Информатика Часть 1 Основные понятия и методы теории

Информатика (Часть 1) Основные понятия и методы теории информатики и кодирования. Сигналы, данные, информация. Общая характеристика процессов сбора, передачи, обработки и накопления информации Модуль 1

Модуль 1 Основные понятия и методы теории информатики и кодирования. Сигналы, данные, информация. Общая характеристика процессов сбора, передачи, обработки и накопления информации Лекция 1. 2. Позиционные системы счисления 2

Содержание: 1. Системы счисления 2. Позиционная система счисления 3. Системы счисления и записи применяемые в ЭВМ 4. Операции с числами 5. Выводы 3

Системы счисления Система счисления -способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенное количественное значение. Десятичная Восьмеричная ПЯТИРИЧНАЯ ДВАДЦАТИРИЧНАЯ ШЕСТИДЕСЯТИРИЧНАЯ Кроме шестидесятиричной все системы связаны с биологическим строением человека (счет по рукам или по рукам и ногам) 4

История систем счисления 1 2 3 • Десятичная -Счет по пальцам рук. Известна с доисторических времен • ДВЕНАДЦАТИРИЧНАЯ - Счет по фалангам на 4 -х пальцах одной руки. Двенадцать = дюжина. • В наши дни дюжинами (полдюжинами) считают предметы сервиза : тарелки, чашки, ножи, ложки, носовые платки. В Англии - 1 фут=12 дюймам, 1 шиллинг = 12 пенсам • ШЕСТИДЕСЯТИРИЧНАЯ - Вавилон (гипотеза происхождения: смешались 2 племени одно с десятиричной, другое - с шестиричной системой. • В наши дни 1 час=60 минутам, 1 минута=60 секундам, 1 градус=60 минутам (измерение углов), окружность - 360 градусов (кратно шестидесяти) 5

ПОЗИЦИОННЫЕ И НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ Непозиционн ые - имеется набор символов, число составляется как комбинация символов. -Значение символа не зависит от его расположения: I- один V- пять X десять L-пятьдесят Cсто IX - девять, XIодиннадцать, LXXXVIII – это число 88 Позиционные -Выбирается число р- основание системы счисления -Каждое число N представляется как комбинация степени с коэффициентом, значение которого может быть от 0 до р-1 6

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ Число представляется по схеме Горнера N = Аk*Pk+ Аk-1*Pk-1+. . . А 1*P 1+A 0*p 0+ A-1*p-1+. . A-s*p-s Cокращенная запись N=(Аk. Аk-1. . А 1 А 0)p Максимальное число, которое представлено в К разрядах может быть Nmax=Pk-1 Минимальное число, которое может записано в S-разрядах дробной части быть Nmin=P-S 7

Двоичная система счисления • Основание системы равно двум 1 2 • цифры 0 и 1 • Произвольное число в двоичной системе: i=am 2 m-1+am-1 2 m-2 +…+a 1 20 8

Перевод из десятичной в двоичную систему счисления (1 способ) Число , записанное в десятичной системе делится на основание двоичной системы (на 2), запись остатков снизу вверх даст коэффициенты двоичной системы: Пусть имеем число 5 5: 2=2 остаток 1 2: 2=1 остаток 0 1: 2 остаток 1 - делимое меньше делителя, деление прекращено Результат: (5)10=(101)2 Пусть имеем число 10 10: 2= 5 остаток 0 5: 2=2 остаток 1 2: 2=1 остаток 0 1: 2 остаток 1 - делимое меньше делителя, деление прекращено Результат: (10)10=(1010)2 9

Перевод из десятичной в двоичную систему счисления (2 способ) Число , записанное в десятичной системе, представляется суммой степеней 2 ( по схеме Горнера) Если степень какая-либо степень в разложении пропущена, значит этот коэффициент равен 0 Пусть имеем число 5 5=4+1= 2^2 + 2^0 Результат: (5)10=(101)2 Пусть имеем число 63 63= 32+16+8+4+2+1 = 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 +2^1 +2^0 Результат: (63)10=(111111)2 10

