ИНТЕГРИРОВАНИЕ Операция обратная дифференцированию называется интегрированием

ИНТЕГРИРОВАНИЕ • Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

• Отыскание совокупности всех первообразных заданной функции называется нахождением неопределенного интеграла. • Например, если задана, по формуле отыскания производной степенной функции • находим производную, которая равна то

• Пусть требуется решить обратную задачу: дана некоторая функция • Требуется найти функцию , первая производная которой равна этой заданной функции: • Функция называется первообразной для функции .

• Если функция имеет первообразную , то она их имеет бесчисленное множество. А именно, если — первообразная функции, то , • где С — произвольная постоянная, также является первообразной функции.

• Итак, мы установили, что первообразная заданной функции определена с точностью до постоянной величины. Определение. Совокупность всех первообразных заданной функции называется неопределенным интегралом

• Здесь • dx- дифференциал переменной интегрирования, а переменная х – это «немая» переменная, • — знак интеграла (стилизованная буква «S» ),

— подынтегральная функция, — подынтегральное выражение, • — переменная интегрирования, • - дифференциал переменной интегрирования.

• Известно, что дифференцирование не выводит из области элементарных функций (если брать производную элементарной функции). В противоположность этому положению интегралы не всегда выражаются через элементарные функции. Более того, не существует теоремы, которая утверждала бы существование (либо несуществование) интеграла в общем случае.

Утверждение. Для непрерывных функций первообразная всегда существует, но не обязательно выражается через элементарные функции. • Естественно, теорема существования неопределенного интеграла не указывает пути отыскания первообразных. Поэтому, отыскание первообразных заданных функций требует определенных навыков и умений.

• Принцип отыскания неопределенных интегралов очень схож с известным принципом решения множества задач: вначале решаются простейшие задачи, находятся их решения, а решение более сложных задач стараются перевести в известные простейшие. Заметим, так мы поступали при решении степенных, логарифмических, показательных и тригонометрических уравнений.

• Основные свойства неопределенных интегралов. • 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е.

• 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т. е. •

• 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т. е. •

• 4. Постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за знак неопределенного интеграла (однородность), т. е. • (1) где. • Заметим, что равенство неопределенных интегралов понимается с точностью до произвольно постоянной величины.

• 5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых функций (аддитивность), т. е.

• Таблица неопределенных интегралов. • Из определения неопределенного интеграла следует, что достаточно взять производную произвольно взятой функции, чтобы найти ее первообразную. • Например, . • Отсюда,

• Производная функции равна: • Следовательно, • Приведем табличные интегралы

• Методы интегрирования неопределенных интегралов. • 1. Метод непосредственного интегрирования. • Этот метод заключается в сведении заданного интеграла к табличному путем простейших преобразований (упрощений) с применением основных свойств интеграла. • Проиллюстрируем этот метод на примерах.

• Примеры.

• 2. Метод замены переменной интегрирования. • Пусть требуется найти интеграл • где подынтегральная функция подразумевается непрерывной, а, значит, неопределенный интеграл от нее существует и пусть заданный интеграл не поддается непосредственному интегрированию. Однако, если переменную х интегрирования заменить на функцию новой переменной (упрощаем)—

, тогда получим интеграл от переменной t , который можно попытаться свести к табличному интегралу. После интеграции по переменной t необходимо вернуться к прежней переменной х. Этим и завершается метод замены переменной. • Формально это выглядит так:

• Для справедливости вышеприведенного равенства необходимы следующие условия: • 1) функция существует; • 2) функция дифференцируема; • 3) функция имеет обратную функцию (t= (x)).

• В справедливости равенства можно убедиться путем доказательства равенств производных по х от обеих частей, поскольку подобные равенства нами понимаются с точностью до произвольных постоянных величин:

Производные от интегралов равны, следовательно равны и интегралы (с точностью до постоянной С)

Примеры.

• Способ подстановки. • Пусть требуется найти неопределенный интеграл от непрерывной функции , при этом заданный интеграл не поддается интегрированию известными нам методами. Однако, если некоторое выражение от х в подынтегральной функции обозначить через новую переменную t, то получим интеграл, который сводится к табличному.

