Интерпретация ИВ Непротиворечивость ИВ Связь И В с

Интерпретация ИВ. Непротиворечивость ИВ. (Связь И. В. с А. В. ) {0, 1} , А В, . тавтология или т. и. ф. - 1 (истина) Лемма 1. Все аксиомы ИВ являются тавтологиями.

А 1: А (В А) А ( А В ) 01 0 01 1 0 0 11 0 1 1 1 1

Лемма 2. Правило вывода МР сохраняет тавтологичность формулы, т. е. , если А В – тавтологии, то В – тавтология. Доказательство: В = 0 (ложь) А – тавтология А В на наборе (1, 0) ложна. Следовательно, формула В – тавтология.

Т 1. Если формула ИВ выводима, то она является тавтологией. ├А А – Т. И. Ф. Дано: формула А – выводима из аксиом в ИВ: F 1, F 2, …, Fn=А – вывод А. I. Построение базиса. Пусть n =1. F 1 – аксиома ( по лемме 1 – она тавтология). II. Индукционный шаг. Пусть доказано, что для n N, 1

Для формулы Fk возможны случаи: а) Fk – аксиома, лемме 1. Fk – тавтология по б) Fk получена по правилу МР из Fi и Fj (i, j

Непротиворечивость ИВ ├А и ├. Т 2. Исчисление высказываний непротиворечиво. Т. к. ├А, то по Т 1 она является тавтологией, но тогда тавтологией не является и поэтому она выводимой быть не может. Приходим к противоречию. Следовательно ИВ непротиворечиво.

Лемма о полноте ИВ Обозначения: F(x 1, x 2, …, xn) – формула ИВ, x 1, x 2, …, xn – список попарно различных переменных формулы F. Пусть =< 1, 2, …, n> – упорядоченный набор длины n из 0 и 1: i {0, 1}.

Пример: Пусть F=x 1 x 3; = <0, 1, 1>, тогда , т. к. 0 1=1. Если = <1, 0, 0>, то , т. к. 1 0=0.

Лемма (о выводимости). Для любой формулы F(x 1, x 2, …, xn) и любого набора справедлива выводимость: x 1 , х2 , …, хn ├F (x 1, x 2, …, xn). Дано: Г={x 1 , х2 , …хn }. Требуется доказать, что Г├F. Доказательство проведем м. м. и. по длине формулы F (числу логических связок k, входящих в запись формулы). I. Базис: k=0; F=xi. Нужно доказать: x 1 , х2 , … xi , …, хn ├F =xi – следует по свойству 1 выводимости из гипотез. II. Пусть для любой формулы длины 0

Возможны случаи: 1) 2) , F 1 и F 2 имеют длину меньше, чем s и для них утверждение леммы выполняется, т. е. Г├F 1 , Г├F 2. Требуется доказать: Г├F. 1). Дано: Г├F 1. Доказать: Г├F.

Возможны подслучаи а) Дано: Г├F 1 =. Доказать: Г├F =F=. То, что требуется доказать – дано. б) Значение F 1 на равно 1. Дано: Г├F 1 =F 1. Доказать: Г├F = ( ). Требуемое следует по закону введения двойного отрицания.

2)

а) Дано: Г├ , Г├. Доказать: Г├F 1 F 2. 1) Г├ …………дано 2) ├ ………………из 1) по 2 3) Г, F 1├F 2 ………………. . . из 2) по О. К. 4) Г├F 1 F 2………………. . из 3) по ТД.

б) Дано: Г├ , Г├ F 2. Доказать: Г├F 1 F 2. Доказательство совпадает с предыдущим случаем. 1) Г├ …………дано 2) ├ ………………из 1) по 2 3) Г, F 1├F 2 ………………. . . из 2) по О. К. 4) Г├F 1 F 2………………. . из 3) по ТД.

в) Дано: Г├F 1, Г├ Доказать: Г├ . . Иначе, требуется доказать: ├. Доказательство: 1) Г, F 1 F 2├F 2…………. . МР к списку гипотез 2) ├ …………из 1) по П. К. 3) Г├F 1……………. . дано 4) ├ ……………. . из 3), 4) по 3 5) Г├ ……………. . дано 6) Г├ …………………. из 4), 5) по 3.

г) Дано: Г├F 1, Г├F 2. Доказать: Г├F 1 F 2. 1) Г├F 2……………. дано 2) Г, F 1├F 2……………из 1) по 2 3) Г├F 1 F 2…………. . . из 2) по ТД. Т. о. , лемма справедлива для любой формулы F.

Полнота ИВ элеменировать Т. (о полноте) ИВ полно, т. е. если формула является тавтологией, то она выводима в ИВ. Доказательство: Пусть А – ТИФ, тогда А =А для любого набора . x 1 , х2 , …хn ├А =А. =< 1, 2, …, n-1, 1>. x 1 , х2 , …хn-1 , хn├А………………. . (1). =< 1, 2, …, n-1, 0>. x 1 , х2 , …хn-1 , ├А…………………(2). x 1 , х2 , …хn-1 , ├А, расшифруем дизъюнкцию: ├ – пример 1

x 1 , х2 , …хn-1 ├А х1├А ├А ├А ├А Пример: Пусть А – тавтология, содержащая 2 переменные. По лемме справедливы выводимости: 1) 2) ├А ├А ├А 3) ├А ├А 4) ├А Следствие: Формула выводима в ИВ , когда она является тавтологией.

Разрешимость И. В. Независимость системы аксиом {A} Лемма 1. Аксиома (А 1) не зависит от аксиом (А 2) и (А 3) формализованного ИВ. М={0, 1, 2} А М, элемент, обозначаемый паре А и В элементов из М элемент из М, обозначаемый А В

Выделенная (А 2): А (В С) ((А В) (А С))

(А 3):

Докажем, что формула (А 1) не является выделенной, т. е. ее нельзя вывести из (А 2), (А 3) с помощью правила МР. Пусть А=1, В=2: А (В А)=1 (2 1)=1 0=2 0. Модель построена. (А 1) не зависит от (А 2) и (А 3).