II Постоянный электрический ток 1 Характеристики электрического тока

II. Постоянный электрический ток 1. Характеристики электрического тока : сила и плотность тока Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов. Проводниками тока могут быть тела, в которых имеются свободные заряженные частицы – носители тока, способные перемещаться в пределах тела (электроны в металлах и полупроводниках, ионы в электролитах и газах, или макроскопические носители в виде заряженных пылинок и капелек). Ток возникает, если внутри проводника напряженность электрического поля отлична от нуля.

В отсутствие электрического поля носители заряда участвуют в хаотическом тепловом движении, при котором в любом направлении в среднем движется одинаковое число зарядов. Поэтому в отсутствие электрического поля ток равен нулю.

Количественной характеристикой тока является сила тока I – это величина заряда, проходящего через поперечное сечение проводника в единицу времени. Если за время dt через сечение проводника прошел заряд d. Q, то ток равен (1) За направление тока принимают направление движения положительных зарядов. Единицей силы тока является ампер (А).

Если сила и направление тока с течением времени не меняются, то ток называется постоянным. Для постоянного тока где Q - заряд, переносимый через сечение проводника за конечное время t.

Ток может течь через сечение проводника неравномерно. Поэтому для более детального описания тока вводят плотность тока j. Величина плотности тока численно равна силе тока, проходящего через единичную площадку, перпендикулярную к направлению движения носителей заряда в данной точке (2) Вектор плотности тока направлен в сторону упорядоченного движения положительных зарядов. Единицей плотности тока является. Поле тока изображают с помощью линий тока, касательные к которым дают направление плотности тока.

Зная вектор плотности тока j в каждой точке проводника, можно найти силу тока поверхность S I через любую (3) где к площадке , а - единичный вектор нормали . Из формулы (3) следует, что сила тока есть поток вектора плотности тока через поверхность.

2. Уравнение непрерывности Пусть S - некоторая замкнутая поверхность в проводнике. Тогда поверхностный интеграл равен заряду, выходящему за 1 сек из объема V, ограниченного поверхностью S.

Согласно закону сохранения заряда, вышедший заряд должен равняться убыли заряда q, находящегося внутри объема V. Эта убыль заряда равна Приравнивая, получаем

Выразим заряд q в объеме V через объемную плотность заряда тогда можем записать где под знаком интеграла стоит частная производная от плотности заряда по времени, поскольку эта плотность может зависеть не только от времени, но и от координат.

Воспользуемся теперь теоремой Остроградского. Гаусса и перейдем в левой части уравнения поверхностного интеграла к объемному от в результате получаем Данное равенство должно выполняться для произвольно выбранного объема V, поэтому должны равняться подинтегральные выражения Уравнение непрерывности (4)

Уравнение непрерывности выражает закон сохранения заряда. Оно показывает, что убывание заряда происходит в тех точках проводника, которые являются источниками вектора плотности тока.

Если ток постоянен, то его плотность неизменна во времени, тогда Значит, в случае постоянного тока вектор плотности тока не имеет источников. Поэтому линии постоянного тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются – они всегда замкнуты. Поток вектора плотности постоянного тока через любую замкнутую поверхность равен нулю.

3. Электродвижущая сила Пусть носителями тока в проводнике являются положительные заряды. В присутствие электрического поля они будут двигаться вдоль проводника по направлению поля - от конца проводника с большим потенциалом к концу проводника с меньшим потенциалом. Это приводит к выравниванию потенциалов во всех точках проводника и, в конечном счете, к исчезновению тока. Поэтому, чтобы ток в проводнике не прекратился необходимо постоянно поддерживать разность потенциалов на его концах. Для этого надо непрерывно отводить заряды от конца проводника с меньшим потенциалом, а концу с большим потенциалом, наоборот, их подводить.

Природа сторонних сил может быть различной. Они могут быть обусловлены химическими реакциями (в гальванических элементах), механической работой ротора генератора, диффузией зарядов через границу раздела двух разных проводников и т. д. Количественной характеристикой сторонних сил является работа, которую они совершают по перемещению зарядов. Работа сторонних сил над единичным положительным зарядом называется электродвижущей силой (ЭДС). Если работа сторонних сил над зарядом q равна А, то (5)

Из формулы (5) следует, что размерность ЭДС совпадает с размерностью потенциала (Вольт). Стороннюю силу , действующую на заряд q, можно записать в виде (6) где - напряженность поля сторонних сил. Найдем работу сторонних сил на участке цепи 1 -2

Разделив работу на величину заряда q, получаем ЭДС, действующую на данном участке цепи (7) Если цепь замкнутая, то аналогичный интеграл по замкнутому контуру дает ЭДС, действующую в цепи (8) Отсюда видно, что ЭДС в замкнутой цепи равна циркуляции вектора напряженности сторонних сил.

