до реляційної семантики алетичної модальної логіки. Аналогічно вводимо поняття темпоральної моделі можливих світів Тепер вказує напрям часу – від минулого до майбутнього. Визначення відображення J : Fm S {T, F} відрізняється від визначення для алетичної модальної логіки тільки тим, що замість 4) маємо 4 ) та 4 ) для формул вигляду та 4 ) J( , ) = Т J( , ) = Т S: else J( , ) = F. 4 ) J( , ) = Т J( , ) = Т S: else J( , ) = F. Лінійна темпоральна логіка. Модальні оператори: , , 0. Тут 0 Р означає "в наступний момент Р". Розглядались розширення мінімальної темпоральної логіки, моделі яких мають властивості фізичного часу (лінійність, дискретність чи континуальність, щіьність, скінченність чи нескінченність, циклічність і т. п. ) 40

Метричні темпоральні логіки. Мінімальне метричне темпоральне числення побудоване А. Прайором. Основні часові оператори – n – "буде через n одиниць часу" – n – "було n одиниць часу тому". Неметричні оператори , , , виражаються через n, та n : Р = n ( n Р) Д. Кліффорд увів "потоки часу" та відповідні оператори: – n: "в потоці через n одиниць часу буде істинним" – n: "в потоці n одиниць часу тому було істинним". Д. Кліффорд описав відповідні темпоральні числення. 41

Деонтичні логіки Вивчають міркування з термінами "обов'язково", "дозволено", "заборонено". Деонтичну логіку називають також логікою норм. Предмет деонтичної логіки – нормативні міркування. Термін "деонтична“ – від deontis: "так, як має бути", "належним чином". Творець сучасної деонтичної логіки – Г. фон Врігт. У 1951 р. сформулював проблеми деонтичної логіки та навів їх розв'язки. Подальший розвиток – в роботах С. Канґера, А. Андерсона, А. Прайора та ін. Сама можливість побудови деонтичної логіки сумнівна з точки зору багатьох логіків та філософів. На їх думку, логіка має справу з реченнями, які є істинними або хибними. Але деонтичні (нормативні) речення ані істинні, ані хибні, бо належать не до реального світу , а до ідеального "світу належного". 42

Поняття "деонтичний світ" ввів Е. Кант, він запропонував класичну інтерпретацію можливого світу як деонтичного. Е. Кант визначив моральний світ як світ, що відповідає всім модальним законам, яким він може бути згідно волі розумних істот і яким він має бути згідно законів моральності. Моральний світ – це ідеальний світ, один з варіантів можливого світу, де все ідеально діє і взаємодіє. Деонтичний світ – це світ, який ми хотіли б мати. Кант постулював існування єдиного "модального" світу, але деонтична логіка допускає існування багатьох світів. Наприклад, декілька деонтичних світів трактуємо як різні проекти конституції, що розглядаються Верховною Радою. Конкретизація семантики можливих світів для деонт. логіки: 1) можливий світ – це деонтичний світ; 2) відношення досяжності – це відношення між світом, в якому будується деонтичний світ, та цим деонтичним світом. 43

Мінімальний (стандартний) варіант деонтичної логіки. Базовий деонтичний оператор О – "обов'язково". Похідні деонтичні оператори: 1) Оператор Р – "дозволено": РQ означає О Q ; 2) Оператор F – "заборонено": FQ означає О Q ; 3) Оператор I – "байдуже": IQ означає РQ & P Q. Cтандартним чином – мова деонтичної логіки та аксіоматичні системи. На пропозиційному рівні отримуємо деонтичну систему DS. Mножина аксіом і ПВ системи DS складається з аксіом і ПВ класичної ПЛ, до яких додаються аналоги аксіом Ах. Nr і Ах та ПВ ПО: Ах. DNr) О( ) (О О ). Ах. D ) O Р. ПО) | О. В деонтичній логіці формула O не є істинною. Вона означає: "якщо має бути , то ". 44

Реляційна семантика деонтичної логіки. Відношення досяжності мусить бути: 1) іррефлексивним, тобто невірно ; 2) мати властивість незавершеності: світу існує світ : . – незбіг належного і реального, – існування для кожного світу свого деонтичного світу. Формалізація деонтичної логіки не зовсім адекватна. В деонтичній логіці існують твердження, інтуїтивно неприйнятні, але які можна формально довести в DS. А. Прайор показав | О О( ), але вона інтуїтивно несприйнятна. Можлива її інтерпретація: в корпусі факультету заборонено палити, отже, якщо ви палите, можна вбивати. Тому сумнівне трактування Г. фон Врігтом формули О( ) як твердження про похідний обов'язок: зробити у разі виконання . 45

Прайор: визначимо похідний обов'язок формулою О. Тоді теоремою буде ( О ), яка парадоксальна, бо означає: те, що не існує, зобов'язує робити все, що завгодно. Парадоксальною є формула F F( & ). Вона означає: із заборони дії випливає заборона поєднувати її з іншою дією. Це вірно, зокрема, і для дії, що компенсує порушення заборонної дії. Наприклад, якщо заборонено лаятися, то зaборонено лаятися і вибачатися. Побудова кванторних деонтичних логік – принципові труднощі Наприклад, О х (х) та Р х (х) еквівалентні, але різні за деонтичною сутністю. – перша стверджує: обов'язково існує індивід, який виконує ; – друга стверджує, що не дозволено кожному виконувати . Парадоксальною є також х. О О х : якщо існує індивід, що обов'язково порушує закони, то обов'язково існує індивід, що порушує закони. 46

