Информатика Курс лекций часть 3 Представление информации в

Информатика Курс лекций часть 3 Представление информации в цифровых автоматах Системы счисления Представление числовой информации в цифровых автоматах Представление символьной информации в ЭВМ Представление графической информации Логические основы построения цифровых автоматов Представление функций алгебры логики Логический синтез переключательных и вычислительных схем. Основы элементной базы цифровых автоматов Масловский Владимир Михайлович, к. т. н. , доцент кафедра ИУ-10 РУНЦ «Безопасность» МГТУ им. Р. Э. Баумана, тел. 8 903 0182439 E-mail: mvm 481@rambler. ru 1

Представление информации в цифровых автоматах 3. 1 Системы счисления 2

Системы счисления . Двоичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является вычислительная техника. Такое положение дел сложилось исторически, поскольку двоичный сигнал проще представлять на аппаратном уровне. В этой системе счисления для представления числа применяются два знака – 0 и 1. Шестнадцатеричная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является хорошо подготовленный пользователь – специалист в области информатики. В такой форме представляется содержимое любого файла, затребованное через интегрированные оболочки операционной системы, например, средствами Norton Commander в случае MS DOS. Используемые знаки для представления числа – десятичные цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита – A, B, C, D, E, F. Десятичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является так называемый конечный пользователь – неспециалист в области информатики (очевидно, что и любой человек может выступать в роли такого потребителя). Используемые знаки для представления числа – цифры от 0 до 9. 3

Системы счисления . Соответствие между первыми несколькими натуральными числами всех трех систем счисления представлено в таблице перевода (таблица 1): Таблица 1 Десятичная система Двоичная система Шестнадцатеричная система 9 0 0 1 1 1 2 10 2 3 11 3 4 100 4 5 101 5 6 110 6 7 111 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 А 11 1011 В 12 1100 С 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F 16 10000 10 4

Системы счисления Правила перевода целых чисел Результатом перевода целого числа всегда является целое число. Перевод из десятичной системы счисления в двоичную и шестнадцатеричную: а) исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (на 2 - при переводе в двоичную систему счисления или на 16 - при переводе в шестнадцатеричную); получается частное и остаток; б) если полученное частное меньше основания системы счисления, в которую выполняется перевод, процесс деления прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а); в) все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей перевода в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод; г) формируется результирующее число: его старший разряд – полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа – первый остаток от деления, а старший – последнее частное. 5

Правила перевода целых чисел Перевод из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную. В этом случае рассчитывается полное значение числа по известной формуле l ∑ аi ml = а 0 m 0 + а 1 m 1 +…+ аi ml i=0 (1). В общем виде Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную: а) исходное число разбивается на тетрады (т. е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4; б) каждая тетрада заменяется соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей 1. 6

Правила перевода целых чисел Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную: а) каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей 1. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады; б) незначащие нули в результирующем числе отбрасываются. 7

Правила перевода правильных дробей Напомним, что правильная дробь имеет нулевую целую часть, т. е. у нее числитель меньше знаменателя. Результат перевода правильной дроби всегда правильная дробь. Перевод из десятичной системы счисления в двоичную и шестнадцатеричную: а) исходная дробь умножается на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16); б) в полученном произведении целая часть преобразуется в соответствии с таблицей 1 в цифру нужной системы счисления и отбрасывается – она является старшей цифрой получаемой дроби; в) оставшаяся дробная часть (это правильная дробь) вновь умножается на нужное основание системы счисления с последующей обработкой полученного произведения в соответствии с шагами а) и б); г) процедура умножения продолжается до тех пор, пока ни будет получен нулевой результат в дробной части произведения или ни будет достигнуто требуемое количество цифр в результате; д) формируется искомое число: последовательно отброшенные в шаге б) цифры составляют дробную часть результата, причем в порядке уменьшения старшинства. 8

