Интегральное исчисление Пусть в некоторой области определены функции , и является производной для : • Функция называется первообразной для . Неопределенный интеграл • Если на множестве функция является первообразной для , то функция , где С – любая постоянная, также будет первообразной. Определение. Неопределенным интегралом функции на промежутке называется множество всех первообразных этой функции на данном промежутке, задаваемое формулой , где С – произвольная постоянная.
Обозначение неопределённого интеграла Подинтегральная функция Подинтегральное выражение Переменная интегрирования Свойства неопределенного интеграла
Таблица основных неопределенных интегралов
Простейшие приемы интегрирования • Все приемы интегрирования сводятся к тому, чтобы прийти к выражению, содержащему табличные интегралы. Замена переменной. Пусть требуется вычислить интеграл от непрерывной на функции. Сделаем замену переменной , где - определена и дифференцируема при - множество значений функции. Тогда Пример
Интегрирование по частям
Пример
Определенный интеграл Рассмотрим функцию , . Разобьем промежуток точками на частей с длинами. Обозначим через максимальную из длин промежутков разбиения через. Выберем произвольно в каждом промежутке разбиения точку. Составим сумму , которая называется интегральной суммой, соответствующей данному разбиению и выбору точек. Определенный интеграл функции в промежутке - пределы интегрирования
Геометрическая интерпретация определенного интеграла Площадь S криволинейной трапеции равна определенному интегралу от функции на Свойства определенного интеграла Для чётной функции на
Оценки определенных интегралов Теорема (о среднем значении). Пусть непрерывна и интегрируема на. Тогда для некоторого Среднее значение на
Способы вычисления определенных интегралов Формула Ньтона-Лейбница. (Основная формула для вычисления определенного интеграла). Пусть функция непрерывна на отрезке и любая первообразная. Тогда Замена переменной в определённом интеграле Пусть требуется вычислить интеграл от непрерывной функции. Сделаем замену переменной , где - непрерывно дифференцируемая функция на и , причем при. Тогда имеет место формула: .
Пример Интегрирование по частям в определённом интеграле Пусть требуется вычислить интеграл - непрерывно дифференцируемы на , где , . Формула интегрирования по частям в определённом интеграле имеет вид
Пример
Геометрические приложения определенных интегралов Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывными кривыми где и прямыми , вычисляется по формуле:
Скачать презентацию Интегральное исчисление Пусть в некоторой области определены функции
14_Матан_интег_Слайды.ppt