Имитационное моделирование 1 Общие сведения — Имитационное моделирование

Имитационное моделирование 1. Общие сведения. - Имитационное моделирование, - Метод Монте-Карло, - Метод статистических испытаний. Имитационное моделирование - методология исследования и моделирования сложных систем – глобальное моделирование. Метод Монте-Карло – метод решения математических задач с помощью моделирования случайных величин.

Метод Монте-Карло. 1. 1 Особенности метода: 1). Универсальность. N – общее число выстрелов N* - количество попаданий в заштрихованную область y x x x f(x) x х х x x х

2). Пример Задача Бюффона – задача об игле. Оценить вероятность пересечения иглы с линией при бросании иглы на разлинованную поверхность 2 1 l<L L – расстояние между линиями l – длина иглы ξ 1 – угол между горизонталью и иглой ξ 1 [0, ] ξ 2 – расстояние от конца иглы до ближайшей сверху линии ξ 2 [0, L] Р(А) – вероятность пересечения

ξ 2 геометрическая интерпретация L 0 1 ξ 2 <l sin ξ 2 – условие пересечения 2). Простота реализации. 3). Погрешность - погрешность В – константа, зависящая от дисперсии оценки N – число реализаций (испытаний)

1. 2 Структура имитационного моделирования. 1). Объект – сложная система 2). Действие случайных факторов 3). Необходимость расчета на ЭВМ В задаче имитационного моделирования: x F(x) y=? x - Имитация случайных величин с заданным законом распределения F(x)- Алгоритм функционирования системы (вероятностная трактовка) y - Обработка результатов испытаний методами математической статистики

2. Имитация случайных величин с заданным законом распределения. Общая схема. Имитация равномерно распределенных случайных величин на интервале [0, 1] Тесты на случайность, равномерность, а периодичность Имитация случайных величин с заданным законом распределения табличный метод; метод обратных функций; физическое генерирование; метод исключений; метод псевдослучайных чисел (программный) метод композиций основан на использовании свойств законов распределения

3. Моделирование случайных величин, равномерно распределенных на интервале [0, 1] - случайная величина, равномерно распределенная на интервале [0, 1]. f(x) f( ) a б a х б 0 F( ) F(x) 0 а) табличный метод х 0 1 1

б) физическое генерирование u u 0 t t в) метод псевдослучайных чисел. (метод Лемера, метод вычетов) xi+1 =axi [mod M] xi+1 i+1= M xi+1 равен остатку от деления axi на М.

Имитация случайных величин с заданным законом распределения Метод обратных функций. Лемма. Если случайная величина имеет плотность распределения f(x), то имеет равномерный закон распределения на интервале [0, 1] [-∞; +∞] γ [0, 1] fy (y) – функция плотности γ

Теорема. Пусть F(x) – это функция распределения некоторой случайной величины γ, γ – случайная величина с равномерным законом распределения на интервале [0, 1]. Тогдa случайная величина , где F-1 – обратная функция F(x), подчиняется закону распределения F(x). γ 3 γ 1 γ 2 0 ξ 2 ξ 1 ξ 3 х Квантиль порядка Р одномерного распределения – это значение хр, при котором вероятность того, что х<xр равняется p. Р{x<xр }=p

Примеры. а) Имитация равномерно распределенных на интервале [а, b] случайных величин. Функция распределения Функция плотности Cтандартные программы ALEAT, RAND

б) Имитация случайной величины ξ , которая подчиняется экспоненциальному закону распределения. f(x)= e- x Математическое ожидание – Дисперсия Случайная величина распределена на интервале [0, +∞] Метод обратных функций применим только тогда, когда есть возможность получить квадратуру интеграла.

Метод отбора (исключений. ) Рассмотрим случайную величину ξ, определенную на интервале [а, b] с функцией плотности f(x), отграниченное сверху значением С (f(x)≤C) y C ` 0 a ξ` z b x Теорема. Пусть γ 1 и γ 2 - случайные независимые числа, а тогда случайная величина ξ= ξ’

η’ <f(ξ’ ) имеет функция плотности f(x), т. е. докажем, что точки, которые попадают в подынтегральную функцию имеют функцию распределения f(x). (ξ’, η’) [a, b; 0, C]

Метод композиций Метод основан на свойствах законов распределения. Пример. Имитация случайных величин, подчиненных распределению χ2. Имеем ν – независимых случайных величин (что означает нормированных, нормально распределенных с математическим ожиданием М[ξ]=0 и дисперсией D[ξ]=1) z – нормированная нормально распределенная случайная величина. Г- гамма-функция.

а) если ν=2, то распределение; - экспоненциальное б) если ν>30, то распределение величины оказывается приближенно нормальным со средним значением математического ожидания и дисперсией D=1. - интеграл вероятностей. Имитация нормально распределенных случайных величин

Центральная предельная теорема. Пусть СВ подчинены одному и тому же закону распределения, с одним и тем же матем. ожиданием μ и дисперсией σ2. Тогда сумма n этих СВ будет подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием M[]=n∙ μ и дисперсией D=n∙ σ2. Пусть [0, 1], тогда - равномерно распределенные числа на интервале (n ∞), будет подчиняться нормальному закону распределения с математическим ожиданием дисперсией. На практике теорема выполняется уже при n=12. и

Моделирование дискретных случайных величин. Необходимо смоделировать случайную величину ξ, принимающую значения (x 1, x 2, x 3, x 4) с вероятностями (P 1, P 2, P 3, P 4), , = [0; 1] x 2 0 P 1 1 P 1 +P 2 x 4 P 1+P 2+P 3 2 1

Пример. Пусть сложное событие у – это наличие месторождения на структуре. у - следствие одновременного благоприятного исхода трех событий: ξ 1 – наличие непроницаемой покрышки с Р 1 =0, 9; ξ 2 – имеются на структуре ниже покрышек коллектор с Р 2 =0, 7; ξ 3 – структура находится на путях миграции углеводородов с Р 3 =0, 6 Р(y)=P 1∙ P 2∙ P 3 - проверяя возможность этого, начинаем реализацию ξ 1 0 ξ 2 0 0, 75 0, 9 0, 2 γ 1 =0, 2 0, 7 ξ 2 0 1 0, 8 0, 6 1 итерация: 2 итерация: N* y; 1 γ 1 =0, 75 оценка γ 1 =0, 8 1

Имитация случайных величин, подчиненных закону распределения Пуассона. закон редких событий, х – принимает целочисленные значения f(x) 1 2 3 4 5 6 х Если M[ ] = D[ ] = λ в заданном интервале с заданной точностью, то можно говорить, что это закон Пуассона.

Основное утверждение, на котором базируется имитация редких событий, гласит следующее: Если длина интервала между последовательными событиями имеет экспоненциальное распределение, то количество событий до величины подчинено распределению Пуассона. 1) P 0 (t) – вероятность того, что на интервале [0, t] не произойдет ни одного события. λdt – вероятность того, что некоторое событие произойдет на интервале [t, t+dt] P 0 (t+dt) - вероятность того, что на интервале [t, t+dt] не произойдет ни одного события P 0 (t+dt)= P 0 (t)(1 - λdt )

2) P 0 1

T – случайная величина, равная длине временного интервала между последовательными событиями. ti – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону. λ=1 из экспоненциального закона.