Правила перевода правильных дробей Перевод из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную. В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле 1, причем коэффициенты ai принимают десятичное значение в соответствии с таблицей 1. Десятичная система Двоичная система Шестнадцатеричная система 9 0 0 1 1 1 2 10 2 3 11 3 4 100 4 5 101 5 6 110 6 7 111 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 А 11 1011 В 12 1100 С 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F 16 10000 10 9

Правила перевода правильных дробей Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную: а) исходная дробь делится на тетрады, начиная с позиции десятичной точки вправо. Если количество цифр дробной части исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется справа незначащими нулями до достижения кратности 4; б) каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей 1. Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную: а) каждая цифра исходной дроби заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей 1; б) незначащие нули отбрасываются. 10

Правило перевода дробных чисел (неправильных дробей) Напомним, что неправильная дробь имеет ненулевую дробную часть, т. е. у нее числитель больше знаменателя. Результат перевода неправильной дроби всегда неправильная дробь. При переводе отдельно переводится целая часть числа, отдельно – дробная. Результаты складываются. Позиционная система счислений 11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Учитывая, что система счисления с основание 3 наиболее оптимальна с точки зрения технической реализации в 1959 году была создана первая и единственная в мире троичная ЭВМ (Н. П. Брусенцов) Сетунь — МГУ. СССР. Завод-изготовитель: Казанский завод математических машин Минрадиопрома СССР. Изготовитель логических элементов — Астраханский завод электронной аппаратуры и электронных приборов Минрадиопрома СССР. Изготовитель магнитных барабанов — Пензенский завод ЭВМ Минрадиопрома СССР. Изготовитель печатающего устройства — Московский завод пишущих машин Минприборпрома СССР. Год окончания разработки: 1959. Год начала выпуска: 1961. Год прекращения выпуска: 1965. Число выпущенных машин: 50. В наше время «Сетунь» не имеет аналогов - развитие информатики ушло в русло двоичной логики. 21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Выполнение арифметических операций. . Смещенный код Грея. Представление вещественных чисел и выполнение арифметических операций над ними в ЭВМ. Погрешность представления числовой информации в ЭВМ. Представление символьной информации в ЭВМ. Представление графической информации. 31

Логические основы построения цифровых автоматов Представление функций алгебры логики Логический синтез переключательных и вычислительных схем. Основы элементной базы цифровых автоматов 32

Логические основы построения цифровых автоматов Слово логика означает совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления. Сам термин "логика" происходит от древнегреческого logos, означающего "слово, мысль, понятие, рассуждение, закон". Формальная логика - наука о формах и законах мышления. Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика как наука позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны. Основными формами мышления являются понятия, суждения и умозаключения. Понятие - это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, отличающие его от других. Например, компьютер, человек, ученики. Суждения - это форма мышления, в которой утверждается или отрицается связь между предметом и его признаком, отношения между предметами или факт существования предмета и которая может быть либо истинной, либо ложной. Языковой формой выражения суждения является повествовательное предложение. Вопросительные и побудительные 33 предложения суждениями не являются

Логические основы построения цифровых автоматов Суждения рассматриваются не с точки зрения их смысла и содержания, а только с точки зрения их истинности или ложности. Истинным будет суждение, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных объектов. "Дважды два равно четырем" - истинное суждение, а вот "Процессор предназначен для печати" - ложное. Суждения могут быть простыми и сложными. "Весна наступила, и грачи прилетели" - сложное суждение, состоящее из двух простых. Простые суждения (высказывания) выражают связь двух понятий. Сложные - состоят из нескольких простых суждений. Умозаключение - прием мышления, позволяющий на основе одного или нескольких суждений-посылок получить новое суждение (знание или вывод). Примерами умозаключений являются доказательства теорем в геометрии. Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Тогда и умозаключение будет истинным. Иначе можно прийти к ложному умозаключению 34

