ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

Скачать презентацию ИНТЕГРИРОВАНИЕ  РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ  ФУНКЦИЙ Скачать презентацию ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

интегрирование различных классов функций.ppt

  • Количество слайдов: 54

>  ИНТЕГРИРОВАНИЕ  РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ  ФУНКЦИЙ 1. Интегрирование рациональных функций. 2. Интегрирование ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ 1. Интегрирование рациональных функций. 2. Интегрирование тригонометрических функций. 3. Интегрирование иррациональных функций.

>  Вопрос 1. Интегрирование рациональных функций  1. 1. Правильные и неправильные Вопрос 1. Интегрирование рациональных функций 1. 1. Правильные и неправильные рациональные дроби О. 1. 1. Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью называется функция, равная отношению двух многочленов, т. е. функция вида

>О. 1. 2. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя (m О. 1. 2. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя (m < n). В противном случае (если m ≥ n) рациональная дробь называется неправильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби , т. е.

>Пример 1.  Пример 1.

>Следовательно,  О. 1. 3. Правильные рациональные дроби вида где A, B, a, p, Следовательно, О. 1. 3. Правильные рациональные дроби вида где A, B, a, p, q R; k ≥ 2 и k N; квадратный трехчлен x 2 + px + q не имеет действительных корней, т. е. D = p 2 – 4 q < 0, называются простейшими или элементарными рациональными дробями.

>  1. 2. Интегрирование элементарных  рациональных дробей I.  Пример 2. II. 1. 2. Интегрирование элементарных рациональных дробей I. Пример 2. II.

>Пример 3.  Пример 3.

>III. III.

>Таким образом,  Таким образом,

>Пример 4.  Пример 4.

> 1. 3. Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей Т. 1. 1. (разложение 1. 3. Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей Т. 1. 1. (разложение правильной рациональной дроби на сумму элементарных дробей) Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители где трехчлены x 2 + pix + qi (i = 1, 2, …, m) не имеют действительных корней, можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы элементарных дробей:

>    (1) где A 1, A 2, …, B 1, B (1) где A 1, A 2, …, B 1, B 2, C 1, D 1, …, M 1, N 1, … - некоторые действительные числа (коэффициенты).

>Пример 5.  Пример 5.

>Для нахождения неизвестных коэффициентов в равенстве (1) применяется метод сравнивания коэффициентов или метод неопределенных Для нахождения неизвестных коэффициентов в равенстве (1) применяется метод сравнивания коэффициентов или метод неопределенных коэффициентов, который состоит в следующем: 1. В правой части равенства (1) приводят дроби к общему знаменателю Q(x). В результате получают тождество где S(x) - многочлен с неопределенными коэффициентами. 2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т. е. P(x) S(x). (2)

>3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества (2),  получают 3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества (2), получают систему линейных уравнений, из которой и определяют искомые коэффициенты A 1, A 2, …, B 1, B 2, C 1, D 1, …, M 1, N 1, …

>  1. 4. Интегрирование  рациональных дробей  Общее правило интегрирования рациональных 1. 4. Интегрирование рациональных дробей Общее правило интегрирования рациональных дробей 1. Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби, т. е. выделить целую часть. 2. Разложив знаменатель правильной дроби на множители, представить ее в виде суммы элементарных дробей с использованием метода неопределенных коэффициентов. 3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму элементарных дробей.

> Пример 6. Найти интеграл     Решение 1.  2. Пример 6. Найти интеграл Решение 1. 2.

>Приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях х:  Приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях х:

>Таким образом,   3. Таким образом, 3.

>Замечание Любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.  Замечание Любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.

> Вопрос 2. Интегрирование  тригонометрических функций Функцию с переменными sinx и cosx, над Вопрос 2. Интегрирование тригонометрических функций Функцию с переменными sinx и cosx, над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение, деление), обозначают R(sinx, cosx), где R – знак рациональной функции. 2. 1. Универсальная подстановка Рассмотрим интеграл вида R(sinx, cosx)dx (3)

>Вычисление интегралов вида R(sinx, cosx)dx, где R – рациональная функция аргументов sinx и cosx, Вычисление интегралов вида R(sinx, cosx)dx, где R – рациональная функция аргументов sinx и cosx, сводится к вычислению интеграла от рациональной функции аргумента t подстановкой которая называется универсальной, так как позволяет проинтегрировать любую функцию вида R(sinx, cosx).

>Имеют место формулы: Тогда  Имеют место формулы: Тогда

>где R 1(t) - рациональная функция аргумента t.  Пример 7. Найти  где R 1(t) - рациональная функция аргумента t. Пример 7. Найти Решение

>1. Если подынтегральная функция R(sinx, cosx) содержит cosx в нечетной степени, то интеграл (3) 1. Если подынтегральная функция R(sinx, cosx) содержит cosx в нечетной степени, то интеграл (3) подстановкой t = sinx приводится к интегралу от рациональной функции. 2. Если подынтегральная функция R(sinx, cosx) содержит sinx в нечетной степени, то подстановка t = cosx приводит интеграл (3) к интегралу от рациональной функции.

>3. Если подынтегральная функция R(sinx, cosx) содержит sinx и cosx только в четных степенях, 3. Если подынтегральная функция R(sinx, cosx) содержит sinx и cosx только в четных степенях, то интеграл (3) подстановкой t = tgx приводится к интегралу от рациональной функции, так как имеют место формулы и 4. Если подынтегральная функция зависит только от tgx, т. е. имеет вид R(tgx), то для сведения интеграла к интегралу от рациональной функции используется подстановка t = tgx.

> 2. 2. Интегралы вида R(sinx)cosxdx,  R(cosx)sinxdx 2. 2. Интегралы вида R(sinx)cosxdx, R(cosx)sinxdx

>Пример 8. Пример 8.

