I Механика Динамика вращательного движения твердого тела Основное

I. Механика. Динамика вращательного движения твердого тела Основное уравнение (второй закон Ньютона) вращательного движения (для материальной точки). Основное уравнение (второй закон Ньютона) вращательного движения для системы материальных точек. Момент импульса системы – сумма моментов импульсов отдельных материальных точек для каждой материальной точки Суммируя по i, получим Силы взаимодействия между двумя материальными точками действуют в противоположные стороны вдоль одной и той же прямой, поэтому их моменты равны по величине. противоположны по

I. Механика. Динамика вращательного движения твердого тела направлению и попарно уравновешивают друга. Следовательно, и уравнение примет вид: Основное уравнение (второй закон Ньютона) вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. С учетом рассмотренного выше уравнения вращательного движения для системы материальных точек, получим: . где , - проекции на ось вращения z момента импульса и момента внешних сил. Момент импульса твердого тела равен Тогда уравнение примет вид:

I. Механика. Динамика вращательного движения твердого тела Закон сохранения момента импульса. Если в уравнении , то и момент импульса сохраняется. Если , а , то сохраняется проекция момента импульса . Для системы тел: , если , то Для твердого тела . Если , то Закон сохранения импульса связан с изотропностью пространства отсутствием в пространстве выделенных направлений.

I. Механика. Динамика вращательного движения твердого тела Задача 17. Сплошной однородный цилиндр массой m c моментом инерции I и радиусом R скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол a. Определить его ускорение. Решение. Запишем второй закон Ньютона для поступательного и вращательного движений где ось вращения проходит через ось симметрии цилиндра, поэтому сила тяжести и сила нормального давления моментов сил не создают. Угловое ускорение и ускорение поступательного движения связаны соотношением , а момент силы трения . Тогда второе уравнение преобразуется к виду: Складывая его с первым уравнением и подставляя

I. Механика. Динамика вращательного движения твердого тела получим Задача 18. Вертикально расположенный однородный стержень длиной = 0, 6 м может вращаться вокруг горизонтальной оси, отстоящей от его конца на треть длины. Найдите линейную скорость, которую нужно сообщить другому концу стержня, чтобы он смог сделать полный оборот вокруг своей оси вращения. • Решение. Центр тяжести стержня отстоит от оси вращения на расстоянии . При подъеме нижнего конца стержня в верхнее положение центр тяжести поднимется на расстояние . Закон сохранения энергии примет вид: , где m – масса стержня, – его начальная угловая скорость, I – его момент инерции, по теореме Штейнера равный , откуда , а линейная скорость равна м/с

I. Механика. Динамика вращательного движения твердого тела Задача 19. Платформа в виде диска радиусом R = 4 м и массой M = 300 кг вращается по инерции около вертикальной оси с угловой скоростью = 2 рад/с. В центре платформы стоит человек массой m = 50 кг. Найдите, какую линейную скорость относительно земли будет иметь человек, если он переместится на расстояние м от оси вдоль радиуса. Решение. Запишем закон сохранения момента импульса системы диск – человек , где – момент инерции диска, а момент инерции человека рассматривается как момент инерции материальной точки на расстоянии r от оси вращения. В начальный момент времени , а в конечный момент . Тогда Линейная скорость человека будет равна 3, 69 м/с.

I. Механика. Динамика вращательного движения твердого тела Задача 20. Однородный тонкий стержень массой m = 0, 15 кг и длиной = 1 м может свободно вращаться вокруг горизонталь-ной оси, проходящей через его середину. В стержень на расстоянии от его нижнего конца попадает пластилиновый шарик массой = 5 г, летящий горизонтально перпендикулярно стержню со скоростью = 10 м/с и прилипает к нему. Найдите угловую скорость стержня после попадания в него шарика. Решение. Силы, действующие на стержень и создающие момент относительно его оси вращения отсутствуют, поэтому выполняется закон сохранения момента импульса Момент импульса налетающего шарика относительно оси равен , а стержня с прилипшим шариком . Приравнивая эти моменты импульса, получим: рад/с

I. Механика. Гравитационное поле. Закон всемирного тяготения Для материальных точек и тел сферической формы Закон записывается в следующем виде: Выражение для ускорения свободного падения на поверхности Земли можно получить следующим образом: , откуда , где m – масса тела, M – масса Земли, R – ее радиус. На высоте h от поверхности Земли и для ускорения свободного падения получим . Движение спутников планет по круговым орбитам. Запишем для этого движения второй закон Ньютона: ,

I. Механика. Гравитационное поле. где m – масса спутника, M – масса планеты, R – ее радиус, h –высота орбиты над поверхностью планеты, - ускорение свободного падения на ее поверхности. Из этого уравнения можно найти скорость спутника и ее период обращения Т. Если , т. е спутник летает на небольшой высоте, тогда скорости получим: и для первой космической . - скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно стало спутником Земли (не вернулось на Землю). Эллиптические орбиты. В общем случае движение планет и их спутников происходит по эллиптическим орбитам. Гравитационные силы Солнца или планет не создают момента силы, поэтому момент импульса планет или спутников сохраняется.

I. Механика. Гравитационное поле. и - радиус орбиты и скорость на орбите в перигее, а и радиус и скорость в апогее. Между ними существует следующее соотношение. Потенциальная энергия гравитационного поля. Рассмотрим гравитационное взаимодействие материальной точки массой m и шара (Земли) массой M и радиуса R. Беря неопределенный интеграл, получим: Если потенциальная энергия обращается в ноль на бесконечности, то константа интегрирования С=0 и Если принять потенциальную энергию равной нулю на поверхности шара (Земли) и .

I. Механика. Гравитационное поле. Потенциальная энергия в этом случае принимает вид: Если высота над поверхностью шара (Земли) мала , то и получаем известное выражение для потенциальной энергии тела на высоте h от поверхности Земли. Вторая космическая скорость – скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно покинуло поле притяжение Земли (удалилось от него на бесконечность). Если принять потенциальную энергию на бесконечности, равной нулю, то закон сохранения энергии запишется в виде: , где выражение в правой части равенства – полная энергия тела на поверхности Земли. На бесконечно большом расстоянии от Земли кинетическая и потенциальная энергии обращаются в ноль и

I. Механика. Гравитационное поле. • Задача 21. Найдите расстояние, на которое ракета, запущенная вертикально вверх с поверхности Земли с первой космической скоростью , удалится от поверхности Земли. Радиус Земли равен R = 6400 км. Вращение Земли не учитывать. • Решение. Принимая потенциальную энергию равной нулю на поверхности Земли, запишем закон сохранения энергии: , где – начальная кинетическая энергия ракеты, соответствующая первой космической скорости , h – высота подъема ракеты, на которой ее скорость обращается в ноль. Подставляя в первое уравнение, получим , откуда h=R=6400 км.

I. Механика. Гравитационное поле. Задача 22. Определите, при каком значении высоты над поверхностью Земли использование формулы зависимости потенциальной энергии от высоты Eпот ≈ mgоh приводит к ошибке 25%. Радиус Земли равен 6400 км. Решение. Потенциальная энергия тела в поле притяжения Земли, обращающаяся в ноль на ее поверхности, имеет вид: . Подставляя , будем иметь: Ошибка в 25% получится при , откуда км.

I. Механика. Динамика Благодарю за внимание