ИНФОРМАТИКА Лекция 1 Системы счисления 1

ИНФОРМАТИКА Лекция № 1. Системы счисления 1

Определение системы счисления Определение № 1. Набор символов, правил счета и записи чисел в виде последовательности символов из этого набора образуют систему счисления (cc). Набор символов системы счисления называется алфавитом, а сами символы - цифрами. 2

Непозиционные системы счисления Определение № 2. В непозиционных системах счисления количественное значение цифры зависит только от ее вида, а в некоторых непозиционных системах счисления (например, римской) - от взаимного расположения цифр. 3

Позиционные системы счисления Определение № 3. В позиционных системах счисления вес цифры в записи числа зависит от ее вида и от занимаемой ею позиции. Позиции цифр в таких системах счисления называются разрядами. Собственным весом цифры назовем значение одноразрядного числа записанного только с помощью этой одной цифры. 4

Основание системы счисления Определение № 4. Число q, равное количеству различных цифр в алфавите позиционной системы счисления, называется основанием системы счисления. В алфавите арабской системы счисления q равно десяти, так как алфавит включает в себя десять различных чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В соответствии со значением основания арабскую систему счисления называют десятичной системой счисления. 5

Запись чисел с фиксированной точкой Запись числа Nq в позиционной системе счисления с основанием q и алфавитом А с фиксированной точкой : anan-1. . . а 1 ao. a-1 a-2. . . a-m, где an , an-1, . . . , a 1, аo, a-1, a-2, . . . , a-m - цифры из алфавита А; п. п - 1, . . . , 1, 0, -1, -2, . . . , -т - номера разрядов. Разделительная точка Старший разряд Младший разряд 6

Запись чисел с фиксированной точкой. Определения 5 -7 . 5. Разряды с номерами, которые больше или равны нуля, образуют целую часть числа. Разряды с номерами, меньшими нуля, образуют дробную часть числа. В записи числа эти части числа отделяются разделительной (дробной) точкой. 6. Если дробная часть отсутствует, то число называют целым и опускают разделительную точку в записи числа. 7. Если отсутствует целая часть, то число называют правильной дробью и перед разделительной точкой записывают ноль. 7

Запись чисел с плавающей точкой Запись числа Nq в позиционной системе счисления с основанием q и алфавитом А с плавающей точкой : anan-1. . . а 1 ao. a-1 a-2. . . a-m qk, где an , an-1, . . . , a 1, аo, a-1, a-2, . . . , a-m - цифры алфавита А; п, п - 1, . . . , 1, 0, -1, -2, . . . , -т - номера разрядов, k – абсолютный порядок числа. Пример: 0. 035 1099 = 0. 35 1098= 0. 0035 10100. 8

Применение систем счисления в ЭВМ Двоичная система счисления имеет алфавит, состоящий только из двух цифр: 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является число два. Восьмеричная система счисления имеет алфавит из восьми цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основанием восьмеричной системы является число восемь. Десятичная система счисления имеет алфавит, состоящий только из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Основанием двоичной системы счисления является число десять. Шестнадцатеричная система счисления имеет алфавит из шестнадцати цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f. Основанием шестнадцатеричной системы счисления является число шестнадцать. 9

Запись чисел в системах счисления с основанием 2, 8. 10 и 16. Основная таблица. 2 0 1 10 11 100 101 110 111 8 0 1 2 3 4 5 6 7 10 0 1 2 3 4 5 6 7 16 0 1 2 3 4 5 6 7 2 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 8 10 11 12 13 14 15 16 17 10 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 9 a b c d e f 10

Почему двоичная система счисления? 1. для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т. п. ), а не, например, с десятью, — как в десятичной; 2. представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво; 3. возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации; 4. двоичная арифметика намного проще десятичной. Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. 11

Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления? 1. Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. 2. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы. 3. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2). 12

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т. д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т. д. 13

Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения an-1 qn-1 + an-2 qn-2 +. . . + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a-1 q-1 +. . . + a-m q-m, где ai — цифры системы счисления; n и m — число целых и дробных разрядов, соответственно. Например: 14

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр). 15

Перевод из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Например, 16

Перевод целого десятичного число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления Для перевода целого десятичного числа N в систему счисления с основанием q необходимо N разделить с остатком ("нацело") на q , записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на q , и т. д. , пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения. 17