• Этот метод интегрирования называется способом подстановки. • Формально этот метод выглядит так:

Интегрирование по частям. Пусть и две дифференцируемые функции одного и того же аргумента. • Известно, что • Возьмем от обеих частей неопределенный интеграл

Последнее равенство называется формулой интегрирования по частям неопределенного интеграла. • Если подынтегральные выражения в равенстве рассматривать как произведение двух сомножителей, то формула интегрирования по частям переводит один интеграл в другой, где дифференцирование от одного множителя подынтегрального выражения переведено на другой множитель.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ • Определенный интеграл – есть площадь под графиком функции f(x). Упоминание площади адресовано к геометрическому чутью. Говорят также о площади криволинейной трапеции. С технической стороны дела – определенный интеграл – тот же неопределенный.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ • Задача, приводящая к понятию определенного интеграла. • Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. • В системе координат Оху дана криволинейная трапеция, ограниченная сверху линией , снизу осью Ох, cправа и слева соответственно прямыми и.

• Разделим отрезок на n произвольных частей и через точки деления проведем прямые, параллельные координатной оси Оу. • Обозначим через S -площадь криволинейной трапеции, а через - площади полученных ее частей при таком разбиении. `

• Приближенное выражение - i-ой площади выглядит так: • Аналогично поступив со всеми частями площади криволинейной трапеции, получим: • Очевидно, чем меньше по величине тем точнее приближенное равенство ,

• Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции аb. ВА свелось к вычислению предела Если существует этот предел и он конечен, не зависит ни от способа деления отрезка [a, b], ни от выбора точек, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке [a, b] и символически обозначается так:

• - знак определенного интеграла, • - подынтегральная функция, • - подынтегральное выражение, • х – переменная интегрирования (немая), • - дифференциал переменной интегрирования, • a –нижний предел интеграции, • b – верхний предел интеграции.

• Таким образом, по определению определенного интеграла имеем: • Из определения определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции равна

• Можно также утверждать, что площадь криволинейной трапеции есть первообразная подынтегральной функции. Таким образом, в случае существования определенного интеграла (предела): функция называется интегрируемой по Риману, а сам интеграл – интегралом Римана.

• Основные свойства определенного интеграла. • 1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т. е. • • где — const. • Действительно,

• 2. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций (аддитивность), т. е.

• При перестановке пределов интеграции • Следствие. Определенный интеграл с равными пределами интеграции равен нулю, т. е.

• 4. Если • 5. Если для всех точек • выполняется неравенство • • , то

• выполняются неравенства , то • 8. Теорема о среднем. • Если непрерывна на отрезке , • то на этом отрезке непременно найдется по крайней мере хотя бы одна такая точка х = с, что

• . Вычисление определенного интеграла. • Формула Ньютона-Лейбница. • Если —первообразная функции , • • • Равенство (1) и есть формула Ньютона – Лейбница. • Символически разность • обозначают так:

Формула Ньютона. Лейбница

• Следовательно, по введенному обозначению Правило вычисления определенного интеграла. Необходимо найти первообразную подынтегральной функции. В найденную первообразную подставить вместо переменной х=b, затем в первообразную вместо переменной х подставить х=а, из результата первой подстановки вычесть результат второй.

Решение задачи Галилея • Г. Галилей установил, что в пустоте все тела падают с одинаковой скоростью. Он вывел формулу для скорости падающего тела: • v= gt. Выведем формулу для вычисления пути, проходимого свободно падающим телом. Предположим, что время падения равно Т. Путь равен: •

Вычисление объема тела вращения • Тело вращения получается следующим образом. В системе координат х. Оу помещаем кривую у= f(х) нужной формы, например дугу окружности, кривую, например, параболу у= х0, 5 и т. д. Затем вращаем кривую вокруг оси х. Получающаяся при этом поверхность называется поверхностью вращения. Если вращаем параболу, то получается параболоид вращения.

Вычисление объема тела вращения • Объем тела вращения в нашем случае равен определенному интегралу • Вы, например, объем, образованный вращением параболы (квадратного корня) у= х0, 5 вокруг оси х и заключенный между плоскостями х =1 и х =9.

