ІКІТ НАУ Основи теорії управління Навчальний курс Завідувач

ІКІТ НАУ Основи теорії управління Навчальний курс Завідувач кафедри комп’ютерних інформаційних технологій д. т. н. , профессор Зіатдінов Ю. К. Професор кафедри комп’ютерних інформаційних технологій к. т. н. , доцент Василенко В. А. 2013 г.

Инструкция пользователю 1. В данном обучающем курсе реализован трёхуровневый принцип изложения учебного материала: уровень ознакомления; уровень знания и уровень умения применять. 2. Переход от слайда к слайду осуществляется либо автоматически после нескольких секунд просмотра, либо после щелчка мышки на управляющих кнопках. 3. Завершение демонстрации - клавиша ESC 4. Каждая тема завершается перечнем ключевых слов или контрольными вопросами с возможными вариантами ответов. При подведении указателя мышки к этим словам появляется слайд пояснения - комментарий. Возврат обратно в основную программу- щелчок мышки на слайде.

Содержание Щёлкните по кнопке выбраной темы ВВЕДЕНИЕ РАЗДЕЛ 1. ЛИНЕЙНЫЕ АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Тема 1. Структурный анализ линейных автоматических систем Тема 2. Динамические характеристики линейных автоматических систем Тема 3. Устойчивость линейных автоматических систем Тема 4. Качество линейных автоматических систем Тема 5. Синтез линейных автоматических систем классическими методами

РАЗДЕЛ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Тема 6. Общие понятия о нелинейных системах Тема 7. Устойчивость нелинейных автоматических систем РАЗДЕЛ 3. МНОГОМЕРНЫЕ АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Тема 8. Математические модели многомерных автоматических систем Тема 9. Анализ многомерных автоматических систем РАЗДЕЛ 4. ЦИФРОВЫЕ АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Тема 10. Основные свойства цифровых АС Тема 11. Устойчивость цифровых АС Тема 12. Оценка качества цифровых АС

РАЗДЕЛ 5. ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ Тема 13. Статистическая динамика автоматических систем Тема 14. Оптимальное оценивание координат состояния автоматических систем Тема 15. Идентификация параметров автоматических систем РАЗДЕЛ 6. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Тема 16. Оптимизация систем автоматического управления Тема 17. Адаптивные автоматические системы ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Введение Для чего нужна ТАУ ? в войст из с синтез анал систем управ ления ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ математические модели реальные объекты

Введение Основные понятия автоматики Управление - целенаправленное воздействие на заданный объект, называемый объектом управления (ОУ). сигнал управления u ОУ x выходной сигнал Управляющее устройство (УУ) - совокупность объектов, обеспечивающих управление. Если без участия человека, то АУУ - автоматическое управляющее устройство. Совокупность АУУ и ОУ называется автоматической системой (АС). входной y сигнал АУУ u АС ОУ x

Введение Основные принципы управления 1. Принцип управления по возмущению f -возмущение Измеритель y АУУ Измерение возмущения и его компенсация u ОУ x 2. Принцип управления по отклонению (принцип обратной связи) y Сравнивающее устр-во АУУ u Сигнал рассогласования ОУ Обнуление сигнала x рассогласования Обратная связь

Способы задания АС Введение Автоматические системы (АС) задаются либо своими: а) математическими моделями - системами дифференциальных или других уравнений; либо: б) структурными схемами y Сумматор W 1 W 2 W 3 Звенья x Узел

Ключевые слова: Теория автоматического управления Введение Автоматическая система Принципы управления Математическая модель Структурная схема Что дальше ? Повторим ещё раз Перейдём к следующей теме Закончим обучение

Тема 1. Структурный анализ линейных АС Что желаете ? щёлкните по выбранной кнопке Ознакомиться ? Знать ? Ничего не желаете ? Уметь применять ?

Тема 1 АС задаются своими передаточными функциями и структурными схемами W 4(p) W 1(p) W 2(p) _ W 3(p) Передаточной функцией называется отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению входного при нулевых начальных условиях.

