Информационноаналитические технологии в ГМУ Доцент Жук И А

Информационноаналитические технологии в ГМУ Доцент Жук И. А.

Лекция 4_1 Метод анализа иерархий

Задача принятия решений Х={А, K, S, I} А – множество альтернатив (зависит от имеющейся базы знаний, новизны задачи); K – множество критериев оценки альтернатив (зависит от степени детализации задачи и требуемого качества ее решения); S – метод поиска (вывода) решения включает: n n способ выбора альтернатив, определяемый структурой предпочтений ЛПР (наиболее оптимальная альтернатива, наиболее типичная альтернатива); метод (модель) оптимизации, обусловливающий способ агрегирования критериев (функция полезности). I – уровень информации 3

Метод анализа иерархий 1. 2. 3. 4. 5. n n Декомпозиция проблемы. Обработка последовательности суждений эксперта по парным сравнениям в соответствии с заданной шкалой предпочтений. Ранжирование критериев. Ранжирование альтернатив по каждому из критериев. Определение оптимальной альтернативы по совокупности критериев с учетом их весов. Достоинства: простота применения и соответствие интуитивным представлениям. Недостаток: ограничение на количество одновременно сравниваемых альтернатив (5 -9) 4

Схема метода анализа иерархий 5

Алгоритм МАИ 1. Определение иерархии целей. 2. Установление приоритетов критериев методом попарного сравнения. 3. Установление приоритетов альтернатив по каждому критерию. 4. Определение глобального приоритета альтернатив. 6

I этап – Составление иерархии целей 1. 2. 3. 4. Определение глобальной цели Определение промежуточных целей (подцелей) Определение множества критериев достижимости промежуточных целей Формирование множества альтернатив 7

II этап – Установление приоритетов критериев 1. 2. 3. Формирование матрицы попарного сравнения критериев по отношению к поставленной цели. Сравнение проводится с использованием шкалы предпочтений. Ранжирование критериев – получение нормализованного вектора приоритетов критериев. Определение достоверности полученного результата – оценка согласованности матрицы. 8

Шкала предпочтений объектов Степень Описание степени превосходства (b) Объекты не сравнимы 0 1 3 5 7 9 2, 4, 6, 8 Объекты одинаково важны Умеренное превосходство одного над другим Существенное превосходство одного над другим Значительное превосходство одного над другим Абсолютное превосходство одного над другим Промежуточные значения степеней превосходства 9

Матрица попарного сравнения критериев аij = b, аji = 1/b → матрица диагональная и обратно симметричная Критерий 1. . . Критерий j . . . Критерий n Критерий 1 1 . . . а 1 j . . . а 1 n . . . . Критерий i а i 1 . . . аij . . . аin . . . . Критерий n а n 1 . . . аnj . . . 1 10

Ранжирование критериев n Оценка компонент собственного вектора каждого критерия Нормализация оценок (y iн показывает вклад каждого критерия в достижение цели) (1) n (2) n – размерность матрицы 11

Оценка согласованности матрицы 1) Вычисление максимального собственного числа матрицы (λmax). Для положительно определенной, обратно симметричной матрицы, имеющей ранг = 1, λmax = n. В реальной ситуации λmax отличается от соответствующего собственного числа для идеальной матрицы. 2) Вычисление индекса согласованности (ИС) (3) (4) (5) 12

Оценка согласованности матрицы Вычисление отношения согласованности (ОС ) 3) ОС = ИС/СC (6) Значения случайной согласованности (СС) n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 СС 0 0 0, 58 0, 9 1, 12 1, 24 1, 32 1, 41 1, 45 1, 49 ОС ≤ 0, 1 матрица согласована 0, 1<ОС ≤ 0, 2 согласованность матрицы приемлема ОС > 0, 2 согласованность матрицы не приемлема 13

Сводная таблица для расчета приоритета критериев/альтернатив Критерий 1. . . Критерий j . . . Критерий n yi yiн λi Критерий 1 1 . . . а 1 j . . . а 1 n y 1 н λ 1 . . . Критерий i а i 1 . . . аij . . . аin yi yiн λi . . . . … … … Критерий n а n 1 . . . аnj . . . 1 yn Суммы по K 1 столбцу …Kj … Kn Y 1 … ynн λn λmax 14

