ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ Если функция u

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Если функция u (x) и v (x) дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл ∫ v du , то на нем существует интеграл ∫ udv , причем ∫ u dv = uv - ∫ v du. Эта формула называется формулой интегрирования по частям неопределенного интеграла.

Пусть функции u и v дифференцируемы на промежутке ∆ ; тогда по правилу дифференцирования произведения d(uv) = vdu + udv, поэтому udv = d( uv) – v du

Интеграл от каждого слагаемого правой части существует: интеграл ∫ v du существует по условию, а по свойству 1◦ Имеем : ∫ d (uv) = uv + C

Согласно свойству 3 существует интеграл ∫ u du , причем ∫ u dv = ∫ d(uv) - ∫ v du = uv - ∫ v du где постоянная интегрирования C, отнесена к интегралу ∫ v du. Формула ∫ u dv = uv - ∫ v du доказана.

Замечание 1. Очевидно, что в формуле интегрирования по частям оператор дифференцирования, обозначенный штрихом, перемещается с V на U. Этим обусловлена важная роль формулы при доказательстве самосопряженности линейных дифференциальных операторов. Замечание 2. Формулу интегрирования по частям удобно применять также в виде ∫ U(x) · v(x) dx = U(x) · V(x) − ∫ u(x) · V(x) dx, (2) где функция v(x) имеет очевидную первообразную V(x) , а U(x) — дифференцируемая функция, причем ее производная u(x) = U'(x) является более простой функцией, чем она сама.

Замечание 3. Формулу интегрирования по частям (1) можно представить в виде∫ U(x) d. V(x) = U(x)V(x) − ∫ V(x) d. U(x). (3) Метод интегрирования по частям применяется в следующих случаях: 1. Подинтегральное выражение содержит в качестве множителя одну из функций ln x , arcsin x , arccos x , arctg x. Если применить формулу (2), полагая в ней U(x) равной одной из этих функций, то подынтегральное выражение Vxu(x) может оказаться проще исходного. 2. Подинтегральное выражение имеет вид: Pn(x) eαx , Pn(x)sinαx или P(x)cosαx , где Pn(x) — многочлен степени n. Интегралы от таких функций вычисляются n –кратным применения формулы интегрирования по частям (1), причем в качестве U(x) каждый раз следует брать многочлен. После каждого интегрирования по частям степень многочлена понижается на единицу. 3. Подинтегральное выражение имеет вид eαx · cosβx, eαx · sinβx, sin(lnx), cos(lnx). После двукратного интегрирования по частям получается линейное алгебраическое уравнение относительно исходного интеграла. 4. После подведения под знак дифференциала получился интеграл ∫ U(x) d. V(x) , в котором функция U(x) не выражается через V(x), но функция V(x) выражается через. U(x). Тогда можно применить формулу интегрирования по частям (3).

Интегрирование по частям.