Пример. Перевод числ 7510 в двоичную сс, восьмеричную и шестнадцатеричную сс 18

Перевод пpавильной десятичной дpоби в любую другую позиционную сс Для перевода правильной десятичной дpоби F в систему счисления с основанием q необходимо F умножить на q , записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на q, и т. д. , до тех пор, пока дpобная часть очередного пpоизведения не станет pавной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q-ичной системе. 19

Представлением дробной части числа F в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q - ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется q -(k+1) / 2. 20

Пример. Переведем число 0, 36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную: 21

Пеpевод числа из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) сс в десятичную Перевод в десятичную систему числа x, записанного в q-ичной cистеме счисления (q = 2, 8 или 16) в виде xq = (anan-1 . . . a 0 , a-1 a-2 . . . a-m)q сводится к вычислению значения многочлена x 10 = an qn + an-1 qn-1 + . . . + a 0 q 0 + a-1 q -1 + a-2 q-2 + . . . + a-m q-m средствами десятичной арифметики.

Примеpы перевода чисел из 2/8/16 сс в 10 -ю сс на примерах 23

ПОВТОР. Пример перевода из двоичной СС Выполнить перевод числа 1011012 из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления: 5 4 3 2 1 0 1011012 = 1 25 + 0 24 + 1 23 +1 22 + 0 21 +1 20 = = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 4510. 24

Проверка решения. Перевод из десятичной СС в двоичную СС Проверим результат перевода: 45: 2 = 22 (1); 22: 2 = 11 (0); 11: 2 = 5 (1); 5: 2 = 2 (1); 2: 2 = 1 (0). Запишем число в двоичной системе счисления: 4510 = 1011012. Проверка подтверждает правильность решения. Ответ: 1011012 = 4510. 25

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления Выполнить перевод числа 1 dc 16 из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления. 2 1 0 1 dc 16 = 1 162 + 13 161 +12 160 = 256+208+12 = 47610. Проверим результат перевода: 1. ) 476: 16 = 29 (12); 2. ) 29: 16 = 1 (13). Запишем число в шестнадцатеричной системе счисления: 47610= 1 dc 16. Проверка подтверждает правильность решения. Ответ: 1 dc 16 = 47610. 26

Пример перевода чисел из двоичной СС в восьмеричную СС Выполнить перевод числа 1011112 из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления: Разобьем исходную запись числа на триады двоичных разрядов: 101111 101 111. Поставим в соответствие каждой триаде восьмеричную цифру: 1012 58; 1012 78. Запишем число: 1011112 = 578. 27

Проверка решения. Перевод из восьмеричной СС в двоичную СС Проверим результат перевода: Поставим в соответствие каждой восьмеричной цифре триаду: 58 1012; 7 1112; Запишем число: 578 = 1011112. Проверка подтверждает правильность решения. Ответ: 1011112 = 578. 28

Пример перевода дробных чисел Перевести 17. 9710 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления и обратно из полученного представления числа в десятичную систему счисления. Перевод производить с точностью до 3 знаков. Сравнить результаты, полученные после «обратного» перевода в десятичную систему счисления с исходным десятичным числом. Определить относительную ошибку перевода. 29

Перевод в восьмеричную систему 1. Выполним перевод числа 17. 97 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. 1. 1. Переводим целую часть числа: 1) 17 : 8 = 2 (1), 2 < 8 – конец перевода. Итак, 1710 = 218 1. 2. Переводим дробную часть числа: 1) 0. 97 8 = 7. 76 (7); 2) 0. 76 8 = 6. 08 (6); 3) 0. 08 8 = 0. 64 (0); Итак, 0. 9710 = 0. 7608 Таким образом, 17. 9710 = 21. 7608 30

Перевод из восьмеричной в десятичную систему Выполним перевод числа 21. 760 из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления. 1 0 -1 -2 -3 21. 7608 = 2 81 + 1 80 + 6 8 -2 + 0. 8 -3 = 16 + 1 + 0. 875 + 0. 09375 + 0 = 17. 9687510. Запишем искомое число: 21. 7608 = 17. 9687510 Имеем: 17. 970 ≠ 17. 96875. 31

Определение относительной ошибки Вычислим относительную ошибку e : 32

КОНЕЦ (СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ) 33