Incertitudes risques et environnement Quelques problèmes mathématiques pour

Incertitudes, risques et environnement Quelques problèmes mathématiques pour un industriel SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » E. de Rocquigny, EDF R&D Ing. Senior « Statistiques, simulation dans les risques et l’environnement » Coordinateur du Programme « Incertitudes » / réseau européen ESRe. DA © EDF, E. de Rocquigny

Incertitudes, risques et environnement • Des exemples « point de départ » • Cadre de modélisation général et panorama des problématiques • Deux problématiques particulières • Estimation de risque via propagation d’incertitudes • Identification de variabilité par approche inverse probabiliste / assimilation SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Exemples Enjeu principal Exemple Domaine Justification maîtrise d’impacts Maîtrise des émissions industrielles (e. g. CO 2) Métrologie Justification risques liés Niveaux marins extrêmes et à l’environnement calage des centrales Stat. Extrêmes pour Dimensionnement d’une protection Optimisation de Productible éolien l’exploitation / contexte environnemental Optimisation technicoéconomique sous incertitude Thermique Nucléaire Renouvelable / hydraulique SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Thermique classique: Émissions de CO 2 Finalité Déclarer rejets polluants d’un site industriel (ex : t. CO 2 annuelles) avec x% de précision >> justification règlementaire + optimisation chaîne/marché d’émissions Critère %inct CO 2 < x % Sources/mo Erreurs capteurs – variabilité naturelle charbon – méconnaissance du process dèle Modèle phys. = formule analytique Propagation SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Niveaux marins extrêmes et centrales Zt = niveau de mer complet x(t) = marée astro. déterministe Yt = décote de basse mer (aléatoire) ÞEstimer les niveaux de retour rares de la variable Z superposant un signal déterministe complexe et une variable aléatoire. (stat. extrêmes + simulation) SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Variabilité du vent et production éolienne Finalité Comprendre le risque de mésestimation du productible – hiérarchiser les incertitudes – optimiser le lieu des éoliennes Critère %inc sur productible Sources Erreurs d’estimation du vent /modèle (erreur spatiale, échantill. Courbe puissance = P(vitesse) Temporel …); Inc. de modèle Modèle intrinsèquement statistique du vent / du productible Quantifi Estimation statistique cation / (moments, max. SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 propaga vraisemblance …) © EDF, E. de Rocquigny Propagation par cumul tion

Cadre commun de modélisation SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Vers un cadre méthodo. commun … SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Cadre de modélisation (physico. Cadre de modélisation probabiliste) Var. aléatoires (sourcesd’incert). (pas toujours observables) Modèles couplés/chaînés (multi-physiques, économique etc. ) Critères quantitatifs (souvent probabilisés, sur des variables post traitées ) SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Cadre de modélisation Les grandes étapes Etape A Spécifier le problème Choisir x, d, G(. , . ) et un critère (CZ = P(Z > zs) ou var Z …) Sciences de la décision, analyse du risque, cadre classique ou bayésien … Etape B Quantifier les sources Uncertainty modelling Modéliser X en estimant q. X d’après (Xj )j ou expertise Echantillonnage paramétrique classique ou bayésien Mais aussi : non-paramétrique, copules (loi jointe) … Etape C Propager Estimer f. Z (ou plutôt CZ ) U. Propagation / U. Analysis Taylor, Monte-Carlo et accélérées, Form-Sorm, Plans d’Exp. /Surfaces de Réponse … Etape C’ Idem + RCC/ PRCC, indices de Sobol estimés par MCS, quasi. MC … , FAST, Hiérarchiser Estimer des SX (selon CZ) l’importance des SX= , sources Sensitivity analysis SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Deux problématiques • Sujet n° 1 – Estimation de risque via propagation d’incertitudes • Sujet n° 2 – Identification de variabilité par approche inverse probabiliste / assimilation SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Estimation de risque via propagation d’incertitudes • Si Cz=var(Z), « facile » : Monte-Carlo, Approx. Différentielle, surfaces de réponses « standard » , chaos polynômial … • Si Cz=P[Z>zs] « rare » et Z=G(X) « lourd » >> difficile (d’être robuste) SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Estimation de risque via propagation d’incertitudes • Estimer une intégrale (ultra-complexe) • Alternatives classiques – Intégration numérique (pb. de la dimension de X et du contrôle d’ erreur) – Simulation (Monte-Carlo, importance sampling …) – Optimisation Form-Sorm et dérivées – Surfaces de réponse (dont E. F. stochastiques) • Vrai défi : justifier robustesse selon régularité de G … SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Monte-Carlo = nombre moyen de défaillances obtenues parmi N tirages (somme de 0 et de 1) Variance de l’estimateur : Importance Sampling : on biaise la densité de tirage Mais la convergence est moins rapide / contrôlable … SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Form –Sorm et ses limites Principe : trouver par optimisation le point de dépassement de seuil (i. e. G(X, d) = zs) le plus proche de l’origine E(X) … puis approximer par une surface régulière SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