Логические основы построения цифровых автоматов Алгебра логики. История логики Алгебра — раздел математики, исследующий операции, аналогичные сложению, умножению, вычитанию и делению и выполняемые не только над числами, но и над другими математическими объектами, например, многочленами, векторами, матрицами, операторами и т. д. , над объектами самой различной природы. Возникла алгебра в связи с поисками общих приемов решения однотипных арифметических задач. В основе найденных алгеброй общих приемов лежат действия над величинами (составление и решение уравнений), выраженных буквами, независимо от их конкретного числового значения. Введение символики имело исключительное значение и явилось огромным шагом вперед в развитии математики, так как введение буквенных обозначений сделало запись сжатой и удобной для построения исчислений. Применение буквенных обозначений облегчило и исследование общих свойств числовых систем и общих методов решения задач при помощи уравнений. 35

Логические основы построения цифровых автоматов Как грамматика изучает формы отдельного слова и формы сочетания слов в предложении, отвлекаясь от конкретного содержания языковых выражений; как математика рассматривает количественные и пространственные отношения и формы, отвлекаясь от конкретных материальных предметов, так и формальная логика исследует формы отдельных мыслей и формы сочетаний их в отвлечении от конкретного содержания суждений, умозаключений, доказательств и понятий. Составной частью формальной логики является математическая логика. Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем, которые лежат в основе работы любого компьютера. Суждения в математической логике называют высказываниями или логическими выражениями. Подобно тому, как для описания действий над переменными был разработан раздел математики алгебра, так и для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний, или алгебра логики. 36

Зародилась логика в лоне единой нерасчлененной науки — античной философии, которая тогда объединяла всю совокупность знаний о мире и о самом человеке и его мышлении. В IV в. до н. э. логика начинает развиваться под влиянием возросшего интереса к ораторскому искусству. Это характерно не только для Древней Греции, но и для Древней Индии, Древнего Китая, Древнего Рима и феодальной России. Как известно, в первом сочинении Аристотеля (384 — 322 до н. э. ) по логике проблемы логики рассматривались в связи с теорией ораторского искусства. Декарт Рене (15961650, фр. философ, математик) предложил в логике использовать математические методы. 37

Первый русский фундаментальный труд по логике, написанный М. В. Ломоносовым (1711 — 1765), называется «Краткое руководство к красноречию» . Основы математической логики заложил немецкий ученый и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 — 1716). Он сделал попытку построить первые логические исчисления, считал, что можно заменить простые рассуждения действиями со знаками и привел соответствующие правила. Но Лейбниц высказал только идею, а развил ее окончательно англичанин Джордж Буль (1815 — 1864). Буль считается основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. В его работах логика обрела свой алфавит, свою орфографию и грамматику. Недаром начальный раздел математической логики называют алгеброй логики, или булевой алгеброй. 38

Алгебра логики – раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними. Приведем еще одно определение алгебры логики, устанавливающее связь с высказыванием. Алгебра логики (логика высказываний) — один из основных разделов математической логики, в котором методы алгебры используются в логических преобразованиях высказываний. Попробуем разобраться что же такое логическое высказывание? Логическое высказывание — это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo. 39

Или же Высказывания Высказывание — это термин Истина математической логики, которым обозначается предложение какого-либо языка (естественного или искусственного), рассматриваемого лишь в связи с его истинностью. Например: «Земля — планета солнечной системы. » « 2+8<5» «Всякий квадрат есть параллелограмм. » Ложь Истина «Каждый параллелограмм есть квадрат. » Ложь 40

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ В алгебре логики выполняются следующие основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений: 41

Законы 1 – 10 свидетельствуют о том, что алгебра логики обладает свойством двойственности (дуальности) относительно операций логического сложения и умножения. Двойственность определяется как изменение всех знаков операций И на знаки операций ИЛИ или всех знаков операций ИЛИ на знаки операций И. Логическую функцию для удобства записи и последующего синтеза выражают в виде суммы произведений переменных или в виде произведений их сумм. Первая запись называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ), вторая - конъюнктивной нормальной формой (КНФ). Дизъюнктивная нормальная форма это запись логической функции в виде суммы произведений переменных. Конъюнктивная нормальная форма это запись логической функции в виде произведения сумм переменных. 42

