Идеалы кольца Определение. Подкольцо I кольца К называется

Идеалы кольца Определение. Подкольцо I кольца К называется левым идеалом, если оно замкнуто относительно умножения на все элементы кольца слева. Идеал называется правым, если подкольцо замкнуто относительно умножения на все элементы справа. Т. е. I – левый идеал К, если: 1) I – подкольцо К; 2) t K, a I, ta I. I – правый идеал К, если: 1) I – подкольцо К; 2) t K, a I, at I. Если идеал одновременно является левым и правым, то он называется двусторонним. Двусторонний идеал аналогичен нормальной подгруппе. 1) a, b I, a+b, –a, ab I; 2) t K, a I, at I или ta I.

Примеры: 1) К = кольцо; I = <{2 n}; +, > – двусторонний идеал. 2) М не является идеалом.

Т. Непустое подмножество I кольца К является идеалом тогда и только тогда, когда 1) a, b I, a–b I; 2) t K, a I, at I или ta I. Необходимость. Дано: I идеал кольца К. Доказать: 1); 2). Доказательство: а) Т. к. I – идеал, то условие 2) выполняется по определению идеала. б) Покажем, что в I выполняется условие 1). Т. к. I – подкольцо К, то a, b I, – b I, a + (– b) = (a – b) I.

Достаточность. Дано: I К; I ; 1); 2). Доказать: I является идеалом кольца К. Доказательство: Покажем, что I является подкольцом кольца К и t K, a I, at I. a, b I 1*) –a I; 2*) a+b I; 3*) ab I. 1*) Т. к. ơ I ( a I, a– a I по усл. 1)), то ơ – a= – a I. 2*) Если b I, то – b I и по 1) a – (– b) = a+b I. 3*) следует из 2).

Главный идеал а К. = {ra+na / r К; n Z}. Т. к. ra К и na К, то К. Выясним, образует ли идеал кольца К. Пусть , , = r 1 a+n 1 a, =r 2 a+n 2 a. 1) – = (r 1 a+n 1 a)–(r 2 a+n 2 a)=(r 1 a–r 2 a)+(n 1 a–n 2 a)= (r 1–r 2)a+(n 1–n 2)a , т. к. r 1 – r 2 К; n 1 – n 2 Z. 2) , t K, рассмотрим произведение t =t(r 1 a+n 1 a)=t(r 1 a)+t(n 1 a)=(tr 1)a+(tn 1)a=(tr 1+tn 1)a= (tr 1+tn 1)a+0 а , т. к. tr 1+tn 1 К; 0 Z. 1), 2) идеал кольца К, он называется главным идеалом, порожденным элементом а и обозн. (а) = {ra+na / r К; n Z}. (а) = {ar+na / r К; n Z}. ar=ra

Примеры: 1) Пусть К = , (5) = {r 5+n 5 / r Z; n Z}={5 m / m Z}. 2) Пусть К = <2 Z; +, >, (6) = {r 6+n 6 / r 2 Z; n Z} {6 m / m 2 Z}, это вызвано отсутствием в кольце единичного элемента.

Свойства идеала в кольце с единицей Т. Если К – кольцо с единицей е, то главный идеал, порожденный элементом а, состоит из всех элементов кольца К, кратных элементу а, т. е. (а) = {ta / t К}. Доказательство: Пусть a К, рассмотрим ra+na=ra+n(еa)=ra+(nе)a=(r+nе)a=ta. К К К ra+na=ta, t К. (е)= {tе / t К}=К.

Идеалы, порожденные несколькими элементами Пусть a, b К, (a, b)= {r 1 a+n 1 a+r 2 b+n 2 b / r 1, r 2 К; n 1, n 2 Z}. Если К – кольцо с единицей, то (a, b)= {r 1 a+r 2 b / r 1, r 2 К}. Аналогично для 3, 4 и т. д. элементов.

Сравнения по идеалу Пусть К – кольцо, – идеал К. Определение. Элементы a и b кольца К называются сравнимыми по идеалу , если a – b . Записывается: a b ( ). Свойства сравнений: 1. Сравнимость по идеалу является отношением эквивалентности: 1) a a ( ), т. к. a – a= ơ . 2) Если a b ( ), то a – b –(a – b)= b – a b a ( ). 3) Если a b ( ), b с ( ), то a – b и b – с . (a – b) + (b – с) = a – с a с ( ). 2. Сравнения по одному идеалу можно почленно складывать: a b( ) a–b с d( ) с–d (a – b)+(с – d)= (a + с) – (b + d) a + с b + d ( ).

3. К обеим частям сравнения можно прибавлять один и тот же элемент кольца: a b ( ) a+с b+с ( ) с К. 4. Слагаемые из одной части сравнения можно переносить в другую с противоположным знаком: a+b с( ) a с – b ( ). (К обеим частям прибавили (–b)). 5. К любой части сравнения можно прибавить любой элемент идеала, т. е. , если a b ( ) и m 1, m 2, m 3 , то a+m 1 b ( ); a b+m 2 ( ); a+m 1 b+m 3 ( ). 6. Сравнения по одному идеалу можно почленно вычитать: a b( ) с d ( ) a – с b – d ( ).

