ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Вопросы

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Вопросы для обсуждения: 1. Понятие рациональной дроби. Правильные и неправильные рациональные дроби. 2. Интегрирование простейших рациональных дробей. 3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие. 4. Интегрирование дробно-рациональных выражений (рациональных дробей): метод неопределенных коэффициентов; метод частных значений.

РАЦИОНАЛЬНАЯ ДРОБЬ R (x) – это дробь числителем и знаменателем которой являются многочлены, то есть дробь вида: НЕПРАВИЛЬНАЯ ПРАВИЛЬНАЯ РАЦИОНАЛЬНАЯ ДРОБЬ ДРОБЬ

Виды простейших рациональных дробей

Формулы интегрирования простейших рациональных дробей вида 1) и 2)

Примеры

Примеры

Основные случаи разложения правильной рациональной дроби на простейшие 1. Если знаменатель R(x) имеет n различных действительных корней , тогда: 2. Если знаменатель R(x) имеет n – 2 различных действительных корней и два комлексно-сопряженных корня :

3. Если знаменатель R(x) имеет k одинаковых действительных корней , а остальные корни действительные различные , тогда:

ПРИМЕРЫ Разложить правильные рациональные дроби на простейшие, не находя значений неопределенных коэффициентов:

Алгоритм интегрирования дробно-рациональных выражений: 1. Выясняем правильная рациональная дробь или нет под интегралом, и если неправильная, то представляем ее как сумму целой части и правильной рациональной дроби, деля уголком. 2. Разлагаем знаменатель правильной рациональной дроби на множители, находя корни ее знаменателя. 3. В зависимости от вида корней представляем правильную рациональную дробь в виде суммы простейших. 4. Находим значения неопределенных коэффициентов, встречающихся в числителях этих дробей методом частных значений или неопределенных коэффициентов. 5. Находим интегралы от каждого слагаемого в подынтегральном выражении и записываем ответ.

ПРИМЕРЫ

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