Для каждой логической функции может существовать несколько равносильных дизъюнктивных и конъюнктивных форм, однако существует только один вид ДНФ или КНФ, в котором функция может быть записана единственным образом (совершенные нормальные формы СДНФ и СКНФ). В СДНФ функция записывается в виде логической суммы конституент единицы (минтермов), а в СКНФ - в виде логического произведения конституент нуля (макстермов). Конституенты единицы и нуля - это комбинации переменных, при которых функция соответственно обращается в единицу или нуль. 43

Минтермом (или элементарной конъюнкцией Qi, или конституентой единицы) называется логическое произведение прямых или инверсных переменных, причем каждая переменная в произведении встречается только один раз: Макстермом (или элементарной дизъюнкцией Di, или конституентой нуля) называется логическая сумма прямых или инверсных переменных, причем каждая переменная встречается в сумме только один раз: Количество минтермов и макстермов заданного числа аргументов совпадает с числом различных наборов аргументов N = 2 n. 44

1. Между индексами і одноименных минтермов и макстермов булевых n переменных существуют следующие соотношения: где индекс i – десятичное число и соответствует двоичному коду, отвечающему комбинации значений аргументов функции. 2. Логическая сумма всех минтермов любого числа переменных равна единице, т. е. 3. Логическое произведение всех макстермов любого числа переменных равно нулю, т. е. 45

4. Логическое произведение минтермов, имеющих разные индексы, равно нулю, т. e: Qi·Qj=0, при i ? j. 5. Логическая сумма неодинаковых макстермов равна единице, т. е. Di+Dj=1, при i ? j. Для построения СДНФ логической функции FCDHФ от n переменных, заданной таблицей истинности, необходимо по каждому набору переменных, на котором функция принимает значение 1, записать конъюнкцию – минтерм вида и все такие конъюнкции соединить знаками дизъюнкции. При этом переменные, имеющие значение нуля, инвертируются где i – десятичные числа, соответствующие тем наборам аргументов, на которых F=Fi=1. 46

Для построения СКНФ логической функции FCКHФ от n переменных, заданной таблицей истинности, необходимо по каждому набору переменных, на котором функция принимает значение 0, записать дизъюнкцию – макстерм вида и все такие дизъюнкции соединить знаками конъюнкции. При этом переменные, имеющие значение единицы, инвертируются: где i – десятичные числа, соответствующие тем наборам аргументов, на которых F=Fi=0. Для уменьшения числа логических элементов, реализующих функцию, применяются различные методы минимизации. Под минимизацией логической функции понимают нахождение наиболее простого ее представления в виде суперпозиции операций, составляющих какую-либо фиксированную, функционально полную систему. 47

Логическая функция может быть упрощена непосредственно алгебраическим преобразованием с помощью законов алгебры логики (склеивания и поглощения). Но, как правило, такие преобразования требуют громоздких выкладок, а также знаний и навыков. Для функций, имеющих большое число переменных (больше трех) и большое число слагаемых, существуют специальные методы. Наиболее часто применяют методы с использованием карт Вейча и карт Карно, представляющим собой прямоугольную таблицу с числом клеток 2 n. Каждой строке (столбцу) этой таблицы соответствует определенная комбинация аргументов (переменных), каждая клетка соответствует определенному набору значений аргументов так, что при всяком переходе из одной клетки в соседнюю вдоль строки или столбца изменяется значение лишь одного аргумента функции. Карты Карно отличаются от диаграмм Вейча порядком расположения аргументов, перечисляемых в циклическом коде (коде Грея) двоичных чисел. 48

Слайд 50

23. Что является основными формами мышления? 24. Что такое умозаключение? 25. Что такое алгебра логики и математическая логика? 26. Основные вехи исторического развития логики. 27. Поясните основные законы логики. 28. Что такое СДНФ и СКНФ? 29. Что такое минтерм и макстерм? 30. Поясните свойства минтермов и макстермов. 31. Что собой представляют карты Вейча и Карно и для чего они используются? Слайд 50