Институт фундаментального образования Кафедра “Инженерная графика” Раздел: Начертательная геометрия Тема 3. Ортогональные проекции плоскости. Относительное положение плоскостей Лектор: Стриганова Лариса Юрьевна доцент кафедры ИГ Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 1
Цель и задачи занятия • Определить графические способы задания плоскости на эпюре • Рассмотреть особенности плоскостей общего и частного положений в пространстве и на ортогональном чертеже Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 2
В результате изучения темы Вы будете знать: • Способы задания плоскости • Понятие «Следы плоскости» • Классификацию плоскостей общего и частного положений • Особые линии плоскости • Относительное положение прямой и плоскости • Относительное положение плоскостей Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 3
Ортогональные проекции плоскости ПЛОСКОСТЬ – множество положений прямой линии, проходящей через одну точку пространства и пересекающих вне ее прямую линию A a Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 4
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ 1. Аналитический способ Аx + By + Cz + D = 0 2. Графические способы Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 5
Графические способы задания плоскости Существуют 6 способов задания плоскости на эпюре, каждый из которых последовательно переходит один в другой А 2 aп 2 В 2 Z C 2 X ax А 1 В 1 C 1 aп 1 Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости Y 6
Графические способы задания плоскости 2. Прямая и точка вне этой прямой 1. Три точки не принадлежащие одной прямой Z Z А 2 В 2 b 2 C 2 X А 1 C 1 В 1 C 1 Y b 1 Y Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 7
3. Параллельные прямые 4. Пересекающиеся прямые Z a 2 а 2 b 2 X Z К 2 X b 1 а 1 a 1 Y b 1 Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости К 1 Y 8
5. Плоская фигура Z А 2 В 2 C 2 X А 1 C 1 В 1 Y Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 9
6. Следы плоскости – линии пересечения данной плоскости с плоскостями проекций Z a. П 2 az a-плоскость; a aп 1 - горизонтальный след плоскости a; a. П 3 aп 2 - фронтальный след плоскости a; ax X a п 1 aп 3 - профильный след плоскости a; ay ax, ay, az - точки схода следов Y Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 10
Z a. П 2 Z a az az a. П 3 a. П 2 a. П 3 Zα ax X X a п 1 Y xα ax ay ay Y yα a п 1 ay Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости Y 11
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ 1. Относительно плоскостей проекций плоскости в пространстве занимают: • общее положение • частное положение 2. Плоскости частного положения подразделяют на • плоскости параллельные плоскостям проекций – плоскости уровня • плоскости перпендикулярные плоскостям проекций – плоскости проецирующие Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 12
ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ 1. Плоскости уровня – параллельные плоскостям проекций Горизонтальная плоскость уровня a. II П 1 a. П 2 a Z В 2 С az 2 А 2 a. П 3 А 2 В 1 А 1 a. П 1 С 1 a. П 3 az В 3 С 3 А 3 X X Z Y Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости А 1 В 2 С 2 Y В 1 С 1 Y ΔАВС ; IABCI=IA 1 B 1 C 1 I 13
Фронтальная плоскость уровня b. I I П 2 Z b b. П 2 В 2 Z В 3 b. П 3 А 2 С 2 b. П 3 Y X b п 1 А 3≡С 3 by X by А 1 Y b п 1 Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости В 1 С 1 by Y ΔАВС ; IABCI=IA 2 B 2 C 2 I 14
Профильная плоскость уровня П 3 Z g g. П 2 X gx X g п 1 Y g. П 3 Z gx Y gп 1 Y Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 15
Особенности чертежа плоскостей уровня • Фигуры принадлежащие плоскостям уровня проецируются в натуральную величину на параллельную плоскость проекций • На другие плоскости проекций фигуры принадлежащие плоскостям уровня проецируются в прямую линию Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 16