Тема 1 Суть структурного анализа - это преобразование структурной схемы к виду Y(p) X(p) W(p) и анализ её по виду W(p) - экви валентной передаточной функции А(р) - характеристический полином системы

Для нахождения W(р) используется следующее правило: все звенья АС могут соединяться только последовательно W 1(p) Тема 1 параллельно W 1(p) W 2(p) W(р)=W 1(p) x W 2(p) W(р)=W 1(p) + W 2(p) и встречно -параллельно - W 1(p) W 2(p) W(р)=W 1(p)/(1+ W 1(p) x W 2(p))

Попробуем определить теперь эквивалентную передаточную функцию следующей АС: встречно-параллельно W 4(p) W 1(p) параллельно W 2(p) _ W 3(p) Тема 1

Любая АС может быть представлена в виде соединения элементарных звеньев: 1. W 1(p) = k - усилительное звено 2. W 2(p) = p - дифференцирующее звено 3. W 3(p) = 1/р - интегрирующее звено 4. W 4(p) = 1/(Tp+1) - апериодическое звено 5. W 5(p) = 1/(T 2 p 2 + 2 x. Tp + 1) - колебательное звено 6. W 6(p) = Tp + 1 - форсирующее звено 1 -го порядка Зная свойства этих звеньев можно оценить свойства всей системы. Тема 1

Тема 1 Ключевые слова: Преобразование Лапласа Передаточная функция Характеристический полином Элементарные звенья Соединения звеньев Что дальше ? Повторим ещё раз Перейдём к следующей теме Закончим обучение

Тема 2. Динамические характеристики линейных АС Характеристики АС Статические (установившиеся режимы) Динамические (переходные режимы) Временные Переходная функция Весовая функция Амплитудные Частотные Фазовые

Временные характеристики 1) h(t) - переходная функция системы - реакция на единичное Тема 2 ступенчатое воздействие 1(t) при нулевых начальных условиях 1(t) h(t) t АС y(t) t L 1 p x(t) H(p) W(p) 2) g(t) - весовая функция системы - реакция на единичный импульс б(t) при нулевых начальных условиях б(t) y(t) g(t) t АС t x(t) L 1 W(p) G(p)

Частотные характеристики Тема 2 Частотные характеристтики определяются, как реакция системы на гармонический входной сигнал Aвх Sinwt при изменении частоты w от 0 до оо 1. Амплитудно-фазовая частотная (АФЧХ) - показы. Im вает, как изменяются амплитуда и фаза выходного сигнала системы в зависимости от частоты входа Re Обозначение: W(jw) - получается из передаточной функции заменой переменной Лапласа р на jw. 2. Амплитудно- частотная (АЧХ) - показывает, как из- А меняется амплитуда выходного сигнала системы в зависимости от частоты входного. Обозначение: А(w) -получается, как модуль АФЧХ w 2. Фазо - частотная (ФЧХ): фаза выхода от частоты входа - j(w) j получается как аргумент АФЧХ w

Логарифмические частотные характеристики Тема 2 Это АЧХ и ФЧХ системы, построенные в логарифмическом масштабе частот. За единицу этого масштаба принята декада. 0. 01 0. 1 1 10 1000 Декада - это отрезок оси частот, на котором частота изменяется в 10 раз Логарифмическая АЧХ определяется по формуле: L(w)= 20 lg. A(w). Логарифмическая ФЧХ совпадает с обычной фазо-частотной характеристикой, но в логарифмическом масштабе частот. L(w) j(w) 0. 1 1 10 w

Частотные характеристики элементарных звеньев Тема 2 Частотные характеристики получаются из передаточной функции системы W(p) следующим образом: АФЧХ: W(jw) = W(p) при p=j w; АЧХ: A(w) = mod W(j w) ФЧХ: j(w) =arg W(j w); ЛАЧХ: L(w) = 20 lg. A(w) В частности для элементарных звеньев имеем: 1. Усилительное звено: W(p)=k; W(j w)=k; A(w)=k; j(w)=0; L(w)=20 lgk 2. Интегрирующее звено: W(p)=1/p; W(j w)= 1/(j w); A(w)=1/ w; L(w)=20 lg (1/ w). 3. .

Тема 1 Ключевые слова: Переходная функция Весовая функция Амплитудно-фазо-частотная характеристика Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики Что дальше ? Повторим ещё раз Перейдём к следующей теме Закончим обучение

Тема 3. Устойчивость линейных автоматических систем Что желаете ? щёлкните по выбранной кнопке Ознакомиться ? Знать ? Ничего не желаете ? Уметь применять ?