Перевод из двоичной системы в десятичную систему счисления Число , записанное в двоичной системе, представляется суммой степеней 2 ( по схеме Горнера) Элементы разложения складываются между собой Пусть имеем число 11011= 1*2^4 + 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 = 27 Результат: (11011)2 =(27)10 Пусть имеем число 10001= 1*2^4 + 0*2^3 + 0*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = 17 Результат: (10001)2 =(17)10 11

Язык ЭВМ – двоичный код ИНФОРМАЦИЯ 1 • Есть 0 • Нет Двоичный код легко реализуется технически: 0 - нет напряжения нет тока нет намагничения 1 - есть ток есть напряжение есть намагничение величина тока или намагничения не важна 12

ДВОИЧНО-ДЕСЯТИЧНАЯ ЗАПИСЬ Максимально в 3 -х десятичное число 7 (111)2=23 -1=(7)10 разрядах можно записать 3 разряда недостаточно для записи десятичных цифр Максимально в 4 -х десятичное число 15 (1111)2=24 -1=(15)10 разрядах можно записать 4 разряда достаточно для записи десятичных цифр Двоично-десятичная запись представляет каждую цифру десятичного числа в двоичном коде (1 4 7)10 = (0001 0100 0111)2 -10 Двоично-десятичная запись применяется записи чисел в упакованном формате для 13

Восьмеричная система счисления применяется при записи символов АЛФАВИТ 8 -ричной системы счисления 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Чем больше основание системы, тем меньше разрядов требуется для записи больших чисел 14

Перевод из десятичной в восьмеричную систему счисления (1 способ) Число , записанное в десятичной системе делится на основание восьмеричной системы (на 8), запись остатков снизу вверх даст коэффициенты восьмеричной системы: Пусть имеем число 5 5: 8=0 остаток 5 - делимое меньше делителя, деление прекращено Результат: (5)10=(5)8 Пусть имеем число 15 15 : 8= 1 остаток 7 1 : 8= 0 остаток 1 - делимое меньше делителя, деление прекращено Результат: (15)10=(17)8 15

Перевод из десятичной в двоичную систему счисления (2 способ) Число , записанное в десятичной системе, представляется суммой степеней 8 ( по схеме Горнера) Если степень какая-либо степень в разложении пропущена, значит этот коэффициент равен 0 Пусть имеем число 5 5= 5 Результат: (5)10=(5)8 Пусть имеем число 63 63= 7*8 + 7*1 = 7*8^1 + 7*8^0 =77 Результат: (63)10=(77)8 16

Перевод из восьмеричной системы в десятичную систему счисления Число , записанное в двоичной системе, представляется суммой степеней 2 ( по схеме Горнера) Элементы разложения складываются между собой Пусть имеем число 12034= 1*8^4 + 2*8^3 + 0*8^2 + 3*8^1 + 4*8^0 = 5148 Результат: (12034)8 =(5148)10 Пусть имеем число 10001= 1*8^4 + 0*8^3 + 0*8^2 + 0*8^1 + 1*8^0 = 4097 Результат: (10001)8 =(4097)10 17

Шестнадцатеричная система счисления применяется при записи дампов памяти АЛФАВИТ 16 -ричной системы счисления 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F Чем больше основание системы, тем меньше разрядов требуется для записи больших чисел 18

Перевод из десятичной в шестнадцатеричную систему счисления Дано (2048)10 Найти 16 -ричное представление 2048: 16 = 128 остаток 0 128 : 16= 8 остаток 0 8 : 16 деление прекращено- остатки пишутся снизу вверх (2048)10 = (800)16 Дано (57119)10 Найти 16 -ричное представление 57119: 16 = 3569 остаток (15)10=F 3569 : 16= 223 остаток 1 223 : 16 = 13 остаток (15)10=F 13 : 16 деление прекращено- остатки пишутся снизу вверх (57119)10 = (DF 1 F)16 19

