Інтегральне числення Диференціальні рівняння 1 ЗМІСТ

Інтегральне числення. Диференціальні рівняння. 1

ЗМІСТ • Невизначений інтеграл. • Властивості невизначеного інтеграла. Визначений інтеграл. • Формула Ньютона-Лейбніца. • Властивості визначеного інтеграла. • Основні поняття теорії диференціальних рівнянь. 2

Невизначений інтеграл, його властивості і обчислення Означення. Функція F(x) називається первісною функції f(x) на деякому проміжку, якщо для кожного х з цього проміжку Наприклад функція cosx являється первісною для функції – sinx, тому що 3

Первісна та невизначений інтеграл Очевидно, якщо F(x) – первісна функції f(x), то , де С –деяка постійна, також являється первісною для функції f(x). Якщо F(x) є будь – яка первісна для функції f(x), то всяка функція виду Ф(х)= також являється первісною для функції f(x) і первісна представлена в такому вигляді 4

Первісна та невизначений інтеграл Означен ня. Сукупність всіх первісних функції f(x), визначених на деякому проміжку, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на цьому проміжку і позначається 5

Первісна та невизначений інтеграл Якщо F(x) – деяка первісна для функції f(x), то пишуть = , хоча логічніше писати =. Ми по існуючих правилах будемо писати =. Таким чином один і той же символ буде визначати як всю сукупність первісних функції f(x), так і будь – який елемент цієї множини 6

Властивості інтеграла, котрі випливають з означення Первісна невизначеного інтегралу рівна підінтегральній функції, а його диференціал – його підінтегральному виразу. Тобто: 7

Властивості інтеграла, котрі випливають з означення Невизначений інтеграл від неперервно диференційованої функції дорівнює самій цій функції з точністю до постійної. Так як являється первісною для 8

Властивості інтегралу 9

Таблиця невизначених інтегралів 10

Таблиця невизначених інтегралів 11

Методи інтегрування • Метод інтегрування заміни змінної. • Метод інтегрування по частинах. • Метод безпосереднього інтегрування 12

Метод інтегрування заміни змінної. Нехай потрібно знайти , причому безпосередньо підібрати первісну для ми не можемо, але нам відомо, що вона існує. Часто вдається найти первісну, ввівши нову змінну, по формулі: де , а - нова змінна 13

Метод інтегрування по частинах. Цей метод заснований на формулі: 14

Метод безпосереднього інтегрування Приклад. Обчислити 15

Визначений інтеграл. Означення. Вираз , де , називається інтегральною сумою функції на відрізку 16

Визначений інтеграл. Означення. Якщо існує , яка не залежить ні від способу розбиття відрізку на частини, ні від вибору точок , то така границя називається визначеним інтегралом функції на відрізку і позначається 17

Властивості визначеного інтегралу 18

Властивості визначеного інтегралу 19

Обчислення визначеного інтегралу Теорема. Нехай Тоді - первісна функції Цю формулу називають формулою Ньютона – Лейбніца, з якої випливає, що для обчислення визначеного інтегралу необхідно знайти первісну від підінтегральної функції. 20

Визначення диференціального рівняння Означення. 21

Диференціальні рівняння 22

Загальний розв'язок диференціяльного рівняння Означення. Загальним розв'язком диференціального рівняння називається функція, яка після підстановки у диференціальне рівняння перетворює його в тотожність. 23

Частковий розв'язок диференціального рівняння 24

25

Запишимо це рівняння у такому вигляді: Загальний розвязок має такий вигляд: 26

Диференціальні рівняння типу: Називається диференціальне рівняння з розділеними змінними. Загальний розв'язок такого рівняння знаходиться за допомогою методу інтегрування: 27

Диференціальні рівняння типу: Це рівняння можна привести до рівняння типу поділивши на отримуємо 28

29