Тема 3 Свойство системы возвращаться в исходное невозмущённое состояние после прекращения действия возмущения называется устойчивостью Система шарик - поверхность Неустойчива на границе устойчивости Устойчива Математически устойчивость системы определяется по корням характеристического полинома системы - знаменателя передаточной функции: A(p) = an pn +an-1 pn-1 +. . . +a 1 p + a 0

Необходимое и достаточное условие устойчивости Тема 3 АС устойчива тогда и только тогда, когда все корни её характеристического полинома имеют отрицательные действительные части (расположены в левой части комплексной плоскости). Неустойчива На границе устойчивости Устойчива Необходимое условие устойчивости Если система устойчива, то все коэффициенты её характеристического полинома положительны А(р)= р - 2 -неустойчива; А(р)=р+1 -требуются дальнейшие исследования

Алгебраические критерии устойчивости Тема 3 1. Критерий Вышнеградского АС третьего порядка устойчива тогда и только тогда, когда все коэффициенты её характеристического полинома положительны и произведение средних больше произведения крайних: А(р) = а 3 р3 + а 2 р2 + а 1 р + а 0 а 2 х а 1 > а 3 х а 0 -устойчива. 2. Критерий Гурвица Матрица Гурвица (n=3) АС n-го порядка устойчива тогда и только М 1 тогда, когда все главные диагональные ми. М 2 норы Mi матрицы Гурвица положительны М 3 M 1 = 2 > 0; Пример: А(р) = 5 р2 + 3 р +2 M 2 = 2 x 3 = 6 > 0 Устойчива.

Частотные критерии устойчивости Тема 3 1. Критерий устойчивости Михайлова АС устойчива тогда и только тогда, когда вектор функции Михайлова при изменении w=0 частоты от нуля до бесконечности Re повернётся вокруг начала координат на угол Устойчива равный np /2. w= Функция Михайлова: A(jw)= an (jw)n +. . . + a 1(jw) + a 0 n=3 Im 2. Критерий устойчивости Найквиста Im Замкнутая АС устойчива тогда и только тогда, когда АФЧХ её разомкнутой части -1 W(jw) не охватывает на комплексной Re плоскости точку с координатами (-1, j 0) Устойчива

Тема 3 Ключевые слова: Устойчивость Критерий Гурвица Критерий Вышнеградского Критерий Михайлова Критерий Найквиста Что дальше ? Повторим ещё раз Перейдём к следующей теме Закончим обучение

Тема 4. Качество линейных автоматических систем Что желаете ? щёлкните по выбранной кнопке Ознакомиться ? Знать ? Ничего не желаете ? Уметь применять ?

Тема 4 Анализ АС Качество определяет насколько хорошо АС выполняет свои функции Оценка устойчивости Прямые показатели Прямыми называются показатели качества, вычисленные по виду переходной функции АС h(t) Оценка качества Косвенные показатели Если вид переходной функции неизвестен, то применяют косвенные показатели качества

Прямые показатели качества h(t) Тема 4 s =(hmax - hуст) / hуст х 100% -перерегулирование системы hзад eуст = hзад- hуст - установившаяся ошибка 1. 05 hуст 0. 95 hуст tp t время регулирования - время последнего входа графика h(t) в 5% коридор относительно установившегося значения hуст

Косвенные показатели качества Тема 4 1. Интегральные оценки качества -чем меньше оценка I, тем быстрее затухает переходной процесс f(t), тем выше качество системы f(t) 2. Корневые оценки качества j Im m = tgj - степень колебательности h - степень устойчивости Re h tp =3 / h - время регулирования s = e-p / m 100% - перерегулирование корни характеристического полинома системы

Статические и астатические системы Тема 4 АС называется статической по отношению к входному сигналу y(t), если при y(t)= Const установившаяся ошибка системы eуст не равна нулю. Если eуст равна нулю, то такие системы называются астатическими. В зависимости от вида входного сигнала y(t) различают: - астатические 1 -го порядка (y(t) = Const, eуст = 0) - астатические 2 -го порядка (y(t) = a + bt, eуст = 0) Порядок астатизма - и т. д. определяется числом Y(p) X(p) интегрирующих звеe(p) 1/p 2 10 p + 1 ньев в разомкнутом контуре системы

Ключевые слова: Тема 4 Прямые и косвенные показатели качества. Время регулирования. Перерегулирование. Установившаяся ошибка. Интегральные оценки. Корневые оценки. Статические и астатические системы. Что дальше ? Повторим ещё раз Перейдём к следующей теме Закончим обучение

Тема 5. Синтез линейных АС классическими методами Что желаете ? щёлкните по выбранной кнопке Ознакомиться ? Знать ? Ничего не желаете ? Уметь применять ?