2. Проецирующие плоскости перпендикулярные плоскостям проекций Горизонтально проецирующая плоскость Z a. П 2 a ┴П 1 ΔАВС В 2 Z a. П 3 a. П 2 А 2 X С 2 a. П 3 ax ay ax X a п 1 ay А 1 Y y В 1 Y Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости a п 1 С 1 ay 17 Y
Фронтально проецирующая плоскость ┴ П 2 ΔАВС Z П 2 Z z П 2 z С 2 С 3 В 2 П 3 А 2 X x X П 3 В 3 f А 3 Y x П 1 А 1 С 1 В 1 Y п 1 Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости Y 18
Профильно проецирующая плоскость ┴ П 3 ΔАВС П 2 Z Z z П 2 z В 2 А 2 П 3 С 2 X X ψ П 3 В 3 А 3 С 3 φ В 1 п 1 y А 1 Y Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости y С 1 п 1 Y y Y 19
Особенности чертежа проецирующих плоскостей • Фигуры принадлежащие проецирующим плоскостям проецируются в прямую линию на перпендикулярную плоскость проекций (вырожденная проекция) • Угол между заданной плоскостью и плоскостью проекций равен углу наклона между вырожденной проекцией и осями координат Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 20
Ортогональные проекции плоскости общего положения Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 21
• Плоскость общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций a Z a. П 2 az a. П 3 ax X a п 1 ay Y Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 22
Принадлежность точки и прямой линии плоскости 1. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой в этой плоскости 2. Прямая принадлежит плоскости если она проходит: а) через две точки этой плоскости; б) через точку плоскости параллельно какойлибо прямой в этой плоскости Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 23
Принадлежит ли точка А плоскости a? Z aп 2 точка А плоскости a А 2 X не принадлежит, т. к. точка не принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости ax А 1 a. П 1 Y Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 24
ОСОБЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ 1. Линии уровня плоскости – линии параллельные плоскостям проекций и принадлежащие данной плоскости; 2. Линии наибольшего наклона плоскости (ЛНН) – определяют угол наклона данной плоскости к одной из плоскостей проекций. ЛНН перпендикулярны линиям уровня: горизонтали на плоскости П 1; фронтали на плоскости П 2. Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 25
ЛИНИИ УРОВНЯ ПЛОСКОСТИ Горизонталь плоскости Z az a a. П 2 a. П 3 ax X a п 1 ay Горизонталь h принадлежит плоскости a, параллельна горизонтальному следу плоскости a и всегда параллельна горизонтальной плоскости проекций Y Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 26
Горизонталь плоскости , заданной следами Z aп 2 az AН(h) горизонталь плоскости aвсегда А 2 Н 2 h 2 X ax a. П 1 Н 1 параллельна горизонтальному следу плоскости – п 1 h 1 А 1 ay Y Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 27
Горизонталь плоскости треугольника В 2 AH(h)– горизонталь ΔАВС H 2 А 2 X С 2 А 1 С 1 H 1 В 1 Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 28
Фронталь плоскости , заданной следами Z aп 2 az АF (f)- фронталь плоскости a всегда А 2 f 2 ax F 2 X F 1 А 1 параллельна фронтальному следу плоскости αП 2 f 1 a. П 1 ay Y Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 29
Фронталь плоскости треугольника В 2 F 2 А 2 С 2 X СF (f) фронталь плоскости ΔАВС А 1 F 1 С 1 В 1 Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 30
Линия наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций (линия ската) 1. Линия ската az Z a a. П 2 a. П 3 h 2. Линия ската ┴ αп 1 3. Линия ската ┴ h 1 ax X Линия наибольшего наклона плоскости α к горизонтальной плоскости проекций - линия ската плоскости α. a п 1 ay Y Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 31