Перевод из десятичной в шестнадцатеричную систему счисления (2 способ) Число , записанное в десятичной системе, представляется суммой степеней 16 ( по схеме Горнера) Если степень какая-либо степень в разложении пропущена, значит этот коэффициент равен 0 Пусть имеем число 5 5= 5 Результат: (5)10=(5)16 Пусть имеем число 63 63= 3*16 + 15*1 = 3*16^1 + F*16^0 = 3 F Результат: (63)10=(3 F)16 20

Перевод из восьмеричной системы в десятичную систему счисления Число , записанное в двоичной системе, представляется суммой степеней 2 ( по схеме Горнера) Элементы разложения складываются между собой Пусть имеем число 12034= 1*8^4 + 2*8^3 + 0*8^2 + 3*8^1 + 4*8^0 = 5148 Результат: (12034)8 =(5148)10 Пусть имеем число 10001= 1*8^4 + 0*8^3 + 0*8^2 + 0*8^1 + 1*8^0 = 4097 Результат: (10001)8 =(4097)10 21

Сложение и вычитание двоичных чисел Круговое, или “модульное” представление чисел Если указатель в исходный момент задает какое-либо число А, то переместив по часовой стрелке указатель на N позиций, мы прибавим к А число N Переместив указатель против часовой стрелки на N позиций, мы отнимем от А число N Если результат операции сложения выходит за пределы диапазона системы счисления, т. е. указатель по часовой стрелке перейдет границу между последней цифрой диапазона и 0, то в старший разряд числа организуется перенос, т. е. увеличивается значение этого старшего разряда на 1 22

Сложение и вычитание восьмеричных и шестнадцатеричных чисел 23

Прямой, дополнительный и обратный коды Представление чисел в прямом коде складывается из знакового разряда и собственно числа +29 10 = 00011101 2 +127 10 = 01111111 2 +0 10 = 0000 2 -29 10 = 10011101 2 -127 10 = 1111 2 -0 10 = 10000000 2 Для представления отрицательных чисел или замены операции вычитание на сложение используется обратный или дополнительный коды Сущность этих кодов заключается в том, что вычитаемое число Х , как отрицательное число, представляется в виде дополнения до некоторой константы С, такой, что С - Х >0 Обратный и дополнительные коды отличаются выбором этой константы 24

Прямой, дополнительный и обратный коды Для дополнительного кода отрицательное число Z представляем, как Z = - X = (10 n - X ) - 10 n , где Z<0, X>0, n - величина разрядной сетки, а 10 n - X - дополнительный код числа Для обратного кода отрицательное число Z представляем, как Z = - X = (10 n -1 - X ) - 10 n + 1, где Z<0, X>0, n - величина разрядной сетки, а 10 n -1 - X - обратный код числа Для числа -31 прямой код выглядит, как A= 1000 0001 1111 2. Для построения дополнительного кода берем константу 10^15=1 0000 и получаем А = 1111 1100 0001 2 При построении дополнительного кода константа равна 10^ 15 -1 =111 1111, и А = 1111 1110 0000 2 25

Прямой, дополнительный и обратный коды • положительное число в прямом, дополнительном коде выглядит одинаково обратном и • прямой код отрицательных и положительных чисел имеет различное значение только в знаковом разряде, модуль числа не изменяется • обратный код отрицательного числа получается из прямого кода путем замены единиц на нули и нулей на единицы, исключая знаковый разряд • дополнительный код получается из обратного прибавлением единицы к младшему разряду( перенос в знаковый разряд при этом теряется) • иначе, дополнительный код отрицательного числа может быть получен из прямого кода заменой всех единиц на нули и всех нулей на единицы, исключая самую младшую единицу и следующие за ней нули 26

Выводы: 1. Кроме шестидесятеричной все системы связаны с биологическим строением человека (счет по рукам или по рукам и ногам) 2. Чем больше основание системы счисления, тем меньше разрядов требуется для записи чисел 3. Двоичная система счисления принята для ЭВМ из -за простоты технической реализации 4. Прямые, дополнительные и обратные коды используются для арифметических операций 27