Общая и частная задачи синтеза Тема 5 Синтез АС - это определение структуры, состава элементов и параметров системы, при которых она удовлетвоет предъявляемым требованиям. Это и есть общая задача синтеза. Суть частной задачи синтеза - это определение параметров дополнительных (корректирующих) устройств, вводимых в систему для удовлетворения заданным требованиям.

Тема 5 Типы корректирующих устройств 1. Последовательные - вводятся в прямой тракт передачи сигнала Wk 1(p) W 0(p) Передаточные функции неизменяемых частей системы 2. Параллельные - вводятся в цепь местной обратной связи W 01(p) W 02(p) Wk 2(p)

Тема 5 Виды последовательных корректирующих устройств Wk 1(p) = k - уменьшает установившуюся ошибку eуст =1/(1+ k ), но ухудшает характеристики устойчивости. Wk 1(p) = k(Tp+1) - повышает запас устойчивости системы, поэтому применяется в различных демпферах. Wk 1(p) = k(Tp+1)/p - повышает точность системы и применяется, например, в системах посадки.

Тема 5 Виды параллельных корректирующих устройств Wk 2(p) = k - жесткая обратная связь - повышает устойчивость и быстродействие системы, но ухудшает точность. Wk 2(p) = kp/(Tp+1) - изодромная обратная связь - повышает точность системы, не ухудшая характеристик устойчивости.

Тема 5 Ключевые слова: Общая и частная задачи синтеза. Последовательные и параллельные корректирующие устройства. Жесткие и изодромные обратные связи. Что дальше ? Повторим ещё раз Перейдём к следующей теме Закончим обучение

Тема 1 Выберите нужный параграф 1. 1 Математические модели линейных АС 1. 2 Формы записи линеаризованных уравнений линейных стационарных. АС 1. 3 Передаточная функция и характеристическое уравнение линейной стационарной АС 1. 4 Передаточные функции соединений звеньев 1. 5 Правила преобразования структурных схем 1. 6 Передаточные функции автоматических систем 1. 7 Звенья АС, их классификация

1. 1 Математические модели линейных АС Тема 1 параграф 1. 1 Основа анализа любой АС - это замена конкретного физического объекта его математической моделью (математическим оператором) Линейной(линеаризованной) называется система, оператор Физический объект которой обладает свойством суперпозиции: реакция систе. Математическая модель мы на сумму входных сигналов есть сумма соответствую. Полная нелинейная щих реакций и изменение входного сигнала приводит к Упрощенная линеаризованная соответствующему изменению выходного. Во многих случаях для анализа АС достаточно использовать упрощенные линеаризованные модели

Линеаризация возможна, если: Тема 1 параграф 1. 1 - существует некоторое невозмущённое(опорное) движение; - отклонение координат объекта от этого движения незначительны; - исходный нелинейный оператор АС дифференцируем по всем своим аргументам. Методика линеаризации следующая: Исходный оператор: Опорное движение: Разложим оператор F в ряд Тэйлора Тогда с учётом допущений можно окончательно записать -линейная система

Линеаризуем следующие системы 1) опорное движение: линеаризованный оператор: окончательно: 2) Тема 1 параграф 1. 1

Тема 1 параграф 1. 1 Контрольные вопросы: 1. Является ли данный оператор линейным ? да Здесь и далее символ D при записи линеаризованных операторов опускается нет 2. Где правильно записано условие суперпозиции для оператора y = F(x) ? F(x 1+ x 2) = F(x 1) + F(x 2) F(kx) = k F(x) F(x 1* x 2) = F(x 1) * F(x 2) F(kx) = k F(x)

Тема 1 параграф 1. 1 Ответ неправильный Линейными являются только операции сложения, дифференцирования, интегрирования и умножения на число. Данное же уравнение содержит операцию возведения в квадрат, поэтому оно нелинейно. Теперь понятно ? да (ответьте на второй вопрос) нет

Тема 1 параграф 1. 1 Ответ неправильный Принцип суперпозиции или другими словами условие линейности математических операторов можно сформулировать и так: 1) оператор суммы есть сумма операторов 2) постоянные множители можно выносить за знак оператора Теперь понятно ? да нет