Линия ската на горизонтальной плоскости проекций перпендикулярна горизонтали плоскости aп 2 az А 2 H 2 h 2 X ax a. П 1 D 2 H 1 А 1 D 1 ┴ А 1 H 1 II П 1 А 1 D 1 ┴ α п 1 h 1 А 1 D 1 ay Y Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 32
Линия ската треугольника из наивысшей точки (В) перпендикулярна горизонтали В 2 H 2 А 2 D 2 С 2 X В 1 D 1 ┴ А 1 H 1 ВD – линия ската треугольника А 1 D 1 С 1 H 1 В 1 Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 33
Линия наибольшего наклона плоскости α к фронтальной плоскости проекций перпендикулярна фронтали Z a. П 2 a az ЛНН к П 2 ┴ αп 2 ЛНН к П 2 ┴ f II П 2 a. П 3 ax X f a п 1 ay Y Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 34
Линия наибольшего наклона плоскости α к фронтальной плоскости проекций перпендикулярна фронтальному следу z aп 2 az Е 2 f 2 А 2 X ax F 2 Е 1 F 1 A 1 a. П 1 АЕ – ЛНН к П 2 A 2 Е 2 ┴ A 2 F 2 П 2 A 2 Е 2 ┴ п 2 f 1 ay Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 35
Линия наибольшего наклона (линия ската) плоскости ΔАВС к фронтальной плоскости проекций перпендикулярна фронтали В 2 F 2 Е 2 А 2 С 2 X А 1 F 1 Е 1 В 1 BE – ЛНН к П 2 В 2 E 2 ┴ C 2 F 2 П 2 С 1 Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 36
Нормаль плоскости a Z a. П 2 • Нормаль плоскости n – линия перпендикулярная к заданной плоскости az a. П 3 n ax X a п 1 ay Y Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 37
aп 2 az n 2 А 2 ax А 1 X n 1 a. П 1 ay Y • Проекции нормали перпендикулярны проекциям линий уровня плоскости a: горизонтали на П 1 фронтали на П 2 • Проекции нормали перпендикулярны следам плоскости a: n 1 ┴ a п 1 n 2 ┴ a п 2 Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 38
А 2 НОРМАЛЬ ПЛОСКОСТИ ТРЕУГОЛЬНИКА Через точку D провести В 2 D 2 1. Проведем перпендикуляр горизонталь F 2 к плоскости AH. На горизонтальной плоскости треугольника проекции нор. АВС перпендикулярна H 2 маль горизонтали D 1 N 1┴ А 1 Н 1 А(80, 20, 30) N 2 С 2 Точку N выберем произ. В(40, 60) вольно D 1 С(0, 40, 0) 2. Проведем фронталь CF X А 1 С 1 F 1 N 1 В 1 H 1 D(10, 0, 70) На фронтальной плоскости проекции нормаль перпендикулярна фронтали D 2 N 2 ┴C 2 F 2 Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 39
Относительное положение прямой и плоскости Относительное положение плоскостей Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 40
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Параллельные плоскости Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 41
1. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости 2. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости, параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 42
• Через точку D провести прямую a параллельную Δ АВС и плоскость α(a∩b) параллельную Δ АВС Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 43
a 2 B 2 b 2 A 2 Z D 2 a 2 II B 2 C 2 a II BC a 1 II B 1 C 1 a II ΔABC C 2 (a b) X b 1 A 1 a II BC D 1 C 1 b II AC a II ΔABC a 1 B 1 Y Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 44
Построить следы плоскости β, параллельной плоскости α и проходящей через точку А Через точку А проведем горизонталь параллельно горизонтальному следу плоскости α αп 2 βп 2 F 2 А 2 αх βх F 1 А 1 βп 1 αп 1 Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 45
Прямая перпендикулярная плоскости, перпендикулярные плоскости • Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим данной плоскости • В соответствии с теоремой о проекциях прямого угла прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна одноименным проекциям горизонтали и фронтали плоскости · Две плоскости перпендикулярны, если одна плоскость проходит через перпендикуляр к другой Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 46
Задача • Построить проекции нормали плоскости a, проходящей через точку С, принадлежащей данной плоскости Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 47
