Интерполирование функций
Постановка задачи: Функция задана таблично: x x 0 x 1 x 2 … xn y y 0 y 1 y 2 … yn (1) Вычислить: Вычислить (2) -сетка или узлы интерполирования
Постановка задачи: Построим функцию -интерполяционную функцию, удовлетворяющую условию: - условие интерполяции тогда считать
Линейная интерполяция аппроксимируется на каждом Функция частичном отрезке прямой.
Расчетные формулы линейной интерполяции (4) (5)
Квадратичная интерполяция - условие интерполирования
Получение расчетных формул (6) - определитель Вандермонда - неизвестные переменные
Алгоритм 1. Определить отрезок , содержащий 2. Решить систему (6), для определения: 3. Подставить коэффициентах в функцию a при известных
Глобальная интерполяция алгебраическими многочленами (7) - условие интерполирования (8) – СЛАУ из (n+1) уравнения с определителем Вандермонда (7) существует и единственно
Интерполяционный многочлен Лагранжа (1) - многочлены n-ой степени - значения функций из таблицы - условия интерполирования (2)
Построение многочленов сi(x) (3)
Построение многочленов сi(x) (продолжение) (4) (5) (6)
Вид интерполяционного многочлена Лагранжа (7) (9) (8)
Запись интерполяционного многочлена Лагранжа через (10) (11) (12)
Частные случаи интерполяционного многочлена Лагранжа а) линейная интерполяция через точки (xi, yi), (xi+1, yi+1)
б) квадратичная интерполяция через точки (xi-1, yi-1), (xi, yi), (xi+1, yi+1)
Погрешность интерполирования обозн. - остаточный член формулы Лагранжа (13) Функция требуем имеет (n+1) нулей следовательно, (n+2) нуля (14) Пусть
Погрешность интерполирования (продолжение) Из (13) получим, что
Верхняя оценка погрешности rn(x) (15)
Сходимость интерполяционного процесса Определение: равномерная сходимость означает, что при Определение: говорят, что интерполяционный процесс для функции y(x) сходится в точке , если существует
Интерполяционная формула Ньютона Разделенными разностями первого порядка называются отношения: (1) По разделенным разностям первого порядка можно построить разделенные разности второго порядка: (2)
Таблица разделенных разностей x y x 0 первая разделенная разность вторая разделенная разность y 0 … … … y(x 0; x 1) y(x 0; x 1; x 2) … y(x 1; x 2) x 1 … … … y(xn-2; xn-1; xn) … y 1 x 2 y 2 … …. xn yn n-ая разделенная разность y(xn-1; xn) … … y(x 0; …; xn)
Интерполяционные многочлены Ньютона (3) (4)
Скачать презентацию Интерполирование функций Постановка задачи Функция задана таблично
Интерполирование функций.ppt