1. 2 Формы записи линеаризованных уравнений линейных стационарных АС Тема 1 Линейной стационарной АС с одним входом y(t) и одним выходом x(t) называется система, описываемая линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами: Здесь n - называется порядком системы Данное уравнение может записываться в различных формах: 1. Стандартная (а 0 = 1; b 0 = 1) 2. Операторная (введением оператора D= d/dt) an Dn x(t) + an-1 Dn-1 x(t) +. . . +a 0 x(t) = bm. Dmy(t) +. . . +b 0 y(t) 3. Каноническая (см. следующий слайд)

Тема 1 параграф 1. 2 3. Каноническая форма или форма Коши Канонической формой дифференциального уравнения n -го порядка называется его представление в виде системы n дифференциальных уравнений 1 -го порядка. Пример: Тогда: Введём обозначение: То есть исходное уравнение 2 -го порядка превратилось в систему 2 -х уравнений первого порядка. Широкое распространение такая форма записи получила в связи с тем, что решение этой системы осуществляется обычным численным интегрированием, методы которого достаточно хорошо разработаны (Ньютона, Рунге-Кутта, . . . )

4. Операционная форма записи Тема 1 параграф 1. 2 Позволяет перейти от исходного дифференциального уравнения к обычному алгебраическому путём применения прямого преобразования Лапласа L при нулевых начальных условиях. Напомним, что Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид: Это и есть операционная форма записи, широко применяемая в автоматике.

Контрольные вопросы: Тема 1 параграф 1. 2 1. Определите стандартную форму записи дифференциального уравнения 2. Выберите правильный путь перехода к канонической форме

Тема 1 параграф 1. 2 Ответ неправильный Стандартной формой записи дифференциального уравнения называется такая форма, когда коэффициенты a 0 и b 0 при свободных членах x(t) и y(t) равны 1. Здесь b 0 равно 3 Здесь а 0 равно 2 , а b 0 равно 0 Теперь понятно ? да теперь ответьте на второй вопрос нет

Тема 1 параграф 1. 2 Ответ неправильный Канонической формой записи дифференциального уравнения или формой Коши называется его представление в виде системы дифференциальных уравнений 1 -го порядка, то есть в этой системе не должно быть производных 2 -го порядка и выше. Теперь понятно ? да нет

1. 3 Передаточная функция и характеристическое уравнение линейной стационарной АС Передаточной функцией линейной стационарной АС называется отношение изображения по Лапласу выходного сигнала системы к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях Аналитическое выражение W(p) получается из операционной формы записи уравнения АС: Откуда: Тема 1

На структурных схемах отдельные элементы АС задаются в виде своих передаточных функций Y(p) W(p) X(p) Тема 1 параграф 1. 3 X(p)=W(p)Y(p) Как видим, передаточная функция характеризует процесс преобразования входного сигнала в выходной, она не зависит от вида входного сигнала, а определяется только параметрами самой системы (коэффициентами ai и bi ) Знаменатель передаточной функции : A(p)=anpn +an-1 pn-1 +. . . +a 1 p+a 0 называется характеристическим полиномом системы, а соответствующее уравнение А(р)=0 - характеристическим уравнением. Корни этого полинома называются полюсами системы.

Так как все коэффициенты характеристического полинома действительные (не комплексные), то согласно теореме Виетта все полюса системы могут быть либо действительные, либо комплексно-сопряжённые. Тема 1 параграф 1. 3 Корни числителя передаточной функции В(р) называются нулями системы. Для наглядности нули и полюса системы принято изображать на комплексной плоскости. Im АС, все нули и полюса которой лежат в левой части комплексной плоскости, называется минимальнофазовой. Re

Тема 1 параграф 1. 3 Контрольные вопросы: 1. Правильно ли это определение? Передаточной функцией системы называется отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению входного. 2. Какие два числа являются комплексносопряжёнными ? p 1 = -2 -j 7 p 1 = 4 -j 9 p 2 = +2+j 7 p 2 = 4 +j 9 да нет

Тема 1 параграф 1. 3 Ответ неправильный Определение передаточной функции обязательно должно включать в себя фразу “при нулевых начальных условиях”. Иначе начальные условия входного сигнала войдут в аналитическое выражение для передаточной функции и она будет зависеть от вида входного сигнала, что приведёт к потере универсальности. Теперь понятно ? да (теперь ответьте на второй вопрос) нет