> 2. 3. Интегралы вида sinmxcosnxdx 1. Пусть n - целое положительное нечетное число, 2. 3. Интегралы вида sinmxcosnxdx 1. Пусть n - целое положительное нечетное число, т. е. n = 2 k + 1. Тогда Таким образом, используется подстановка t = sinx.

> 2. Пусть m - целое положительное нечетное число, т. е. m = 2 2. Пусть m - целое положительное нечетное число, т. е. m = 2 k + 1. Данный случай аналогичен предыдущему. Используется подстановка t = cosx. 3. Пусть m и n - четные неотрицательные числа, т. е. m = 2 k, n = 2 p. Применим формулы понижения степени:

>Получим  4. Пусть m + n - четное отрицательное число,  тогда используется Получим 4. Пусть m + n - четное отрицательное число, тогда используется подстановка t = tgx.

>Пример 9.  Пример 9.

> 2. 4. Интегралы вида sinaxsinbxdx,   cosaxcosbxdx,  sinaxcosbxdx Интегралы данного типа 2. 4. Интегралы вида sinaxsinbxdx, cosaxcosbxdx, sinaxcosbxdx Интегралы данного типа вычисляются с помощью следующих формул:

>Пример 10. Пример 10.

> 2. 5. Тригонометрические подстановки Интегралы вида  приводятся к интегралам от функций, рационально 2. 5. Тригонометрические подстановки Интегралы вида приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, т. е. к интегралам вида R(sint, cost)dt, с помощью следующих тригонометрических подстановок: x = a sint - для интеграла 1); x = a tgt - для интеграла 2); x = a/sint - для интеграла 3).

>Пример 11.  Пример 11.

>Замечание Интегралы типа сводятся к интегралам 1) - 3) путем выделения полного квадрата в Замечание Интегралы типа сводятся к интегралам 1) - 3) путем выделения полного квадрата в подкоренном выражении и выполнения соответствующей замены переменной.

>  Вопрос 3. Интегрирование  иррациональных функций Среди методов интегрирования иррациональных функций главную Вопрос 3. Интегрирование иррациональных функций Среди методов интегрирования иррациональных функций главную роль играет прием рационализации, который состоит в преобразовании переменной интегрирования таким образом, чтобы подынтегральная функция стала рациональной. О. 3. 1. Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными функциями, как с целыми, так и с дробными показателями, и не являющаяся рациональной, называется иррациональной функцией.

>Пример 12.   Рассмотрим те иррациональные функции,  интегралы от которых с помощью Пример 12. Рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций.

> 3. 1. Интегралы вида  (R - рациональная функция; m, n, …, s, 3. 1. Интегралы вида (R - рациональная функция; m, n, …, s, k N) Пусть r - общий знаменатель дробей Выполним подстановку

>При этом x = tr, dx = rtr‒ 1 dt. Тогда каждая дробная степень При этом x = tr, dx = rtr‒ 1 dt. Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень t, и подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.

>Пример 13.  Пример 13.

>3. 2. Интегралы вида   (R - рациональная функция;  a, b, c, 3. 2. Интегралы вида (R - рациональная функция; a, b, c, d R; m, n, …, s, k N) Интегралы данного типа сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки (4) где r - общий знаменатель дробей

>Выразим х из равенства (4) и найдем dx. Выразим х из равенства (4) и найдем dx.

>Таким образом, х и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и Таким образом, х и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби выражается через рациональную функцию от t.

>Пример 14. Пример 14.

>     3. 3. Интегралы вида Интегралы типа   3. 3. Интегралы вида Интегралы типа (5) и (6) называются неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей.

>Интегралы типа (5) и (6) находятся следующим образом: 1. Под корнем выделяют полный квадрат Интегралы типа (5) и (6) находятся следующим образом: 1. Под корнем выделяют полный квадрат 2. Выполняют подстановку При этом интеграл (5) приводится к табличному интегралу, а интеграл (6) – к сумме двух табличных интегралов.

>Пример 15. Найти    Решение Таким образом, получим Пример 15. Найти Решение Таким образом, получим

>Пример 16.  Найти      Решение Таким образом, получим Пример 16. Найти Решение Таким образом, получим

>  3. 4. Интегралы, не выражающиеся  через элементарные функции Всякая функция f(x), 3. 4. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции Всякая функция f(x), непрерывная на интервале (a; b), имеет на этом интервале первообразную, т. е. существует такая функция F(x), что F′(x) = f(x). Однако не всякая первообразная, даже тогда, когда она существует, выражается в конечном виде через элементарные функции. В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции f(x) является так же элементарной функцией, говорят, что интеграл f(x)dx «берется» , т. е. интеграл выражается в конечном виде через элементарные функции (или интеграл вычисляется).

>Если же интеграл не выражается в конечном виде через элементарные функции, то говорят, Если же интеграл не выражается в конечном виде через элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» (или его нельзя найти). Приведем примеры «не берущихся» интегралов, которые имеют большое значение в приложениях: - интеграл Пуассона (теория вероятностей); - интегральный логарифм (теория чисел);

>     - интегралы Френеля     (физика); - интегралы Френеля (физика); - интегральный синус и косинус (радиотехника); - интегральная показательная функция.

>Первообразные от функций и др. хорошо изучены, для них составлены подробные таблицы значений для Первообразные от функций и др. хорошо изучены, для них составлены подробные таблицы значений для различных значений аргумента х. Следует различать существование функции и возможность ее выражения с помощью элементарных функций. Указанные интегралы существуют, но наших средств – всех основных элементарных функций – оказывается недостаточно для того, чтобы составить из них конечные выражения для этих интегралов.