III этап – Установление приоритетов альтернатив по критериям Альтернативы сравниваются попарно с целью получения локальных векторов приоритета по каждому критерию. Матрица попарных сравнений альтернатив по i-му критерию Альтернатива 1 . . . Альтернатива i . . . Альтернатива k Альтернатива 1 1 . . . . Альтернатива i x i 1. . . x k 1 . . . x 1 j. . . xij. . . xkj x 1 k. . . xik. . . 1 . . . Альтернатива k . . . . В результате для каждого i-го критерия будет получен нормализованный вектор приоритетов альтернатив x 1 iн, …, хkiн. 15

IV этап – Определение глобального приоритета альтернатив Крит. 1 Крит. 2 … Нормализованный вектор приоритетов критериев y 1 н y 2 н … yjн x 11 н … xk 1 н x 12 н … xk 2 н … x 1 jн … … … xkjн … x 1 nн … … … xknн … Альтернатива k (7) … Крит. n Оценка … ynн Альтернатива 1 Крит. j A 1 … An Aopt=max Ai (8) 16

Пример применения МАИ Исходные данные Проект 1 Проект 2 Проект 3 Требуемые вложения 5 млн. руб. 5, 5 млн. руб. 4, 5 млн. руб. Срок реализации 3 года 2 года 3 года Количество рабочих мест 20 5 Нет Качество документации среднее низкое высокое 17

Пример применения МАИ. Иерархия целей 18

Матрица попарных сравнений критериев КРИТЕРИИ Требуемые вложения Срок реализации Количество рабочих мест Качество документации Срок Количество Качество Требуемые реализа рабочих документац вложения ции мест ии 1 3 5 9 1 19

Матрица попарных сравнений критериев КРИТЕРИИ Качество Требуемые Срок Количество документаци вложения реализации рабочих мест и Требуемые вложения 1 3 5 9 Срок реализации 1/3 1 3 5 Количество рабочих мест Качество документации 1 1 20

Матрица попарных сравнений критериев КРИТЕРИИ Требуемы Срок Количество Качество е реализаци рабочих документац вложения и мест ии Требуемые вложения 1 3 5 9 Срок реализации 1/3 1 3 5 Количество рабочих мест 1/5 1/3 1 7 Качество документации 1 21

Матрица попарных сравнений критериев КРИТЕРИИ Требуемы Срок Количество Качество е реализаци рабочих документац вложения и мест ии Требуемые вложения 1 3 5 9 Срок реализации 1/3 1 3 5 Количество рабочих мест 1/5 1/3 1 7 Качество документац ии 1/9 1/5 1/7 1 22

Расчет нормализованного вектора приоритетов критериев (1) КРИТЕРИИ Требуемые вложения Срок реализации Количество рабочих мест Качество документации yi Требуемые вложения 1 3 5 9 3, 409 Срок реализации 1/3 1 3 5 1, 495 Количество рабочих мест 1/5 1/3 1 7 0, 827 Качество документации 1/9 1/5 1/7 1 0, 237 23

Расчет нормализованного вектора приоритетов критериев (2) (1) КРИТЕРИИ Требуемые вложения Срок реализации Количество рабочих мест Качество документации yi yiн Требуемые вложения 1 3 5 9 3, 409 0, 571 Срок реализации 1/3 1 3 5 1, 495 0, 251 Количество рабочих мест 1/5 1/3 1 7 0, 827 0, 138 Качество документации 1/9 1/5 1/7 1 0, 237 0, 040 5, 968 1 24

Расчет согласованности матрицы (3) КРИТЕРИИ Требуемые вложения (5) ОС = ИС/СС (6) (4) Срок реализац ии Количество рабочих мест Качество документации yi yiн λi Требуемые вложения 1 3 5 9 3, 409 0, 571 0, 939 Срок реализации 1/3 1 3 5 1, 495 0, 251 1, 136 Количество рабочих мест 1/5 1/3 1 7 0, 827 0, 138 1, 266 Качество документации 1/9 1/5 1/7 1 0, 237 0, 040 0, 875 Суммы 1, 64 4, 53 9, 14 22, 00 5, 968 1 4, 216 ИС = 0, 072 СС=0, 9 ОС=0, 08 Матрица согласована 25