7. Сравнения по одному идеалу можно почленно перемножать: a b( ) с d ( ) a с b d ( ). a – b , с – d a – b = m 1, с – d = m 2, a = b+m 1, с = d+m 2. a с = (b+m 1) (d+m 2) = bd + bm 2 + m 1 d + m 1 m 2 К m a с = bd + m a с – bd = m aс bd ( ). 8. Обе части сравнения можно умножать на один и тот же элемент кольца: a b ( ) aс bс ( ), с К. 9. Обе части сравнения можно возводить в одну и ту же натуральную степень: a b ( ) an bn ( ), n N.

Классы вычетов по идеалу Ка={b К / b a ( )}. Свойства классов вычетов: 1º. Ка , а Ка. 2º. a b ( ), то Ка Кb = . 3º. a b ( ) Ка = Кb. 4º. UКа = К. Введем на множестве классов вычетов операции: Ка + Кb = Ка+b; Ка Кb = Ка b.

К/ = {Ка, Кb, Кc, . . . } I. <К/ ; +> – абелева группа т. к. : 1) операция «+» выполнима и однозначна, следует из задания операции; 2) ассоциативность «+» проверяется непосредственно; 3) существование нулевого элемента: Кơ={b К / b ơ ( )}= ; 4) противоложный элемент: К-а+ Ка = Кơ; 5) коммутативность «+» проверяется непосредственно. II. <К/ ; > – полугруппа: 1) операция « » выполнима и однозначна, следует из задания операции; 2) ассоциативность « » проверяется непосредственно. III. Дистрибутивные законы проверяются непосредственно: (Ка+Кb)Кс = Ка+b Кс = К(а+b)с = Кас+bс = Кас+Кbс = Ка. Кс+Кb. Кс. Следовательно, <К/ ; +, > – кольцо. Это кольцо называется факторкольцом кольца К по идеалу.

Гомоморфизм колец. Ядро гомоморфизма Пусть : К 1 К 2 – гомоморфное отображение. По свойствам гомоморфизма (ơ 1) = ơ 2. ơ 1 К 1, ơ 2 К 2 – нейтральные элементы. Определение. Ядром гомоморфизма называется множество элементов кольца К 1, отображающихся в нулевой элемент кольца К 2. Ker = {a К 1 / (a) = ơ 2}. Т. Ядро гомоморфизма является идеалом кольца. Доказательство. 1) Ker К 1 (по определению); 2) Ker , ơ 1 К 1; 3) Покажем, что: а) a, b Ker a – b Ker и б) a Ker , t К 1 at Ker . а) (a – b) = (a +(– b)) = (a) + (– b) = (a) – (b) = ơ 2 – ơ 2 = ơ 2 a – b Ker ; б) (at) = (a) (t) = ơ 2 at Ker .

Естественный гомоморфизм Пусть К – кольцо, – идеал К, К/ = {Ка, Кb, Кc, . . . } – факторкольцо. Рассмотрим отображение : К К/ , сопоставляющее a K, (a) = Ка К/. Докажем, что – гомоморфизм. (a+b) = Ка+b = Ка + Кb = (a) + (b); (a b) = Ка b = Ка Кb = (a) (b). – гомоморфизм и называется естественным гомоморфизмом.

Характеристика кольца Пусть К – кольцо с единицей. Рассмотрим всевозможные целочисленные кратные единицы: n е = е + + е. 0 е =ơ. – n е = (– е) + + (– е) K. Определение. Говорят, что кольцо К имеет нулевую характеристику, если n е = ơ только при n =0. Если n е = ơ для некоторого натурального n N, то характеристикой кольца К называется наименьшее из таких натуральных чисел.

Т 1. В кольце характеристики 0 все целочисленные кратные единицы различны. Допустим, что два каких-либо кратных равны, т. е. k е = m е и k>m, тогда (k-m)e = ơ. По допущению k-m 0, что противоречит тому, что характеристика кольца равна 0. Следовательно k = m. Т 2. Если характеристика кольца К равна n, то кратные ke и (tn+k)e совпадают. Доказательство: (tn+k)e = (tn)e +ke = t(ne) +ke = ơ +ke = ke.

Примеры. 1. , 1 Z, n 1=0 n=0 Z – к. н. х. 2. . n Z 1 = Z 1 +…+ Z 1 = Zn. n m Z 1= Zm = Z 0. Это кольцо характеристики m. Если m – простое число, то Z/(m) – поле. Примеры. 1) Z/(3) = {Z 0, Z 1, Z 2}. (Z 1)-1 = Z 1; (Z 2)-1 = Z 2. 2) Z/(4) = {Z 0, Z 1, Z 2, Z 3}. У Z 2 нет обратного элемента Z/(4) – кольцо, но не поле.