La stratégie des surfaces de réponse • On remplace G(. ) (lourd en CPU) par une « surface de réponse » • … i. e. approximant bien G(. ) et se calcule vite – polynômes, chaos polynômial, réseaux de neurone … Estimation aux OMS / GLM • (Rarementionné) bien contrôler l’incertitude du résidu pour un calcul conservatif de Pf demande statistiquement beaucoup de calculs SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

… le cas difficile de physiques irrégulières L’hypothèse gaussienne sur u fausse l’estimation de la probabilité … Mieux contrôler u suppose des calculs supplémentaires a priori nombreux SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Au-delà de la propagation simple … Cumuler les « incertitudes » X, d G Z = G(X, d) La source d’incertitude sur x est modélisée par le vecteur aléatoire X ~ f. X(x q. X) L’estimation deq. X à données finies produit => variance non négligeable sur c. Z = F(f. Z (zq. X , d)) On s’intéresse généralement à un critère d’incertitude bien spécifique c. Z = P(z > zs), var Z , Même à q. X parfaitement connu, contraintes CPU de propagation => variance d’estimation parfois non négligeable SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Le problème n° 2 : inverse On a des observations, non pas sur X, mais sur Y (via le bruit U) Ym=Y + U x, d z = G(x, d) y = H(x, d) SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

L’étape inverse dans le processus « incertitudes » f. Z f. X(x q) CZ (f. Z) (yi)i • B, C et C’ sont relativement « classiques » pour les spécialistes d’incertitudes • B’ l’est beaucoup moins … elle a un potentiel industriel énorme ! (maîtrise dynamique des incertitudes) SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

L’étape inverse dans le processus « incertitudes » (stationnaire) -Performance sur critère a priori CZ (b) (e. g. proba. de dépassement de -Performance sur critère a posteriori CZ (a) (e. g. proba. de -Hiérarchisation de l’importance a priori des incertitudes -Hiérarchisation de l’importance a posteriori des incertitudes seuil de sûreté) Modèle a priori Incertitudes a priori ( « ébauche » ) fb(x) Identification/recalage Observations (Yj)j dépassement de seuil de sûreté) Modèle a posteriori (ou « calé » ) Incertitudes a posteriori fa(x) SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Formalisation du problème (1) dj = conditions de fonctionnement / d’essais variant de façon déterministe et connue selon les n observations H est déterministe et connu, mais lourd à calculer (e. g. Elém. Finis) généralement non-linéaire Xj* est inobservable … on cherche sa pdf On observe les y avec des écarts mesuremodèle incertains (supposés additifs) mais indép. et de lois connues (e. g. centrée de variance R, mais évent. dépendante de dj et non gaussienne) ou non Une partie du vecteur Xj* est de loi éventuellement connue … manque Sa taille vectorielle = 3 – 15 … SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Formalisation du problème (2) Connaissant ainsi que et par calcul numérique (lourd) Identifier de sorte que SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Formalisation du problème (3) Par exemple, maximiser la vraisemblance (en ajustant ) Linéaire gaussien …Non linéaire non Gaussien SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Algorithmes de résolution – Max. Vraisemblance trop « gros » en général à optimiser en direct – Idée : insérer un PE/SR adaptatif dans les algorithmes itératifs MV • Linéarisation (adaptative) puis E-M gaussien (Circé) • SAEM • MCMC … Cf. www. jds 2006. fr/prob-ouverts. php SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

Classification de quelques algorithmes … • La 1ère question essentielle : en A. D. , X* ne devient une v. a. que par erreur d’estimation : sa vraie valeur est unique, déterministe SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny

L’exemple numérique des crues • Un modèle physique simplifié (analytique, à 4 var. incertaines) … mais à l’image d’un modèle physico-probabiliste industriel débit Q Zd Zc H Zv Ks (frottement) L • Critère d’intérêt = probabilité de débordement < 10 -3 • On mesure (à bruits de variances connues) : • 4 variables aléatoires, triangulaires ou gaussiennes : 3 v. a. de paramètres inconnus, à identifier SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny Zm

Pour aller plus loin … - Problème ouvert d’intérêt industriel – « Statistiques, mesures et calcul scientifique inverse » , http: //www. jds 2006. fr/prob-ouverts. php - de Rocquigny, La maîtrise des incertitudes dans un contexte industriel – Journ. Soc. Fran. Stat. n° 147, 2006, pp. 33 -106 - Gd. R CNRS : MASCOT - Groupe « Incertitudes et Industrie » de l’Institut de Maîtrise des Risques : www. imdr-asso. fr SMAI – 7ème Rencontres Math-Industrie « Mathématiques et Environnement » , 2007 © EDF, E. de Rocquigny