Интегральное исчисление функции одной переменной Неопределённый интеграл

Интегральное исчисление функции одной переменной Неопределённый интеграл

Первообразная и её свойства • Функция называется первообразной функции заданной на некотором множестве , если для всех • Теорема 1: Если и – две первообразные для одной и той же функции f (x), то Ф(х) = F(x) + C, где С – произвольная постоянная. • Совокупность всех первообразных функций, выражаемая формулой , называется неопределённым интегралом от функции и обозначается • При этом функция называется подынтегральной функцией, выражение называется подынтегральным выражением. Доказательство теоремы 1: Пусть имеются две первообразных для функции : и Рассмотрим их разность: Но тогда т. е.

Пример интегралов, не имеющих первообразных функций • Нахождение неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции называется интегрированием. • Не каждая функция может быть интегрируемой, например следующие интегралы не имеют первообразных функций: интеграл Пуассона интегралы Френеля интегральный логарифм

Основные свойства неопределённого интеграла

Доказательство свойств НИ • Пусть - первообразная функции • Свойство 1: . Тогда: или т. к. • Свойство 2: т. к. и

Свойства НИ • Свойство 3: Если первообразная для функции то функция функции равенства: есть первообразная для. Продифференцируем левую часть

Свойства НИ Откуда следует, что • Свойство 4: т. к. по свойству 1 и правилам вычисления производной от функции, умноженной на постоянную, имеем :

Таблица основных неопределённых интегралов 1 – 1. 9 2 10 3 11 4 12 5 13 6 14 7 15 8 16

Основные методы интегрирования • Метод непосредственного интегрирования Отыскание неопределённого интеграла с помощью таблицы и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием. Примеры: (формула 1 табл. ) (формула 3 табл. ) (формула 15 табл. и свойство 5)

Метод подведения под знак дифференциала • Напомним, что , если. При интегрировании бывает удобно представить или и т. д. Это и используется при интегрировании методом подведения под знак дифференциала. • Примеры. Методом подведения под знак дифференциала найти следующие интегралы:

Метод замены переменной • Теорема 2: Пусть функция определена, непрерывно дифференцируема и имеет обратную на интервале функцию, функция интегрируема на множестве значений. Тогда справедлива формула: доказательство: Функция имеет обратную функцию: Тогда дифференцируем обе части по переменной считая, что промежуточная переменная.

Доказательство теоремы С одной стороны, имеем: С другой стороны: т. к. Пример1:

Метод замены переменной Пример 2: Пример 3:

Метод интегрирования по частям • Теорема 3: Пусть функции и – дифференцируемые функции и существует первообразная для функции , , и: тогда существует первообразная для функции: • Доказательство: Так как или в краткой форме: , то

Интегралы вида: • В интегралах такого типа принимаем в качестве функции Пример 1: Пример 2: Пример 3:

Интегралы вида: • В качестве функции Пример 4: принимается одна из функций:

Циклические интегралы: • Эти интегралы берутся дважды по частям. В процессе решения приходим к уравнению относительно искомого интеграла. • Пример 5: . Получили уравнение относительно его, получим: решая