Интерполирование функций Интерполяционный многочлен Лагранжа Интерполирование интерполяция

Интерполирование функций Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполирование, интерполяция способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Постановка задачи Пусть функция f(x) задана таблично x x 0 x 1 x 2 … xn f(x) y 0 y 1 y 2 … yn

Найти значение функции f(x), причем x принадлежит отрезку [x 0 , xn], но не совпадает ни с одним из табличных значений.

Задача сводится к построению приближающей функции F(x), которая в некотором смысле близка к функции f(x), и аналитическим выражением которой можно воспользоваться для вычислений, считая приближенно, что f(x) = F(x)

Классический подход к решению этой задачи основывается на требовании строгого совпадения значений f(x) и F(x), в табличных значениях x, т. е. F(x 0)=y 0 , F(x 1)=y 1 , …, F(xn)=yn В этом случае нахождение приближающей функции называется интерполированием

Определение Рассмотрим систему несовпадающих точек xi из некоторой области. Пусть значения функции f известны только в этих точках: yi =f(xi). i=0, 1, 2, … n Задача интерполяции состоит в поиске такой функции F из заданного класса функций, что F(xi)= yi Точки xi называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой. Пары (xi , yi )называют точками данных или базовыми точками. Разность между «соседними» значениями — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным так и постоянным. Функцию F (x) — интерполирующей функцией

Способы интерполяции n n n Интерполяция методом ближайшего соседа Интерполяция многочленами Обратное интерполирование (вычисление x при заданном y) Интерполяция функции нескольких переменных Другие способы интерполяции

Интерполяция многочленами На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано прежде всего с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные. n n n n Линейная интерполяция Интерполяционная формула Ньютона Метод конечных разностей ИМН-1 и ИМН-2 Многочлен Лагранжа (интерполяционный многочлен) Сплайн-функция Кубический сплайн

Интерполяционный многочлен Лагранжа . . . (1) …(2) где