Instituto Tecnológico Superior de Tacámbaro “Serie de Taylor” Integrantes: María Guadalupe Figueroa Saenz. Miguel Ángel Cervantes Servín. Luis Fernando Saucedo Barajas. Anahí Cisneros Gómez.
¿Qué es la serie de Taylor? Una serie de Taylor es una representación o una aproximación de una función como una suma de términos calculados de los valores de sus derivadas en un mismo punto. Suponga que f es una función definida mediante una serie de potencias; esto es: f(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3. . . + cnxn (1) Cuyo radio de convergencia es R>0. Las derivadas consecutivas son: (2) f’(x) = c 1 + 2 c 2 x + 3 c 3 x 2 + 4 c 4 x 3 +. . . ncnxn-1 (3) f’’(x) = 2 c 2 + 2 · 3 c 3 x + 3 · 4 c 4 x 2 +. . . (n-1) ncnxn-2 (4) f’’’(x) = 2 · 3 c 3 + 2 · 3 · 4 c 4 x +. . . (n-2)(n-1) ncnxn-3 (5) f (4)(x) = 2 · 3 · 4 c 4 +. . . (n-3)(n-2)(n-1) ncnxn-4
Etc. Si x= 0 en (1) –(5): f’(0) = c 0 f’(0) = c 1 f’’(0) = 2!c 2 f’’’ (0) = 3!c 3 f(4)(0) = 4!c 4 De modo que f’’’(0) f (4)(0) f’’(0) c 0 = f(0) c 1 = f’(0) c 2= c 3 = c 4 = 2! 3! 4! En general f (n)(0) cn = Para todo numero positivo n n! Esta fórmula también se cumple cuando n=0 si se considera f(0) como f(0) y 0! = 1. Por lo que de esta fórmula y de (1), la serie de potencias de f en x se puede describir como f(n)(0) n! xn = f(0) + f’(0)x + f’’(0) 2! x 2 + … f (n)(0) n! xn (6)
En un sentido más general, considere la función f como una serie de potencias en x-a; es decir, =c 0 +c 1 (x-a) + c 2 (x-a )2+ … + cn (x-a)n + … (7)
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