Інтеграл та його застосування Роботу виконала студентка

Інтеграл та його застосування

Роботу виконала: студентка групи 1 Ф 9 -1 КЗ “БМК” ЗОР Міхісор Олена

Інтеграл виник з практичної потреби знаходити площі неплоских фігур. Найбільший внесок у вивченні інтегрального числення вніс Архімед. Одного разу, прийшовши із рибалки, Архімед захотів визначити найбільш точно площу поверхні риби.

Розбивши поверхню риби на прямокутники, він знайшов їх площі, причому чим більшою була кількість прямокутників, тим точнішим було значення площі.

Так і виникло поняття інтеграла, із яким ми будемо знайомитися на протязі наступних уроків. Саме слово “інтеграл” придумав Бернуллі у1690 р. (від латинського слова Integro – відновлювати або від слова Integеr – Символ інтеграла був уведений Лейбніцем у 1675 році цілий). (перша буква латинського слова Summa).

Інтегральне числення і саме поняття інтеграла виникли з потреб обчислення площ плоских фігур і обємів довільних тіл. Ідеї інтегрального числення беруть свій початок у працях стародавніх математиків. Про це свідчить “метод вичерпування” Евдокса, який пізніше використав Архімед у ІІІ ст. до н. е. Суть цього методу полягала у тому, що для обчислення площі плоскої фігури (об'єму тіла) навколо них описували і в них уписували ступінчасті фігури і, збільшуючи кількість сторін многокутника (граней многокутника), знаходили границю, до якої прямували площі (об'єми) ступінчастих фігур. Проте для кожної фігури обчислення границі залежало від вибору спеціального прийому. А проблема загального методу обчислення площ і обємів фігур залишалася нерозв'язаною. Архімед ще явно не застосовував загальне поняття границі та інтеграла, хоча в неявному вигляді ці поняття використовувались.

У XVII ст. Йоганном Кеплером (19511963 рр. ), який відкрив закони руху планет, було успішно здійснено першу спробу розвинути ідеї Архімеда. Кеплер обчислював площі плоских фігур і обємів тіл, спираючись на ідею розкладання фігури і тіла на нескінченну кількість нескінченно малих частин. З цих частин у результаті додавання складалася фігура, площа (об'єм) якої відома і яка дає змогу обчислити площу (об'єм) шуканої.

У творах “Нова астрономія” (1609) та “Стереометрія винних бочок” (1615) Й. Кеплер обчислив ряд площ (площу еліптичного сектора, яка входить у формулювання другого закону Кеплера) та обємів різних тіл обертання. Ці дослідження продовжив італійський математик Бонавертуро Кавальєрі (1598 -1647 рр. )

На відміну від Кеплера Кавальєрі. Перетинаючи фігуру (тіло) паралельними прямими (площинами), вважав їх позбавленими будь-якої товщини, але додавав ці лінії. До історії математики увійшов так званий принцип Кавальєрі, за допомогою якого обчислювали площі і об'єми. Цей принцип дістав теоретичне обґрунтування пізніше за допомогою інтегрального числення. Ідеї Кеплера, Кавальєрі та інших учених стали тим ґрунтом, на якому Ньютон і Лейбніц відкрили інтегральне числення.

Іссак Ньютон Готфілд Вігельм фон Лейбніц

Розвиток інтегрального числення продовжили Л. Ейлер та П. Л. Чебишов (18211894 рр. ), який розробив способи інтегрування деяких класів ірраціональних функцій. Сучасне означення інтеграла як границі інтегральних сум належить О. Коші. Символ було введено Лейніцем. Знак нагадує розтягнуту літеру S (першу літеру латинського слова Summa – “сума”). Термін “інтеграл ” був запропонований у 1960 році Й. Бернуллі, учнем Лейбніц. Значний внесок у вивчення поняття інтеграла зробили українські математики М. В. Остроградський (18011862 рр. ), В. Я. Буняковський (1804 -1889 рр. ), Д. О. Граве (1863 -1939 рр. ), М. П. Кравчук (1892 -1942 рр. ).

Ми добре вміємо обчислювати площі прямокутника, трикутника, трапеції, паралелограма, довільного многокутника, а також площі круга та його частин. Виникає питання: як обчислити площу плоскої фігури, обмеженої будь-якою кривою? Виявляється, що розв'язування такої задачі можливе за певних умов, якщо плоска фігура, яку ми розглядаємо – КРИВОЛІНІЙНА ТРАПЕЦІЯ.

Означення: Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком неперервної функції y=f(x), яка не змінює знак на відрізку[a; b], прямими x=a, x=b і відрізком [a; b].

