III Международный конкурс Математика и проектирование Номинация проекта

III Международный конкурс «Математика и проектирование» Номинация проекта «Математика и искусство» Тема проекта «Когда красота привлекает, а исследование увлекает, или Математика в архитектуре и живописи»

Автор проекта Ефимова Марина, ученица 9 класса МОУ «Новошимкусская СОШ Яльчикского района Чувашской Республики» Руководитель проекта Кириллова Светлана Михайловна, учитель математики МОУ «Новошимкусская СОШ Яльчикского района Чувашской Республики» Почтовый адрес творческого коллектива 429388, Чувашская Республика, Яльчикский район, село Новые Шимкусы, улица Центральная, дом 125 Год выполнения проекта 2008

Цель проекта ─ исследование закономерностей проявления удивительной области человеческой деятельности Задачи проекта: − изучить удивительную область человеческой деятельности; − изучить искусственную среду, воздвигнутую человеческими руками.

«Архитектурные пропорции – это математика зодчества. А математика – это универсальный язык науки, поэтому мы можем сказать, что пропорции – это универсальный язык науки, язык всеобъемлющий и всесильный, как всесильна и всеобъемлюща сама математика» А. В. Волошинов «Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство. » Г. Вейль

Симметрия, движение прямой в пространстве и пропорция широко используются в архитектуре и живописи

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ. Две точки А 1 называются симметричными относительно точки О, если О середина отрезка А А 1. Точка О считается симметричной самой себе. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ. Преобразование фигуры F в фигуру F 1, при котором каждая ее точка переходит в точку, симметричную относительно данной прямой, называется преобразованием симметрии относительно прямой а. Прямая а называется осью симметрии. а F F 1

Симметрия в чувашских узорах

Симметрия в символиках

Пропорция Слово «пропорция» ввел в употребление Цицерон в I веке до н. э. , переводя им на латынь платоновский термин «аналогия» , который буквально означал «вновь-отношение» , или, как мы говорим, «соотношение» . С тех пор пропорцией называют равенство между соотношениями четырех величин a, b, c, d:

Церковь Покрова на Нерли «Пожалуй, самым трудным и вместе с тем обязательным в архитектурном творчестве является простота. Простота форм обязывает придавать прекрасные пропорции и соотношения, которые сообщили бы им необходимую гармонию» А. В. Щусев

Золотое сечение Деление отрезка в золотом сечении означает, что длина всего отрезка относится к длине большей части так же, как длина большей части относится к длине меньшей части. A D В φ≈0, 62 Ф=1/φ ≈ 1, 618 Ряд золотого сечения является геометрической прогрессией Свойство ряда золотого сечения

Пирамида Хеопса имеет стороны основания: 230, 41, 230, 51, 230, 60 и 230, 54 м. Высота равна 146, 70 м. Отношение наклонной образующей, или гипотенузы прямоугольного треугольника, образующего поперечный разрез пирамиды к малому катету, или половине стороны квадратного основания, равно отношению золотого сечения.

Собор Парижской Богоматери Один из величайших памятников архитектуры ранней готики. Огюст Шуази показал, что в основе пропорций фасада собора лежит квадрат, а высота башен равна радиусу окружности, вписанной в этот квадрат Также на главном фасаде присутствует золотое сечение.

Витрувианский человек D E A F Дэн Браун в книге «Код да Винчи» писал, что картина Леонардо да Винчи построена на золотом сечении. B AC: AB=Ф C DF: DE=Ф

Храм Василия Блаженного – один из жемчужин древнерусской архитектуры.

Пропорции храма определяются восемью членами ряда золотого сечения:

Золотое сечение на картине Боттичелли «Рождение Венеры» Отношение длины картины к её ширине равно φ. Расстояние от левого края картины до головы богини ветра и расстояние от её головы до правого края картины находятся в золотом соотношении, как и расстояние от левого края до руки нимфы и от руки до правого края. На рисунке показано, что колени делят тело, пупок – туловище, брови – лицо в золотом сечении.