Матрица попарных сравнений альтернатив по критерию «Требуемые вложения» Проект 1 – 5 млн. руб. , Проект 2 – 5, 5 млн. руб. , Проект 3 – 4, 5 млн. руб. Альтернативы Проект 1 Проект 2 Проект 3 Проект 1 Проект 2 1 1/3 3 Проект 3 3 1/3 1 1/5 5 1 26

Расчет нормализованного вектора приоритетов альтернатив по критерию «Требуемые вложения» Альтернативы Проект 1 Проект 2 Проект 3 Проект 2 1 1/3 3 Проект 3 yi yiн 3 1/3 1, 000 0, 258 1 1/5 0, 405 0, 105 2, 466 0, 637 3, 872 1 5 1 27

Расчет согласованности матрицы ОС = ИС/СС Альтернативы Проект 1 Проект 2 Проект 3 Суммы ИС = 0, 019 Проект 1 Проект 2 1 1/3 3 4, 33 СС=0, 58 Проект 3 yi yiн λi 3 1/3 1, 000 0, 258 1, 119 1 1/5 0, 405 0, 105 0, 943 1 2, 466 0, 637 0, 977 1, 000 3, 039 5 9, 00 1, 53 ОС=0, 033 3, 872 Матрица согласована 28

Матрица попарных сравнений альтернатив по критерию «Сроки реализации» Проект 1 – 3 года, Проект 2 – 2 года, Проект 3 – 3 года. Альтернативы Проект 1 Проект 2 Проект 1 1 Проект 2 5 Проект 3 1/5 1 1 5 1/5 1 29

Расчет нормализованного вектора приоритетов альтернатив по критерию «Сроки реализации» Альтернативы Проект 1 Проект 2 Проект 3 Проект 2 1 5 1 Проект 3 yi yiн 1/5 1 0, 585 0, 143 1 5 2, 924 0, 714 1 0, 585 0, 143 4, 094 1 1/5 30

Расчет согласованности матрицы ОС = ИС/СС Альтернативы Проект 1 Проект 2 1 5 Проект 3 yi yiн λi 1/5 1 0, 585 0, 143 1 1 5 2, 924 0, 714 1 Проект 3 1 1/5 1 0, 585 0, 143 1 Суммы 7 1, 4 7 1, 000 3 ИС = 0 СС=0, 58 ОС=0 4, 094 Матрица согласована 31

Матрица попарных сравнений альтернатив по критерию «Количество создаваемых рабочих мест» Проект 1 – 20, Проект 2 – 5, Проект 3 – нет. Альтернативы Проект 1 Проект 2 1/7 Проект 3 1/9 Проект 3 7 9 1 3 1/3 1 32

Расчет нормализованного вектора приоритетов альтернатив по критерию «Количество создаваемых рабочих мест» Альтернативы Проект 1 Проект 2 1/7 Проект 3 1/9 Проект 3 yi yiн 7 9 3, 979 0, 785 1 3 0, 754 0, 149 1 0, 333 0, 066 5, 066 1 1/3 33

Матрица попарных сравнений альтернатив по критерию «Качество документации» Проект 1 – среднее, Проект 2 – высокое, Проект 3 – низкое. Альтернативы Проект 1 Проект 2 Проект 1 1 Проект 2 Проект 3 1/3 3 3 1 5 1/3 1/5 1 34

Расчет нормализованного вектора приоритетов альтернатив по критерию «Качество документации» Альтернативы Проект 1 Проект 2 Проект 1 1 Проект 2 3 Проект 3 1/3 Проект 3 yi yiн 1/3 3 1, 000 0, 258 1 5 2, 466 0, 637 1 0, 405 0, 105 3, 871 1 1/5 35

Расчет глобальных приоритетов Требуемые вложения Количество Сроки Качество рабочих реализации документации мест Нормализованный вектор приоритетов критериев Глобальные приоритеты Альтернативы Критерии 0, 571 0, 251 0, 138 0, 040 Проект 1 0, 258 0, 143 0, 785 0, 258 0, 302 Проект 2 0, 105 0, 714 0, 149 0, 637 0, 285 Проект 3 0, 637 0, 143 0, 066 0, 105 0, 413 Aopt=max Ai 36