или в сокращенной записи А аij i 1

или, в сокращенной записи А=( аij) i=1. . m; j=1. . n. Две матрицы А и В одного размера mхn называются равными, если они совпадают поэлементно, т. е. аij =bij для всех i=1. . m; j=1. . n. 1

операции над матрицами Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число λ называется матрица В=λА, элементы которой bij =λ аij для всех i=1… m; j=1… n. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера mxn называется матрица С=А+В, элементы которой сij =аij+ bij для всех i=1… m; j=1…n. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А – В = А + ( − 1 )∙В. 2

Умножение матриц А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В. Целой положительной степенью Аm квадратной матрицы А называется произведение m матриц А, т. е. Аm = А ∙А∙ …∙А Транспонирование матрицы. Транспонированием матрицы называется переход от матрицы А к Ат (или А'), в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Ат – называется транспонированной относительно матрицы А. 3

Определители квадратной матрицы Каждой квадратной матрице А, можно поставить в соответствие вычисленное по определенным правилам число, называемое определителем квадратной матрицы. Определителем матрицы первого порядка А=(а 11) или определителем первого порядка называется элемент а 11. Обозначается Δ 1 = а 11 или│А│= а 11. Определителем матрицы второго порядка или определителем второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле: Δ 2 = │А│= а 11 а 22 – а 12 а 21. 4

Определителем матрицы третьего порядка или определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле: Δ 3 = │А│= а 11 а 22 а 33+а 12 а 23 а 31+а 21 а 32 а 13 – а 31 а 22 а 13 – а 12 а 21 а 33 – а 32 а 23 а 11. 5

Пусть А является квадратной матрицей n-го порядка. Минором Мij элемента аij, называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i –ой строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j. Аij =(-1)i+j Мij 6

Теорема (частный случай теоремы Лапласа). Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: Δ=ai 1 Ai 1+ai 2 Ai 2+…+ain. Ain. Значение теоремы состоит в том, что позволяет свести вычисление определителей n-го порядка к вычислению более простых определителей (n-1)-го порядка. 7

Обратная матрица ОПРЕДЕЛЕНИЕ Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А-1∙А = А ∙А-1 = Е. Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при │А│=0 ) – вырожденной, или особенной. Теорема о существовании обратной матрицы. Обратная матрица А-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная. 8

Алгоритм нахождения обратной матрицы 1. Находим определитель исходной матрицы. 2. Если │А│=0, то матрица А вырожденная и обратной матрицы А-1 не существует. Если определитель матрицы А не равен нулю, то обратная матрица существует. 3. Находим АT, транспонированную к А. 4. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу. 9

5. Вычисляем обратную матрицу по формуле: 6. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы, исходя из её определения А-1∙А = А ∙А-1 = Е. . 10

Система линейных уравнений Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид: 11

Запишем систему (1) в матричной форме. Обозначим: где А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец переменных; В – матрицастолбец свободных членов. Систему (1) можно записать в виде: АХ=В. 12

Системы n линейных уравнений с n переменными Пусть число уравнений системы (1) равно числу переменных, т. е. m=n. Тогда матрица системы является квадратной, а её определитель Δ=│А│называется определителем системы. Предположим, что │А│не равен нулю, тогда существует обратная матрица А-1. Умножая слева обе части матричного равенства на обратную матрицу А-1 получим: А-1 (АХ)= А-1 В. (А-1 А)Х =ЕХ =Х 13

Решением системы уравнений методом обратной матрицы будет матрица-столбец: Х= А-1 В. ПРИМЕР 14

Метод Крамера Теорема Крамера. Пусть Δ – определитель матрицы системы А, а Δj – определитель матрицы, полученный из матрицы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда если Δ не равен нулю, то система имеет единственное решение, определённое по формулам Крамера: где j=1. . n. 15

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида. Рассмотрим матрицу: эта матрица называется расширенной матрицей системы (1), так как в нее кроме матрицы системы А, дополнительно включен столбец свободных членов. 16

Ранг матрицы В матрице размера m x n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно выделить квадратные подматрицы k-го порядка, где k≤min(m; n). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы А обозначается rang A или r(A). Из определения следует: 1) ранг матрицы размера m x n не превосходит меньшего из её размеров, т. е. r(A) ≤ min (m; n). 2) r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т. е. А=0. 3) Для квадратной матрицы n-го порядка r(A) = n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная. 17

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы: 1) Отбрасывание нулевой строки (столбца). 2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю. 3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы. 4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число. 5) Транспонирование матрицы. Теорема. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы. Пример 18

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду: Ранг ступенчатой матрицы равен r , так как имеется минор r-го порядка неравный нулю │А│= а 11∙а 22 ∙…∙аrr. 19

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Для совместных систем линейных уравнений верны следующие утверждения: 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т. е. r = n, то система (1) определенная и имеет единственное решение; 20

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т. е. r < n, то система (1) - неопределённая и имеет бесконечное множество решений. Пусть r

Для построения общего решения, содержащего все возможные решения системы уравнений, необходимо базисные переменные выразить через свободные. Решение системы (1), в котором все n- r неосновных переменных равны нулю, называется базисным. 22

Система m линейных уравнений с n переменными r=m Уравнения системы независимые r