Скачать презентацию Интегральное исчисление Определенный интеграл Определенный интеграл Скачать презентацию Интегральное исчисление Определенный интеграл Определенный интеграл

15 опред интеграл.ppt

  • Количество слайдов: 24

Интегральное исчисление Определенный интеграл Интегральное исчисление Определенный интеграл

Определенный интеграл. ¢ Определение. ¢ Криволинейной трапецией называется фигура на плоскости, ограниченная сверху графиком Определенный интеграл. ¢ Определение. ¢ Криволинейной трапецией называется фигура на плоскости, ограниченная сверху графиком функции , снизу отрезком , с боков вертикальными прямыми. ¢ ¢ ¢ y o x

Определенный интеграл ¢ Частные случаи криволинейной трапеции. у у 0 0 х у 0 Определенный интеграл ¢ Частные случаи криволинейной трапеции. у у 0 0 х у 0 х х

Определенный интеграл. ¢ Задача о площади криволинейной трапеции. y o x Определенный интеграл. ¢ Задача о площади криволинейной трапеции. y o x

Определенный интеграл. ¢ Определение. ¢ Выражение ¢ называется интегральной суммой. ¢ Рассматриваем всевозможные разбиения Определенный интеграл. ¢ Определение. ¢ Выражение ¢ называется интегральной суммой. ¢ Рассматриваем всевозможные разбиения криволинейной трапеции на части такие, что Составляем интегральные суммы и переходим к пределу при ¢ ¢

Определенный интеграл. ¢ Определение. Определенным интегралом от функции по отрезку ¢ называется предел интегральных Определенный интеграл. ¢ Определение. Определенным интегралом от функции по отрезку ¢ называется предел интегральных сумм ¢ ¢ когда наибольший из участков разбиения стремится к нулю: ¢ Геометрический смысл. ¢ ¢

Определенный интеграл. ¢ ¢ ¢ Когда существует предел? Когда предел не зависит от способа Определенный интеграл. ¢ ¢ ¢ Когда существует предел? Когда предел не зависит от способа разбиений? Теорема. . Если непрерывна на то она интегрируема l l , (то есть существует предел интегральных сумм и он не зависит от способа разбиений )

Определенный интеграл. ¢ Свойства. ¢ 1. Линейность. . Определенный интеграл. ¢ Свойства. ¢ 1. Линейность. .

Определенный интеграл. ¢ Доказательство свойства (для суммы). ¢ 1. Возьмем разбиение l ¢ на Определенный интеграл. ¢ Доказательство свойства (для суммы). ¢ 1. Возьмем разбиение l ¢ на n частей: и выберем в каждой части точку: 2. Составим интегральную сумму: ¢ ¢ 3. ¢ 4. Рассматриваем всевозможные разбиения на части такие, что все уменьшаются , составляем интегральные суммы и переходим к пределу при ¢ ¢

Определенный интеграл. ¢ 2. Перестановка пределов интегрирования. ¢ ¢ 3. Аддитивность. Пусть ¢ тогда Определенный интеграл. ¢ 2. Перестановка пределов интегрирования. ¢ ¢ 3. Аддитивность. Пусть ¢ тогда

Определенный интеграл. ¢ 4. О знаке интеграла. Доказать свойства самостоятельно Определенный интеграл. ¢ 4. О знаке интеграла. Доказать свойства самостоятельно

Определенный интеграл. ¢ Теорема (об оценке). Геометрический смысл. Если , M , то m Определенный интеграл. ¢ Теорема (об оценке). Геометрический смысл. Если , M , то m 0

Определенный интеграл. ¢ Доказательство. ¢ 1. ¢ 2. Аналогично: Определенный интеграл. ¢ Доказательство. ¢ 1. ¢ 2. Аналогично:

Определенный интеграл. ¢ Определение. Средним значением функции ¢ называется число ¢ Теорема (о среднем). Определенный интеграл. ¢ Определение. Средним значением функции ¢ называется число ¢ Теорема (о среднем). ¢ на

Определенный интеграл. ¢ Геометрический смысл. у х 0 Если , , то Определенный интеграл. ¢ Геометрический смысл. у х 0 Если , , то

Определенный интеграл. ¢ Доказательство. ¢ 1. Из непрерывности где ¢ ¢ 2. Из теоремы Определенный интеграл. ¢ Доказательство. ¢ 1. Из непрерывности где ¢ ¢ 2. Из теоремы об оценке ¢ 3. Из непрерывности

Определенный интеграл. ¢ Объем тела с известной площадью поперечных сечений. ¢ Доказать самостоятельно. Определенный интеграл. ¢ Объем тела с известной площадью поперечных сечений. ¢ Доказать самостоятельно.

Определенный интеграл. ¢ Следствие: объем тела вращения. Определенный интеграл. ¢ Следствие: объем тела вращения.

Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. ¢ Рассмотрим ( t – переменная). ¢ ¢ Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. ¢ Рассмотрим ( t – переменная). ¢ ¢ Теорема (Барроу). Если - непрерывная на ¢ то ¢ и ¢ - дифференцируемая

Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования ¢ Следствие. - первообразная для ¢ ¢ Доказательство Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования ¢ Следствие. - первообразная для ¢ ¢ Доказательство теоремы Барроу. 1. Возьмем ¢ 2. Тогда ¢ где ¢ ¢ 4.

Связь определенного и неопределенного интегралов Формула Ньютона - Лейбница. Пусть Тогда - непрерывная на Связь определенного и неопределенного интегралов Формула Ньютона - Лейбница. Пусть Тогда - непрерывная на - первообразная для ;

Первое доказательство. ¢ 1. Возьмем разбиение : ¢ ¢ 2. ¢ 3. По теореме Первое доказательство. ¢ 1. Возьмем разбиение : ¢ ¢ 2. ¢ 3. По теореме Лагранжа ¢ 4. Рассматриваем всевозможные разбиения на части такие, что все уменьшаются, составляем интегральные суммы и переходим к пределу при ¢

Второе доказательство. ¢ Пусть ¢ Тогда При х=a При х=b - какая-либо первообразная для Второе доказательство. ¢ Пусть ¢ Тогда При х=a При х=b - какая-либо первообразная для . - также первообразная для

Формула Ньютона-Лейбница. ¢ Примеры. ¢ 1. ¢ 2. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Формула Ньютона-Лейбница. ¢ Примеры. ¢ 1. ¢ 2. Интегрирование по частям в определенном интеграле. l Пример: