Интегральное исчисление функции одной переменной НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ØПервообразная

Интегральное исчисление функции одной переменной НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ØПервообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Ø Таблица основных интегралов. Ø Интегрирование методом замены переменной / подведением под дифференциал. Метод интегрирования по частям. Ø Интегрирование рациональных / тригонометрических функций, некоторых иррациональностей. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Ø Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла.

Интегральное исчисление функции одной переменной Ø Формула Ньютона-Лейбница. Ø Метод замены переменной. Метод интегрирования по частям. Ø Приложение определенных интегралов: вычисление площадей фигур, длин дуг, объемов тел вращения. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Первообразная Функция y=F(x) называется первообразной для функции y=f(x) на промежутке X, если выполняется равенство есть угловой коэффициент касательной к кривой y=F(x) в точке x Геометрически найти первообразную для функции f(x) означает найти такую кривую y=F(x), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке x равен значению f(x) в этой точке

Первообразная (об общем виде первообразной) Если F(x) - первообразная для функции y=f(x) на промежутке X, то все первообразные для функции у=f(x) имеют вид F(x)+c, где с – - произвольная постоянная

Неопределенный интеграл Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется интеграл от функции f(x) и обозначается знак интеграла подынтегральная функция подынтегральное выражение некоторая первообразная для функции f(x) произвольная постоянная

Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению 3. 4. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла 5. Это свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых

Таблица основных интегралов

Примеры табличного интегрирования 1. 2.

Примеры табличного интегрирования 3. 4. 5.

Интегрирование методом замены переменной Пусть функция определена и дифференцируема на промежутке T и X – множество ее значений, на котором определена функция f(x). Тогда (1)

Пример

Интегрирование методом замены переменной (о линейной замене переменной) Если , то

Метод подведения под дифференциал Формулой замены переменной (1) можно пользоваться и справа налево, то есть Этот метод называется методом подведения под дифференциал

Метод интегрирования по частям Пусть функции u=u(x); v=v(x) дифференцируемые функции на промежутке X. Тогда на промежутке X выполняется формула интегрирования по частям (2)

Типы интегралов, удобно вычисляемых методом интегрирования по частям P(x) – многочлен, k – некоторое число Удобно положить в качестве u=P(x), а за dv обозначить обозначит все остальные сомножители Удобно положить в качестве P(x)dx= dv, а за u обозначить все остальные сомножители a, b - числа , dv - все остальные сомножители. Применить дважды операцию интегрирования по частям.

Примеры

Интегрирование рациональных функций - рациональная функция, где - многочлен степени n - многочлен (возможно степени, отличной от n) Если дробь неправильная, то можно выполнить деление с остатком и представить R(x) в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби

Пример - неправильная дробь

Интегрирование рациональных функций Всякая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей вида: где A, B, C, D, M, N – некоторые действительные числа; a – число, при котором Q(x)=0; p, q – числа, при которых

Интегрирование тригонометрических функций - рациональная функция Универсальная тригонометрическая подстановка Замена сводит подынтегральную функцию к рациональной дроби

Пример

Интегрирование тригонометрических функций ПОДСТАНОВКА n Интегралы вида могут быть рационализированы подстановкой n Интегралы вида где вычисляются подстановкой также или

Интегрирование тригонометрических функций

Интегрирование тригонометрических функций n а) Если или - целое положительное нечётное число, то производится "расщепление" нечётной степени. Например, n Если и целые положительные чётные числа, то используются формулы понижения порядка

Интегрирование тригонометрических функций Интегралы такого вида вычисляются путём преобразования произведений в сумму с помощью тригонометрических формул:

Определенный интеграл Пусть функция y =f(x) определена на отрезке [a, b], где a<b 1. Разобьем отрезок [a, b] точками x 0=a<x 1< x 2<…<xn-1< 2. <xn=b на n частичных отрезков [x 0, x 1], [x 1, x 2], …, [xn-1, xn]. 3. 2. На каждом частичном отрезке [xi-1, xi] выберем 4. произвольную точку 5. f(ci) в этой точке 6. 3. Обозначим и вычислим значение функци и вычислим произведение

Определенный интеграл 4. Составим сумму Sn всех таких произведений, то есть (1) Сумма Sn вида (1) называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a, b] Обозначим через отрезка разбиения. - максимальную длину 5. Найдем предел интегральной суммы Sn при что так,

Определенный интеграл Если предел интегральной суммы Sn при так, что существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [a, b] и способа выбора точек c 1, c 2, … cn, то этот предел называется определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a, b] и обозначается знак интеграла подынтегральная функция подынтегральное выражение нижний и верхний предел интегрирования область интегрирования

Определенный интеграл (2) Функция y=f(x), для которой существует предел вида (2) называется интегрируемой на отрезке [a, b]

Свойства определенного интеграла, вытекающие из определения Определенный интеграл не зависит от 1. обозначения переменной интегрирования, т. е. 2. 3. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т. е. Для

Геометрический смысл определенного интеграла y=f(x) - непрерывная неотрицательная функция, заданная на отрезке [a, b] a<b

Геометрический смысл определенного интеграла Фигура, ограниченная сверху графиком функции y =f(x), снизу осью OX, сбоку прямыми x=a и x=b называется криволинейной трапецией. 1. Разобьем отрезок [a, b] точками x 0=a<x 1< x 2<…<xn-1< 2. <xn=b на n частичных отрезков [x 0, x 1], [x 1, x 2], …, [xn-1, xn]. 3. 2. На каждом частичном отрезке [xi-1, xi] выберем 4. произвольную точку и вычислим значение функци 5. f(ci) для всех 6. 3. Обозначим и рассмотрим - площадь 7. прямоугольника с высотой и длиной основания , гд 8. 4. Сумма произведений площадей таких прямоугольников 9. равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна 10. площади криволинейной трапеции

Геометрический смысл определенного интеграла - площадь криволинейной трапеции Обозначим через отрезка разбиения. - максимальную длину 5. С уменьшением точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой увеличивается, то есть при так, что Определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

Формула Ньютона-Лейбница Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и F(x) – -какая-либо ее первообразная на отрезке [a, b], то имеет место формула Ньютона-Лейбница

Пример

Основные свойства определенного интеграла Свойство 1 Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то Свойство 2 Если функции f 1(x) и f 2(x) интегрируемы на отрезке [a, b], то интегрируема на этом отрезке их сумма Это свойство распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых

Основные свойства определенного интеграла Свойство 3 Свойство 4 Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и a<c<b, то

Основные свойства определенного интеграла Свойство 5 (теорема о среднем) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] , то , что Свойство 6 Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a, b], где a<b, то имеет тот же знак, что и функция f(x), то есть если , то для

Основные свойства определенного интеграла Свойство 7 Неравенство между непрерывными на отрезке [a, b] функциями можно интегрировать Если , то

Основные свойства определенного интеграла Свойство 8 (Оценка интеграла) Если m и M соответствующее наименьшее и наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a, b] (a<b), то есть для , то

Основные свойства определенного интеграла Свойство 9 Производная определенного интеграла с переменным верхнем пределом по этому пределу равна подынтегральной функции для этого предела, то есть

Интегрирование методом замены переменной Если: 1) функция и ее производная непрерывны при 2) множеством значений функции при является отрезок [a, b] 3) Тогда (1) 1. При вычислении определенного интеграла 2. методом замены переменной возвращаться к 3. старой переменной не надо. 4. 2. Необходимо менять пределы интегрирования

Пример

Метод интегрирования по частям Если функции u=u(x); v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b], то справедлива формула интегрирования по частям (5)

Пример

Вычисление площади фигуры Пусть на отрезке [a, b] заданы непрерывные функции и такие, что Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми и на отрезке [a, b] вычисляется по формуле

Вычисление площади фигуры 1.

Вычисление площади фигуры 2.

Вычисление площади фигуры 3.

Вычисление площади фигуры 4. Сводится к случаем 1, 2, 3 путем разбиения отрезка [a, b] на отдельные отрезки [a, c], [c, d], [d, b]

Пример Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и параболой

Вычисление объема тела вращения Пусть функция y=f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда тело, которое образуется при вращении вокруг оси OX криволинейной трапеции a. ABb, имеет объем:

Вычисление объема тела вращения 1. Разобьем отрезок [a, b] точками x 0=a<x 1< x 2<…<xn-1< 2. <xn=b на n частичных отрезков [x 0, x 1], [x 1, x 2], …, [xn-1, xn]. 3. 2. На каждом частичном отрезке [xi-1, xi] построим 4. прямоугольник MPQN. Выберем произвольную точку 5. 3. При вращении вокруг оси ОХ прямоугольник MPQN опишет 6. цилиндр, объем которого будет равен , где 7. - высота цилиндра, - радиус основания 8. 4. Сумма является приближением для искомо 9. объема

Вычисление объема тела вращения

Вычисление объема тела вращения Пусть функция y=f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда тело, которое образуется при вращении вокруг оси OY криволинейной трапеции, имеет объем:

Пример Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОY фигуры, ограниченной линиями

Несобственные интегралы определенные интегралы от непрерывной функции, с бесконечным промежутком интегрирования определенные интегралы с конечным промежутком интегрирования, но для функции, имеющей на нем бесконечный разрыв

Несобственные интегралы первого рода Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке. Если существует конечный предел вида , то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают Если существует конечный предел, то говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае (не существует или бесконечен) - расходится

Несобственные интегралы первого рода Если непрерывная функция и интеграл на промежутке сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции

Несобственные интегралы первого рода Несобственный интеграл на промежутке Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами С – произвольное число

Примеры интеграл сходится - не существует – интеграл расходится

Несобственные интегралы второго рода Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке и имеет бесконечный разрыв при x=b. Если существует конечный предел вида то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают Если существует конечный предел, то говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае (не существует или бесконечен) - расходится

Несобственные интегралы первого рода Если функция f(x)>0 на промежутке [a, b] и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции

Несобственные интегралы второго рода Функция y=f(x) терпит бесконечный разрыв в точке x=a Функция y=f(x) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [a, b]

Пример