Интересные натуральные числа Среди всех интересных натуральных чисел

Интересные натуральные числа. Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа. Перестаньте отыскивать интересные числа! Оставьте для интереса хотя бы одно неинтересное число! Из письма читателя Мартину Гарднеру.

Совершенные числа. • Совершенное число — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. • Примеры: v 1 -е совершенное число — 6 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма 1 + 2 + 3 равна 6. v 2 -е совершенное число — 28 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма 1 + 2 + 4 + 7 + 14 равна 28. v 3 -е совершенное число — 496 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 равна 496.

Чётные совершенные числа. v Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида, где было доказано, что число является совершенным, если число является простым. Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом. v Первые четыре совершенных числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского. Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности. На апрель 2010 года известно 47 простых чисел.

Нечётные совершенные числа Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел. Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределенных вычислений.

Свойства. v Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел: ( ). v Все чётные совершенные числа являются треугольными числами; кроме того, они являются шестиугольными числами, то есть, могут быть представлены в виде n(2 n− 1) для некоторого натурального числа n. v Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая его само), равна 2. v Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76. v Все чётные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала p единиц, за которыми следует p— 1 нулей (следствие из их общего представления).

Дружественные числа. Дру жественные чи сла -два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики

История. v Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые, однако, знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284. v Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит Ибн Курра ). Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел. Много столетий спустя Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Одна из них — 17296 и 18416. Но общего способа нахождения таких пар нет до сих пор. v Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. На сентябрь 2007 года известно 11994387 пар дружественных чисел. Все они состоят из чисел одной чётности. Существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел, неизвестно. Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше .

Примеры. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 220 и 284 (Пифагор, около 500 до н. э. ) 1184 и 1210 (Паганини, 1860) 2620 и 2924 (Эйлер, 1747) 5020 и 5564 (Эйлер, 1747) 6232 и 6368 ( Эйлер, 1750) 10744 и 10856 (Эйлер, 1747) 12285 и 14595 (Браун, 1939) 17296 и 18416(Ибн ал-Банна, 1636) 63020 и 76084 (Эйлер, 1747) 66928 и 66992 (Эйлер, 1750) 67095 и 71145 (Эйлер, 1747) 69615 и 87633 (Эйлер, 1747) 79750 и 88730 (Рольф (Rolf), 1964)

Способ построения. v Формула Сабита Если для натурального числа все три числа: , являются простыми, то числа и образуют пару дружественных чисел. Эта формула даёт пары (220, 284), (17296, 18416) и (9363584, 9437056) соответственно для , но больше никаких пар дружественных чисел для не существует. Кроме того, многие дружественные числа, например (6232, 6368), не могут быть получены по этой формуле. v Метод Вальтера Боро Если для пары дружественных чисел вида и числа и являются простыми, причём не делится на , то при всех тех натуральных , при которых оба числа и просты, числа и — дружественные.