На заряд q, кроме сторонних сил, в общем случае действуют и силы электростатического поля Поэтому результирующая сила, действующая на заряд q в каждой точке цепи, равна Работа, совершаемая результирующей силой над зарядом q на участке цепи 1 -2 , равна (9)

Величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется напряжением U на участке цепи 1 -2 (10) Отсюда следует, что напряжение является обобщением понятия разности потенциалов. Они совпадают друг с другом лишь в том случае, если на участке не действуют ЭДС, такой участок называется однородным. Если же на участке на заряд действуют сторонние силы, то участок называют неоднородным.

4. Законы постоянного тока Закон Ома Немецкий физик Ом экспериментально установил, что сила тока I, текущего по однородному металлическому проводнику пропорциональна напряжению на концах проводника U Закон Ома для участка цепи (11) где R - электрическое сопротивление проводника. Единицей сопротивления является Ом – он равен сопротивлению такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет ток силой 1 А.

Сопротивление проводника зависит от формы, размеров и свойств материала из которого он сделан. Для однородного цилиндрического проводника (12) где l - длина проводника, S - площадь поперечного сечения, - удельное электрическое сопротивление. Единицей удельного сопротивления является (Oм*м). Наименьшим удельным сопротивлением обладают серебро (1. 6*10 -8 Ом*м) и медь (1. 7*10 -8 Ом*м). На практике чаще используется алюминий (2. 6*10 -8 Ом*м).

Закон Ома в дифференциальной форме Найдем связь между плотностью тока j и напряженностью электрического поля в одной и той же точке проводника. В изотропном проводнике упорядоченное движение носителей тока происходит в направлении вектора. Поэтому направления векторов j и совпадают. Выделим вблизи некоторой точки проводника элементарный объем в виде цилиндра, ось которого параллельна векторам j и.

Через поперечное сечение цилиндра течет ток силой Напряжение, приложенное к цилиндру, равно Edl, jd. S. где E - напряженность поля в данной точке. Сопротивление цилиндра, согласно (12), равно Подставим все эти значения в формулу (11) Учитывая, что вектора j и параллельны, можем записать закон Ома в дифференциальной форме (13) где - удельная электрическая проводимость.

Величина, обратная 1 Ом, называется сименсом (См). Поэтому единицей измерения удельной проводимости является сименс на метр (См/м). Опыт показывает, что удельное сопротивление и сопротивление R большинства металлов при температурах, близких к комнатной, меняются от температуры почти линейно где - и 0 (14) , R и R 0 - удельные сопротивления и сопротивления проводника при температурах - температурный коэффициент. t и 0°C,

Для чистых металлов температурный коэффициент 1/273 К-1 Поэтому сопротивление металлов может быть записано в виде (15) где Т - термодинамическая температура.

При низких температурах возникают отклонения от линейного закона (14). В большинстве случаев зависимость следует кривой 1. Остаточное сопротивление ост зависит от чистоты материала и механических напряжений в нем. У многих металлов и сплавов при очень низких температурах сопротивление скачком обращается в ноль – кривая 2. Это впервые было обнаружено Камерлинг-Оннесом в 1911 году для ртути. Данное явление называется сверхпроводимостью. У каждого сверхпроводника имеется своя критическая температура Тк, при которой он переходит в сверхпроводящее состояние.

При действии на сверхпроводник внешнего магнитного поля В его сверхпроводящее состояние нарушается. Критическое магнитное поле Вк, разрушающее сверхпроводимость, равно нулю при Тк и растет с понижением температуры. Объяснение явления сверхпроводимости было дано Бардиным-Купером-Шрифером и Боголюбовым на основе законов квантовой механики.

Закон Ома для неоднородного участка цепи Рассмотрим неоднородный участок цепи 1 -2, в котором действует ЭДС , а разность потенциалов на концах участка равна. Теперь, на носитель тока с зарядом электростатической силы q кроме действует сторонняя сила , которая также вызывает упорядоченное движение носителей тока. Поэтому плотность тока будет пропорциональна сумме напряженностей (16)

Формула (16) обобщает формулу (13) на случай неоднородного проводника. Она выражает собой закон Ома в дифференциальной форме для неоднородного участка цепи.

Получим закон Ома в интегральной форме.