C α αп 2 n 2 X С 2 А 2 αх D 2 А 1 С 1 D 1 n 1 O αП 1 Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 48
• Через точку D провести перпендикуляр к плоскости Δ АВС и плоскость α (n∩a) перпендикулярную Δ АВС • А(80, 10, 30) • В(40, 60, 50) • С(10, 45, 0) • D(50, 55, 5) Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 49
В 2 a 2 F 2 n 2 А 2 H 2 X D 2 С 2 А 1 n 1 А 1 Н 1 II П 1 n 2 С 2 F 2 II П 2 а – произвольная прямая С 1 F 1 a 1 H 1 D 1 В 1 Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 50
ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ, ЕСЛИ У НИХ ЕСТЬ ОДНА ОБЩАЯ ТОЧКА Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 51
п 2 а 2 п а 2 2 К 2 X X х O O К 1 a 1 п 1 • Точка пересечения прямой и плоскости частного положения определяется на пересечении следа плоскости и проекции прямой Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 52
Пересечение прямой частного положения и плоскости общего положения В 2 a 2≡К 2 m 2 А 2 С 2 В 1 X А 1 К 1 О С 1 a 1 Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 53
Пересечение прямой общего положения и плоскости общего положения СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 54
Алгоритм способа плоскостей • Прямую заключают в плоскость частного положения α ┴ П 1 • Определяют линию пересечения заданной плоскости и вспомогательной плоскости α • Определяют точку пересечения заданной прямой и построенной линии пересечения • Это искомая точка пересечения заданной плоскости и прямой а • Определяют видимость заданной прямой Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 55
B 2 αп 2 К 2 D 2 С 2 Е 2 A 2 αп 1 a 2 B 1 D 1 К 1 A 1 C 1 E 1 a 1 Видимость прямой определяют по конкурирующим точкам Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 56
Видимость прямых определяют по конкурирующим точкам которые принадлежат скрещивающимся прямым. Конкурирующие точки располагаются дальше или ближе относительно плоскости П 2 (точки А и В), выше или ниже относительно плоскости П 1 (точки C и D). На горизонтальной плоскости проекций видима точка С имеющая большую координату Z, на фронтальной плоскости проекций видима точка А имеющая большую координату Y. С 2 А 2 Ξ В 2 D 2 X В 1 Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости D 1 Ξ C 1 А 1 57
Определение видимости прямой B 2 Е 21 К 2 F 2 Е 2 A 2 F 11 С 2 B 1 F 1 К 1 C 1 E 1 A 1 Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 58
1. Плоскости пересекаются, если у них есть общие точки 2. Плоскости пересекаются по прямой линии, которая проходит через две общие точки плоскостей Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 59
B 2 F 2 К 2 X α п 1 α п 2 C 2 A 2 B 1 O F 1 К 1 C 1 A 1 • Линия пересечения фронтально-проецирующей плоскости и плоскости общего положения определяется по точкам пересечения сторон треугольника ΔАВС и фронтального следа плоскости α Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 60
Список рекомендованной литературы • Бударин О. С. Начертательная геометрия. Краткий курс: учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по направлениям в обл. техники и технологий / О. С. Бударин. - 2 -е изд. , испр. Санкт-Петербург ; Москва ; Краснодар: Лань, 2009. - 368 с. : ил • Королев Ю. И. Начертательная геометрия: учеб. для вузов инженер. -техн. специальностей / Ю. И. Королев. - 2 -е изд. Москва ; Санкт-Петербург ; Нижний Новгород [и др. ]: Питер, 2010. - 256 с. : ил • Чекмарев А. А. Начертательная геометрия и черчение: учеб. для студентов вузов, обучающихся по техн. специальностям / А. А. Чекмарев. - 3 -е изд. , перераб. и доп. - Москва: Юрайт, 2011. 471 с. : ил Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 61
Благодарю за внимание Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости 62
Скачать презентацию Институт фундаментального образования Кафедра Инженерная графика Раздел Начертательная
Lektsia_3_Ploskost.ppt