Вычисление объема тела вращения

Вычисление работы переменной силы • Работу переменной силы невозможно вычислить элементарными способами. Только применение определенного интеграла позволяет решить эту задачу в общем виде. Пусть материальная точка перемещается вдоль прямой от а до b. К точке приложена сила F, изменяющаяся по некоторому закону F=f(x). Работа этой силы будет равна

Вычисление работы переменной силы • Применим эту формулу для силы, изменяющейся по закону F=2+3 x. Точка перемещается вдоль прямой на расстояние 2. Получаем

Вычисление работы переменной силы

• Вычисление определенных интегралов путем замены переменной. • если функция непрерывна и • дифференцируема на отрезке • функция отрезке непрерывна на. ;

• Интегрирование по частям определенного интеграла. • Пусть функции • имеют непрерывные производные на отрезке. • Известно, что •

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ • В дифференциальных уравнениях начинают с рассмотрения простейших задач, в которых решение получается обыкновенным интегрированием. Например, решение такой задачи

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ приводит к интегрированию. Решение другой задачи также приводит к интегрированию.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И в том и другом случае видно, что помимо процесса интегрирования надо учесть значение у в некоторый начальный момент. Во втором случае важно взять интеграл (по «немой» переменной)

Если нам удастся найти первообразную функции 1/f(y), которую обозначим F(z), то в итоге получим неявное решение F(y(t))-F(y(0))=t. Возможно поступать по-иному. Находить вместо определенных интегралов неопределенные с константами С, значения которых определять по начальным условиям.

Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами На практике часто встречаются дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами вида

Не сложно убедиться, что если х1 (t) и х2 (t) решения (2), то С 1 х1 (t)+С 2 х2 (t) - также решение. Используя подстановку х=е t можно получить так называемое характеристическое уравнение a +b +c=0 2 (3) относительно . Если (3) имеет действительные корни 1 и 2 , то решением будет

Решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Несобственные интегралы В этом пункте, как и в других мы не ставим себе цель провести подробные вычисления, а постараемся объяснить основные идеи метода. Понятие определенного интеграла обобщается на случай функции, имеющей область определения (- , ),

Несобственные интегралы т. е. интегрирование по неограниченному промежутку. Определение. Пусть функция f(х) определена и интегрируема на любом отрезке [a, A]. Несобственным интегралом называется предел (конечный или бесконечный)

Несобственные интегралы Если предел конечен, то говорят, что интеграл сходится, если бесконечен, то – расходится. Аналогично определяется интеграл

Несобственные интегралы Если же существуют два интеграла (2) и (3), то

Несобственные интегралы В этом случае пределы ищутся независимо. Пример.

Интегралы, зависящие от параметра Иногда приходится рассматривать функции, зависящие от параметра, которые возникли в результате интегрирования: Поскольку интегрирование улучшает свойства функции: из интегрируемой

Интегралы, зависящие от параметра функции - делает непрерывную, из непрерывной – дифференцируемую функцию, то многие преобразования с функцией (у) можно проводить таким образом, чтобы менять с операцией интегрирования. Утверждение. Если функция u(x, y) стремится к v(x) при у у0 равномерно по х, то u(x, y) v(x)

Интегралы, зависящие от параметра

Интегралы, зависящие от параметра Утверждение. Если функция f(х, у) и частная производная f’у непрерывны в прямоугольнике [a, b]х [c, d], то для любого у справедливо

Интегралы, зависящие от параметра Утверждение. Если функция f(х, у) непрерывна в прямоугольнике [a, b]х [c, d], то

Двойные интегралы Объем цилиндрического тела, с основанием D, ограниченного поверхностью z=f(х, у), можно по аналогии с площадью криволинейной трапеции приблизить суммой

Двойной интеграл

Двойные интегралы которая представляет собой сумму объемов вертикальных столбиков высотой f(х, у), стоящих на квадратах площадью хi уi. Если существует предел при измельчении разбиения площадки D, то он называется двойным интегралом по области D

Двойные интегралы Если функция равна f(х, у)=1, то двойной интеграл по области D равен площади фигуры D.

Сведение двойного интеграла к повторному Для прямоугольной области повторные интегралы равны двойному