Варіант деонтичної логіки – логіка санкцій А. Андерсона. Андерсон виражає деонтичний оператор О за допомогою оператора та константного предикату S, який означає санкцію (штраф). ОQ визначається як ( Q S), FQ означає (Q S), IQ означає (Q& S). Числення Sd логіки санкцій включає аксіому S: кари можна уникнути. Різновидність логіки санкцій – деонтична логіка з предикатною константою N (нормативний кодекс). ОQ задається як (N Q), FQ задається як (N Q), РQ – як N&Q. Відповідне числення включає аксіому N Вона означає можливість дотримання нормативного кодексу. 47

Епістемічні логіки Епістемічна логіка досліджуються міркування з модальностями "відомо", "вірно", "доведено", "спростовано". Засновник епістемічної логіки як науки – Я. Хінтікка. В 1962 в роботі "Знання і опінія" застосував апарат модальної логіки для порівняльної логічної характеристики того, що є змістом знання і що є змістом опінії, віри. Запропонував семантику можливих світів епістемічної логіки. Постулати епістемічної логіки: 1) Знання пов'язане з реальністю. 2) Вірування пов'язані з внутрішнім світом опіній. 3) Опінія – це уявлення суб'єкта про свою мислиму діяльність. 4) Сумнів – це невпевненість у знанні. 5) Незнання – це особливий стан (Сократ: "я знаю тільки те, що я нічого не знаю"). 6) Знання – це обгрунтована віра. 48

Основні модальності епістемічної логіки – К та В. – КQ можна трактувати так: "відомо, що Q". – ВQ можна трактувати так: "вірую, що Q". В заг. вигляді – параметричні модальні оператори Кх та Вх. Відповідає наявності ск. множини суб'єктів знання – експертів. – Кх. Q трактується так: "експерт х знає, що Q". – Вх. Q трактується так: "експерт х вірить, що Q". Між знанням і вірою маємо співвідношення: Кх. Q Вх. Q; Вх. Q Кх. Вх. Q; Кх. Q Вх. Кх. Q. Вх Q Вх. Q; Вх Вх. Q; Ву. Кх. Q Ву(Вх. Q Q). В деяких версіях – додатково оператори сумніву С та спростування Z. Cх. Q: "експерт х cумнівається, що Q". Zх. Q: "експерт х cпростовує Q". 49

Епістемічна логіка знання пропозиційного рівня Вводимо тільки модальний оператор знання. Логіка знання з одним експертом Оператор К відповідає наявності єдиного суб'єкта знання (експерта). Алфавіт мови: множина Ps, , , символ К мод-го оператора знання. Множина формул Fе визначається індуктивно: 1) Кожний P Ps є формулою. Такi формули атомарні. 2) Нехай та – формули. Тодi , , К – формули. Множина аксіом складається з аксіом ПЛ та аксіом: Ах. ЕN) К( ) (К К ). Ах. Re) К – аксіома реальності знання Ах. PR) К КК – аксіома позитивної рефлексії Ах. NR) К К К – аксіома негативної рефлексії ПВ складаються з ПВ ПЛ, до яких додається правило знання: ПК) | К. 50

Т(1) – система епістемічної логіки, яка включає Ах. ЕN та Ах. Re Вона є аналогом системи Т алетичної модальної логіки. S 4(1) – система епіст. логіки, яка включає Ах. ЕN, Ах. Re та Ах. PR Вона є аналогом системи S 4 алетичної модальної логіки. S 5(1) – система епіст. логіки, яка включає Ах. ЕN, Ах. Re та Ах. NR Вона є аналогом системи S 5 алетичної модальної логіки. Реляційна семантика для систем пропозиц. епістемічної логіки Відношення досяжності трактується так: означає: експерт в ситуації розглядає ситуацію як можливу. – Ах. Re дає умову рефлексивності відношення досяжності . – Ах. PR дає умову транзитивності . – Ах. NR дає умову транзитивності та симетричності . 51

Системи пропозиційної епістемічної логіки з n експертами Вводимо скінченну множину операторів знания К 1, …, Кn. Відповідно визначається мова Аксіоматичні системи замість однієї схеми аксіом Ах. ЕN Ах. Re, Ах. PR містять n схем аксіом такого ж типу для К 1, …, Кn. Системи, відповідні системам Т(1), S 4(1), S 5(1), називають Т(n), S 4(n), S 5(n). Замість єдиного відношення маємо n таких відношень 1 , …, n. k : k-й експерт в ситуації розглядає ситуацію як можливу. Подальший розвиток епістемічної логіки – системи загального знання, внутрішнього (розподіленого) знання, епістемічна логіка Левескю (містить поняття явних i неявних опіній), узагальнююча її логіка обізнаності. На базі епістемічної логіки Левескю – мова KL опису систем знань з неповною інформацією, яка дозволяє не тільки робити запити бази знань, але й отримувати інформацію про повноту чи неповноту отриманих знань. 52