Интегральное исчисление Глава 1 Неопределенный интеграл 1

Интегральное исчисление Глава 1. Неопределенный интеграл

1. 1 Первообразная функция и неопределенный интеграл Отыскание функции по ее известному дифференциалу , где является действием, обратным дифференцированию, и называется интегрированием.

Определение 1. Функция называется первообразной функцией от (для) функции , если Примеры: - первообразная для так как - первообразная для

1. Для всякой непрерывной функции существует бесчисленное множество первообразных, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым. Если , то 2. Две различные первообразные для одной и той же функции могут отличаться лишь на постоянное слагаемое.

Определение. Множество всех первообразных для называется неопределенным интегралом Терминология. Свойства неопределенного интеграла: 1.

2. 3. 4. 5. 6.

1. 2. Таблица основных неопределенных интегралов 1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. U- независимая переменная или любая дифференцируемая функция от независимой переменной. Справедливость приведенных формул интегрирования проверяется путем дифференцирования (свойство 1).

1. 3. Основные приемы интегрирования 3. 1. Непосредственное интегрирование. 3. 2. Подведение (внесение функции) под знак дифференциала

В основе метода – определение дифференциала функции Действительно: (по сути – это операция интегрирования) ,

Примеры: 1. Здесь использовано соотношение: 3.

Полезно запомнить: Линейное преобразование дифференциала. Так как , то , в частности:

Примеры:

3. 3. Интегрирование по частям. Если Примеры

Примеры: Некоторые интегралы вычисляются только с помощью интегрирования по частям, например: 1. 2.

3. 4. 5.

В этих формулах алгебраический многочлен n – й степени относительно х. В интегралах первых двух типов за U следует принимать многочлен, в 3 и 4 типах – трансцендентную функцию, в интеграле 5 типа – безразлично.

3. 4. Метод замены переменной. При вычислении интеграла переменную х иногда заменяют новой переменной t, используя формулу , тогда , и Вычислим последний интеграл по t, и вернемся к старой переменной.

Например: Положим Найдем дифференциал Отсюда:

Подставим в исходный интеграл: Вернемся к старой переменной:

1. 4. Интегрирование рациональных дробей Рациональная дробь – это дробь вида , где , многочлены. Если дробь называется правильной, если то – неправильной. Если дробь неправильная, то нужно разделить числитель на знаменатель , чтобы выделить целую часть и правильную рациональную дробь

Например: Правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших (простых, элементарных) дробей. Разложить знаменатель правильной дроби на линейные и квадратичные множители.

Три частных случая. 1. Знаменатель рациональной дроби имеет n простых (различных) вещественных корней. - вещественные коэффициенты

Пример: Правую часть приводим к общему знаменателю и приравниваем числители. Найдем коэффициенты А, В, С.

Подставляя в полученное равенство последовательно , найдем Тогда:

2. Знаменатель имеет кратный корень. Пример:

Приводим к общему знаменателю, приравниваем числители: Раскрываем скобки, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях Х.

Знаменатель имеет комплексносопряженные корни. Пример: Находим коэффициенты методом сравнения.

Раскрываем скобки, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях Х:

Получаем: В общем случае разложение правильной рациональной дроби на простейшие является комбинацией рассмотренных частных случаев. Способ нахождения неопределенных коэффициентов разложения также комбинированный

Интегрирование простых дробей 1. 2. 3.

Выделим в знаменателе полный квадрат. Пример:

Пример: 4. Выделим в числителе производную знаменателя.

где А и В – некоторые числа. Получим: Первый интеграл: Второй – см. случай 3.

Пример. Так как То Интеграл можно записать в виде:

Пример: Общие примеры.

Получаем:

Отсюда: Получаем:

1. 5. Интегрирование алгебраических иррациональностей Если подынтегральная функция содержит То, обычно, делают подстановку чтобы избавиться от корня.

Примеры. 1. Положим В результате подстановки получим интеграл ,

2. Положим: Далее – самостоятельно.