ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Лекция ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Вычисление

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Лекция

ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Вычисление интегралов вида следует делать замену переменных Действительно, получаем интеграл приобретает вид под интегралом вновь получается дробно-рациональная функция , интеграл берётся методом разложения на простейшие

. ПРИМЕР Подстановка где - наименьшее общее кратное чисел Подынтегральная функция рациональная функция от и нескольких дробных степеней дробно-линейной функции аргумента

Вычисление интегралов вида Подстановка Подынтегральное выражение превращается в точный квадрат, и интеграл сводится к интегралу вида

ПОДСТАНОВКИ ЭЙЛЕРА Подстановки Эйлера — подстановки, приводящие интегралы где — рациональная функция, к интегралам от рациональных функций. Предложены Л. Эйлером в 1768 году. Леонард Эйлер (1707 -1783 — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук

Замечание Предполагаем, что квадратный трехчлен не имеет равных корней, так что корень из него не может быть заменен рациональным выражением. Изучим три подстановки, называемые подстановками Эйлера, с помощью которых можно достичь рационализации подынтегрального выражения.

ПОДСТАНОВКИ ЭЙЛЕРА Вычисление интегралов вида вычисляются при помощи подстановок Эйлера 1. В случае a>0 можно применить первую подстановку Эйлера Знак + или – по желанию Возводим в квадрат получаем явное выражение для x

ПРИМЕР Первая подстановка Эйлера Вторая подстановка Эйлера Используется тогда, когда с>0. Производится замена: Третья подстановка Эйлера Используется тогда, когда подкоренное выражение имеет два действительных корня. Производится замена: , где λ — один из корней.

Замечание Случаи, рассмотренные выше приводятся один к другому подстановкой достаточно первой и третьей подстановок Эйлера, для того чтобы осуществить рационализацию подынтегрального выражения во всех возможных случаях

ПРИМЕР Вычислить Решение. Поскольку , то применим первую подстановку:

. ПРИМЕР определяется как рациональная функция от

интеграл от дробно-рациональной функции, который вычисляется методом разложения на простейшие

2. Пусть уравнение имеет различные вещественные корни x 1 и x 2. Тогда можно применить только подстановку Эйлера После этого интеграл примет вид интеграл от дробно –рациональной функции берётся разложением на простейшие