Золотые фигуры Золотыми фигурами называются такие фигуры, стороны которых находятся в золотом соотношении N M Q A P Золотой прямоугольник MN: NP=φ B C Золотой треугольник BC: AB=φ

Золотой прямоугольник Леонардо да Винчи «Тайная вечеря»

Золотое сечение на Моне Лизе Построение на золотых треугольнках Построение на золотых прямоугольниках

Парфенон – одно из самых великих сооружений мира. Храм был возведён при Перикле в Vв. до н. э. Иктином и Калликратом. Он был построен в дорическом ордере. Снаружи его украсили сценами жестоких битв. На западном фронтоне Парфенона был изображён миф о споре Афины и Посейдона. На главном (восточном) – рождение Афины

Золотая пропорция на фасаде Парфенона Современные архитекторы утверждают, что в основе Парфенона лежит золотое сечение. Хэмбидж разбил фасад Парфенона на квадраты и прямоугольники, стороны которых относятся, как 1 к √ 5. Легко видеть, что главные вертикальные размеры храма соотносятся в золотой пропорции

Поверхности, образованные движением прямой в пространстве, называются линейчатыми. К ним относятся конус и цилиндр. Цилиндрические своды сооружали в Древнем Риме. Позже математики открыли ещё 2 вида линейчатых поверхностей: гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид. Они образованы двумя семействами прямых в пространстве

Гиперболический параболоид Возможности гиперболических параболоидов открыл испанский архитектор Феликс Кандела. Он показал их свойства на самых разных сооружениях – от промышленных зданий до ресторанов и клубов. На фото изображён вечерний зал в Акапулько.

Однополостный гиперболоид На основе однополостных гиперболоидов была построена Шаболовская радиобашня

Математическая живопись Наиболее распространенными темами математической живописи являются: фракталы, тесселляции, невозможные фигуры и искажённые перспективы. в

Невозможные фигуры Иштван Орос «Перекрёстки»

Искажённые перспективы Дик Термес «Клетка для человека»

Фракталы Роберт Фатауэр «Композиция кругов»

Тесселляции Роберт Фатауэр "Фрактальные рыбы " Если присмотреться, то можно увидеть, что волна является фрактальной тесселяцией, которая состоит из рыб разных размеров

Заключение Математика для творческого труда архитектора издавна признается чем-то очень важным, необходимым и плодотворным. И все же архитектурная наука так до сих пор и не разработала должным образом этот, можно сказать, кардинальный вопрос теории. Речь идет не только о ремесленном или техническом вооружении зодчего, о реализации идеи в проекте и сооружении, но и о творческом процессе поиска, о "формах" самой идеи, о "формах" художественного мышления. На языке архитектуры, можно сказать, что математика – это грандиозное мысленное сооружение, которое в свернутом, понятийном, символьном виде моделирует окружающий нас мир и происходящие в нем явления.

Заключение Мы пронаблюдали, как математика помогает добиться прочности, удобства, красоты архитектурных сооружений, как значимо и ценно отношение золотого сечения, как немело важную роль играет в построении такие понятия как симметрия и асимметрия. Также было совершенно доказано, что геометрия является основой и «оформлением» строительной деятельности и т. д. И в завершении нашей исследовательской работы можно смело выделить: «Интуиция, ассоциативное и образное мышление на своей начальной фазе обходится без математики, но оформление итогов творческого процесса без опоры на математику просто невозможно, по крайней мере, если речь идет о созидательной архитектурной деятельности» .

Используемая литература Архитектура математики. -М. : Знание, 1972 Гликин Я. Д. Методы архитектурной гармонии. – Л. ; М. : ОНТИ, 1935 Иконников А. В. Художественный язык архитектуры. – М. : Искусство, 1982 Ле Корбюзье. Архитектура ХХ века. – М. : Прогресс, 1970 Цирес А. Искусство архитектуры. –М. : ИАА, 1946 Волошинов А. В. Математика и искусство. – М. : Просвещение, 1992