Тема 1 параграф 1. 3 Ответ неправильный Комплексные числа р1 и р2 называются комплексно- сопряжёнными, если они отличаются только знаками мнимых частей: a + jb a - jb Теперь понятно ? да нет

1. 4 Передаточные функции соединений звеньев Тема 1 Отдельные элементы АС на структурных схемах могут соединяться последовательно, параллельно или встречнопараллельно (с обратной связью). Все другие соединения могут быть сведены к этим трём. Определим эквивалентные передаточные функции таких соединений. Y(p) а) последовательное X 1(p) X(p) W 1(p) W 2(p) X 1(p)=W 1(p)Y(p) X(p)=W 2(p)X 1(p) X(p)= W 2(p)W 1(p) Y(p) Передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению их передаточных функций

б) параллельное Y(p) W 1(p) W 2(p) X 1(p)=W 1(p)Y(p) X 1(p) Тема 1 параграф 1. 4 X(p) X 2(p) X(p)=X 1(p)+X 2(p)= (W 1(p)+W 2(p)) Y(p) X 2(p)=W 2(p)Y(p) Передаточная функция (ПФ) параллельного соединения звеньев равна сумме их передаточных функций X(p) Y(p) e(p) W 1(p) в) встречно-параллельное X(p)= W 1(p) / (1+W 1(p)W 2(p)) Y(p) W 2(p) X 2(p) ПФ встречно-параллельного соединения звеньев равна отношению ПФ прямой цепи к 1+ - произведение ПФ прямой цепи на ПФ обратной связи. Знак + относится к отрицательной обратной связи

Тема 1 параграф 1. 4 Решим задачу Y(p) X(p) W 1(p) W 3(p) W 4(p) W 2(p) 1. Параллельное соединение: W 12(p)=W 1(p)+W 2(p) 2. Последовательное и встречно-параллельное соединение W 34(p)=W 3(p)W 4(p) / (1+ W 3(p)W 4(p)) 3. Последовательное (конечный результат): W(p)=W 12(p)W 34(p) Понятно ? да нет

Тема 1 параграф 1. 4 Решим задачу попроще Y(p) W 1(p) W 2(p) X(p) ПФ просто линии равна 1 1. ПФ встречно-параллельного соединения равна: W 2(p) 1 + W 2(p) 2. Окончательно ПФ всей системы: W(p) = W 1(p) Теперь понятно ? да нет W 2(p) 1 + W 2(p)

1. 5 Правила преобразования структурных схем Тема 1 На практике часто оказывается, что одно и то же звено на структурной схеме участвует одновременно в нескольких соединениях: W 3(p) Y(p) W 1(p) W 2(p) X(p) Как видим, звено W 2(p) одновременно участвует в трёх видах соединений и найти сейчас передаточную функцию системы невозможно. Для решения подобных задач существуют специальные правила преобразования структурных схем. Эти правила основаны на следующем: при всех преобразованиях отдельных участков или всей АС входные и выходные сигналы этих участков и АС в целом должны остаться неизменными.

Тема 1 параграф 1. 5 1. Перенос узлов и сумматоров между собой Х 1 2 Х Х 1 1 Х 2 Х Рядом стоящие узлы можно менять местами. 1 2 Рядом стоящие сумматоры можно менять местами Х 2 2. Перенос узла через звено и звена через узел W W W 1/W W W

3. Перенос сумматора через звено и звена через сумматор W Тема 1 параграф 1. 5 W W 1/W Правило: при всех переносах в сложных схемах узел должен переноситься к узлу, а сумматор к сумматору.

Попробуем теперь решить задачу, представленную в начале параграфа. Определить ПФ системы вида: б а Y(p) W 1(p) 1 Тема 1 параграф 1. 5 W 3(p) X(p) W 2(p) 2 Укажите правильный путь решения данной задачи - путь переноса узла 1. а б

Тема 1 параграф 1. 5 Неправильно Переннос узла 1 к сумматору не устраняет недостатки схемы, так как перенесённый узел и сумматор местами поменять нельзя и звенья W 1 и W 2 вновь участвуют в нескольких видах соединений одновременно. 1/W 1(p) Y(p) 1 W 1(p) W 3(p) X(p) W 2(p) Понятно ? да нет

Тема 1 параграф 1. 5 Правильно Узел 1 переносится к узлу 2, они меняются местами и теперь каждое звено участвует только в одном виде соединения. 1/W 2(p) Y(p) W 1(p) W 2(p) 1 W 3(p) X(p) 2 Эквивалентная передаточная функция равна: W 1(p)W 2(p) W(p)= x (1+W 3(p)/W 2(p) ) 1+W 1(p)W 2(p) Вернёмся к оглавлению? Перейдём к следующему параграфу?