Визначений інтеграл Границю називають визначеним інтегралом функції у= f(x) від a до b і позначають ”інтеграл від a до b еф від ікс де ікс”) а - нижня межа інтегрування; b - верхня межа інтегрування; - знак визначеного інтеграла - підінтегральна функція; - підінтегральний вираз; х - змінна інтегрування. (читають так:

Формула Ньютона - Лейбніца Це і є формула Ньютона – Лейбніца, яка показує, що значення визначеного інтеграла на відрізку [a; b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції, коли x=b i х=a. Різницю F(b) - F(a) позначають. Тому попередню рівність можна записати так:

Застосування визначеного інтеграла Обчислення площ плоских фігур Обчислення об'ємів тіл Обчислення відстані за відомим законом зміни швидкості Обчислення роботи змінної сили та потужності Обчислення кількості електрики та кількості теплоти Застосування в економіці й техніці

Обчислювання площ плоских фігур

Обчислення площі трапеції за допомогою інтеграла

Обчислення об'ємів тіл

Обчислення відстані за відомим законом зміни швидкості S - шлях, переміщення; v- швидкість; t 1 - час, зафіксований у початковий момент руху; t 2 - час, зафіксований у кінцевий момент руху;

Застосування інтеграла у фізиці й техніці Приклад 1. Експериментально встановлено, що продуктивність праці робітника наближено виражається формулою f(t)=-0, 0033 t 2 -0, 089 t+20, 96, де t- робочий час у годинах. Обчислити обсяг випуску продукції за квартал, вважаючи робочий день восьмигодинним, а кількість робочих днів у кварталі - 62. Розв'язання: Обсяг випуску продукції протягом зміни є первісною від функції, що виражає продуктивність праці. Тому Протягом кварталу обсяг випуску продукції становитиме:

Приклад 2. Експериментально встановлено, що залежність затрати бензину автомобілем від швидкості на 100 км шляху визначається формулою Q=18 -0, 3 v+0, 003 v 2, де Визначити середню затрату бензину, якщо швидкість руху 50 -60 км/год. Розв'язання: Середня затрата бензину становить: Відповідь: Автомобіль на 100 км. шляху, рухаючись зі швидкістю 50 -60 км/год. , витрачає в середньому 10, 6 л. бензину.

Наближені методи обчислення визначених інтегралів: метод прямокутників та метод трапецій Поряд із точними обчисленнями інтегралів існують також методи, які дають змогу обчислити значення інтегралу неточно, тобто наближено. Але наближені методи обчислення визначених інтегралів завжди поглинають багато часу. Тому доцільним буде використання обчислювальної техніки, а саме комп'ютера, при застосуванні методів прямокутників та трапецій

Метод прямокутників Суть методу прямокутників. Для того щоб знайти площу криволінійної трапеції, потрібно розбити відрізок[a; b] на n рівних частин точками а=x 0<x 1<x 2…<xk-1<xk<…xn-1<xn=b. Довжини будь-якого з відрізків [xk-1; xk], на які розбито відрізок [a; b] однакові. Побудуємо на кожному з відрізків [xk-1; xk] як на основі прямокутники з висотою, що дорівнює значенню f(xk-1) функції у лівому чи у правому кінці відрізка. Сума усіх площ таких прямокутників дорівнює

Метод трапецій Суть методу трапецій. Для того щоб знайти площу криволінійної трапеції, потрібно розбити відрізок[a; b] на n рівних частин точками а=x 0<x 1<x 2…<xk-1<xk<…xn-1<xn=b. Довжини будь-якого з відрізків [xk-1; xk], на які розбито відрізок [a; b] однакові. Побудуємо на кожному з відрізків [xk-1; xk] трапецію. Висотою побудованої трапеції буде довжина відрізка [xk-1; xk], верхньою основою - значення функції f(xk-1), нижньою основою - значення функції f(xk). Сума усіх площ таких трапецій дорівнює

Література 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Інструктивно-методичний лист 2010 р. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Шкіль, З. І. Слепкань, О. С. Дубінчук. -К. : Зодіак – ЕКО, 2006. -384 С. Усі формули й таблиці для школярів та абітурієнтів. -Х. : Весна, 2007. -224 с. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А. П. Савин. М. : Педагогика, 1985. -352 с. , ил. Алгебра і початки аналізу 11 клас. Планиконспекти уроків. -Х. : Світ дитинства, 2002. 280 с. Все для вчителя/ Інформаційно-практичний бюллетень, січень № 1 -3 2010 р. Математика в школах України /№ 26 (29) вересень 2010 р.