1. 6 Передаточные функции автоматических систем Тема 1 Рассмотрим АС, структурная схема которой имеет вид: Y(p) X(p) Передаточная функция от входа Y W 1(p) к выходу Х называется ПФ замкнутой системы: W 2(p) W 1(p) Фx / y(p)= 1+W 1(p)W 2(p) Обратная связь от выхода к входу системы называется основной ПФ последовательного соединения звеньев, входящих в контур основной обратной связи, называется ПФ разомкнутой системы: W(p)=W 1(p)W 2(p). Y(p) e(p) W (p) 1 Системы, у которых ПФ основной X(p) обратной связи равна 1, называются следящими. Выход таких систем - сигнал e(p) -ошибка системы.

Тема 1 Определим теперь передаточные функции более слож- параграф 1. 6 ных систем Y(p) X(p) W 1 W 2 W 3 W 4 W 5 Здесь основная обратная связь - это W 5 , а внутренняя с ПФ W 4 называется местной обратной связью. Передаточная функция разомкнутой системы: W = W 2 W 3/(1 -W 3 W 4) W 5. ПФ замкнутой системы: W 2 W 3 /(1 -W 3 W 4) Фx/y= W 1 1+ W 2 W 3 /(1 -W 3 W 4) W 5 Отметим, что знаменатель ПФ любой замкнутой системы всегда равен: 1+W

Запомним следующее правило: ПФ замкнутой системы от любого входа к любому выходу равна ПФ прямой цепи между этим входом и выходом, делённая на 1+W Тема 1 параграф 1. 6 F(p) Y(p) W 1 e(p) W 2 W 3 X(p) W 4 W 5 ПФ соответствующей прямой цепи Например: Фe / Y = W 1 /(1+W); ФX / F = W 3 /(1 -W 3 W 4) / (1+W) ; Фe / F = - W 3 /(1 -W 3 W 4) W 5 / (1+W)

Тема 1 параграф 1. 6 Вернёмся к оглавлению? Перейдём к следующему параграфу?

1. 7 Звенья АС, их классификация Тема 1 Передаточная функция линейной стационарной АС в общем случае имеет вид: W(p)= bm pm +bm-1 pm-1 +. . . +b 1 p + b 0 an pn +an-1 pn-1 +. . . + a 1 p + a 0 Так как все коэффициенты аi и bi действительные, то по теореме Безу полиномы числителя и знаменателя могут быть представлены в виде произведения некоторых простейших действительных полиномов не выше второго порядка. Или, переходя к передаточным функциям, в виде последовательного соединения некоторых звеньев с ПФ не выше второго порядка. Такие простейшие звенья получили название элементарных.

Элементарные звенья АС Тема 1 параграф 1. 7 1. W(p) = k - усилительное звено 2. W(p) = p - дифференцирующее звено 3. W(p) = 1 / p - интегрирующее звено 4. W(p) = k / (Tp+1) - апериодическое звено, здесь k - коэффициент усилени звена; Т - постоянная времени 5. W(p) = k (Tp + 1) - форсирующее звено 1 -го порядка 6. W(p) = k (T 2 p 2 +2 z. T p + 1) - форсирующее звено 2 -го порядка

Элементарные звенья АС Тема 1 параграф 1. 7 7. W(p) = k / (T 2 p 2 + 2 x. Tp + 1) - инерцинное звено 2 -го порядка, здесь x - относительный коэффициент затухания (не путать с декрементом затухания - характеристикой колебательности переходного процесса). В зависимости от значения x различают: 0 < x < 1 - колебательное звено; x = 0 - консервативное или вырожденное колебательное; x > = 1 - последовательное соединение двух апериодических звеньев 8. W(p) = e-t p - звено чистого запаздывания, здесь t - время чистого запаздывания.

Тема 1 параграф 1. 7 Контрольные вопросы: 1. Определите параметры апериодического звена W(p) = k = 10; T = 1 10 p+5 k = 2; T = 0. 2 2. Как называется это звено? 1 W(p) = p 2 + 0. 2 p +0. 01 Колебательное Инерционное

Тема 1 параграф 1. 7 Неправильно Параметры любого элементарного звена можно определить только тогда, когда оно задано в стандартном виде: коэффициенты а 0 и b 0 должны быть равны 1, поэтому в данном примере необходимо предварительное преобразование ПФ: k 10 10 2 W(p) = = = p+5 5(0. 2 р + 1) 0. 2 р + 1 T Понятно ? да нет

Тема 1 параграф 1. 7 Неправильно Приведём ПФ данного звена к стандартному виду (а 0=1): 1 1 W(p) = = = p 2 + 0. 2 p +0. 01(100 р2 + 20 р + 1) Два одинаковых апериодических звена 0. 01 = = 102 р2 + 2 х1 х10 р + 1 (10 р + 1)2 x T Понятно ? да нет

Выберите нужный параграф Тема 3 3. 1 Определение устойчивости движения 3. 2 Устойчивость невозмущённого движения по Ляпунову 3. 3 Необходимые и достаточные условия устойчивости 3. 4 Структурная неустойчивость 3. 5 Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Гурвица 3. 6 Частотные критерии устойчивости. Критерий Михайлова 3. 7 Следствие критерия Михайлова 3. 8. Критерий устойчивости Найквиста 3. 9 Следствия критерия Найквиста 3. 10 Запасы устойчивости АС

3. 1 Определение устойчивости движения Тема 3 параграф 3. 1 Физический смысл понятия устойчивости легче всего понять на классическом примере: система шарик - поверхность В первом случае малейшее отклонение шарика от положения равновесия приводит к нарастающему отклонению, и шарик никогда не вернётся обратно. Система называется неустойчивой. Во втором случае после прекращения действия возмущения шарик останавливается, но в произвольной точке плоскости. Говорят система нейтральна или на границе устойчивости. В третьем случае шарик возвращается в некоторую окрестность от первоначального положения - такие системы называются устойчивыми. И лишь в последнем случае шарик возвращается точно в исходное состояние - система асимптотически устойчива. В дальнейшем под общим термином устойчивость понимается асимптотическая устойчивость объекта

Определение Тема 3 параграф 3. 1 Автоматическая система называется устойчивой, если она будучи выведенной из состояния невозмущённого движения или покоя некоторым возмущением, вновь возвращается к этому состоянию после прекращения действия возмущения. Понятие устойчивости известно с очень давних времён. Им пользовались ещё в древнем Египте при строительстве пирамид. Но строгое математическое описание этого понятия и собственно теория устойчивости появились лишь в начале нашего века и связаны с именем выдающего математика и механика Александра Михайловича Ляпунова.

3. 2 Устойчивость невозмущённого движения по Ляпунову Тема 3 параграф 3. 2 Так как процессы в АС описываются дифференциальными уравнениями, то математический анализ устойчивости сводится к анализу решений этих уравнений. Как известно, общее решение дифференциального уравнения складывается из двух составляющих: общего решения однородного (без правой части) xсв(t) и частного решения неоднородного (с правой частью) xвын(t). Составляющая xвын(t) определяется видом входного сигнала и равна 0 при отсутствии последнего. Очевидно, что устойчивость, как свойство системы возвращаться в исходное состояние после прекращения действия возмущения (входного сигнала) будет определяться только составляющей xсв(t). ВЫВОД: АС устойчива тогда и только тогда, когда устойчиво её свободное (невозмущённое) движение

Введём теперь определение устойчивости невозмущённого движения по Ляпунову (1 -й метод Ляпунова) Решение хсв(t) устойчиво по Ляxсв x 1(t) пунову, если для любого e >0 суxсв(t) ществует такое d(e), что любое решение xi(t), для которого при t=t 0 выполняется неравенство 2 e 2 d mod(xi(t 0)-xсв(t 0))< d, удовлетвоx 2(t) ряет неравенству mod(xi(t)xсв(t))< e. t 0 t Проще говоря - ограниченные начальные условия для устойчивых систем приводят к ограниченным решениям. На практике решение дифференциальных уравнений достаточно трудоёмкая задача, поэтому в прямой постановке 1 -й метод Ляпунова не применяется.

3. 3 Необходимые и достаточные условия устойчивости Тема 3 параграф 3. 3 Согласно 1 -му методу Ляпунова устойчивость определяется затуханием переходных процессов в невозмущённом (свободном) движении системы или стремлением к нулю общего решения однородного дифференциального уравнения: которое, как известно, равно: