Historia informatyki Wykład 2 — Liczby i liczenie

Historia informatyki Wykład 2 - Liczby i liczenie Piotr Gawrysiak pgawrysiak@supermedia. pl 2007

Umiejętność liczenia Umiejętność liczenia nie jest bynajmniej umiejętnością naturalną – w wielu kulturach „prymitywnych” nie była potrzebna – a zatem nie wykształciła się zupełnie Nie była wcale taka powszechna nawet w Europie. Statute of Shrewsbury (VII w n. e. ) – „aby być świadkiem w sprawie sądowej trzeba umieć liczyć do dziewięciu” Warto przy tym zauważyć iż pojęcie liczby to nie to samo co umiejętność liczenia. Można liczyć na kamyczkach, palcach, ziarnkach ryżu itd. wreszcie na „pewnych słowach” Bertrand Russel „It must have required many ages to discover that a brace of pheasants and a couple of days were both instances of the number two”

Nazwy liczebników Słowa odpowiadające liczbom najłatwiej (a w każdym razie łatwiej niż kamieniom) stworzyć nazywając poszczególne palce. Nazwy palców – czyli liczby do dziesięciu - pozostają jednymi z najwolniej zmieniających się elementów języka (a więc tym samym dobrze nadają się do analizy filologicznej). Przykład: 1 en unus eka un eins one 2 duo dva deux zwie two 3 tri tres tri trois drei three 4 tetra quantour catur quatre vier four 5 pente quinque panca cinq fiinf five 6 ex sas six sechs six 7 epta septem septa sept sieben seven 8 octa octo astra huit acht eight 9 ennea novem nava neuf neun nine 10 deca decem daca dix zehn ten Oczywiście zawsze są wyjątki. . . Np: fiński i węgierski, gdzie: 1: yksi i egy, 5: viisi i ot, 10: kymmenen i tiz itd.

Systemy zapisu liczb Do liczenia niezbędny jest system liczbowy (numeryczny). Taki oparty musi być o pewną liczbę, która będzie ulegać powielaniu (bazę systemu). Dwie możliwości • system pozycyjny wartość liczby zależy nie tylko od jej symbolu, ale także miejsca w zapisie przykład – nasz system dziesiętny: 1945 a 5914 • system addytywny wartość liczby zależy tylko od zapisanych symboli a nie zależy od ich kolejności symboli? ) przykład – klasyczny system Rzymski: MDCCCCXXXXV a XXMDCXXVCCC

Baza systemu liczbowego W przypadku systemów addytywnych – baza systemu to liczba, której wielokrotność reprezentują symbole w zapisie. W przypadku systemu Rzymskiego – baza = 5. W systemach pozycyjnych kolejne potęgi bazy systemu wyznaczają „wagę” pozycji w zapisie. Przykład – system dziesiętny: 100 + 101 + 102 + 103 +. . . 1 + 1000 +. . . 1945 = 1*5 + 4*10 + 9*100 + 1*1000 System binarny (dwójkowy): 20 + 21 + 22 + 23 +. . . 1 + 2 + 4 + 8 +. . . 1945 = 1111001

Baza systemu liczbowego Oczywistym jest że ludzie liczyli przede wszystkim na palcach – stąd powszechne bazy 5, 10 i 20. . . Ale to wcale nie takie proste – są też systemy o bazach 4, 13 i 18 wreszcie zaś nawet o bazie 60. W Europie – baza 20. To widać w języku: Przykład: Język francuski 70 – soixante-dix (zamiast septante) 80 – quatre-vingt (zamiast huitante) 90 - quatre-vingt-dix. W średniowieczu mówiono nawet np. tak: 300 - qunize-vingt (15 x 20). W angielskim także - słowo score oznaczające 20. Przykłady: w Biblii three score and ten years, w przemówieniu Lincolna z Gettysburga four score and seven years ago W starej Anglii – jeden funt to 20 szylingów

Systemy addytywne – egipski Egipcjanie opracowali skomplikowany system zapisu języka (hieroglify). Trzeba jednak pamiętać że hieroglify to nie wszystko – było tam stosowane także też pismo hieratyczne (znaki uproszczone, łatwiej je rysować na papierze) i wreszcie demotyczne (ok. 4 r. p. n. e. ). Potrzeba stosowania matematyki • społeczeństwo zbiurokratyzowane, w zasadzie brak pieniądza (w formie monet itp. ) z czego wynika potrzeba zapisów i obliczeń np. ilości dostarczanego zboża, bydła itd. • rolnictwo „zinstytucjonalizowane” - efektywność działania uzależniona od m. in. obliczeń dotyczących wylewów nilu • potrzeby religijne (np. budowa piramid) Do dziś pozostały zapisy księgowe, oraz papirusy matematyczne (m. in. papirus Rhinda).

Egipski system liczbowy System addytywny o bazie 10. Hmm. . . (1800 p. n. e. ) 45 + 61 + 38 = 143 Dodawanie 23 x 13 = 299 Mnożenie

System egipski c. d. - mnożenie • Warto zwrócić uwagę na stosowanie operacji podwajania – jest to w zasadzie to samo co metoda shift and add stosowana w nowoczesnych procesorach komputerów do realizacji mnożenia • Operacja ta została potem przejęta także przez Europejczyków (a wcześniej przez uczonych arabskich arabów). Popularna była na tyle, że jeszcze we wczesnych tekstach o arytmetyce publikowanych w Europie we wczesnym średniowieczu pisze się o 6 -ciu (a nie 4 -ch) podstawowych operacjach arytmetycznych – dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu, dzieleniu, podwajaniu i przepoławianiu.

Starożytni Grecy • Także system addytywny, a raczej dwa systemy – herodiański i alfabetyczny. • Pierwszy, zwany także attyckim (najwcześniejszy jego opis znajdujemy w manuskrypcie „De numeris” datowanym na II n. e. , przypisywanym Aeliusowi Herodianusowi), jest modyfikacją systemu mykeńskiego. Grecy dodali do znaków mykeńskich dodatkowe oznaczenia nie odpowiadające potęgom 10, mianowicie 5 oraz 50, 5000 i 50000, które powstały poprzez połączenie znaku piątki z odpowiednim znakiem mnożnika. • U Homera słowo pięć używane jest także w znaczeniu liczyć – być może oznacza to, iż istniał jeszcze jakiś wcześniejszy grecki system liczbowy oparty właśnie o liczbę 5.

System herodiański /attycki/ Oryginalne znaki mykeńskie

System alfabetyczny • Poszczególnym literom alfabetu nadane wartości numeryczne • Oczywiście jak się używa liter do reprezentacji liczb to zawsze znajdą się takie liczby które odpowiadają słowom – tak narodziła się Kabała • Najlepszy przykład zapewne w Hebrajskim (bardzo podobne zastosowania) – pierwsze litery słowa Jahwe (J i H) to akurat te same litery które oznaczają 10 i 5. W związku z tym Hebrajskie 15 nie mogło być zapisane jako 10+5 i zamiast tego zapisywano je jako 9+6. Do tego dochodziło sporo reguł arytmetycznych – pozwalających unikać zbitek JHWH w wynikach obliczeń. • Oba greckie systemy były denerwujące w użyciu praktycznym (w arytmetyce) – na tyle że Ptolemeusz pisząc Almagest (po grecku) używał systemu babilońskiego (o podstawie 60) – był łatwiejszy!

System Rzymski • Raczej nam znany - trzeba jednak pamiętać że jego oryginalna forma była stricte addytywna • Formy IV i XL wprowadzone jednak dopiero około IV w n. e. , zaś upowszechniły się dopiero około XVI w. • Też niezbyt wygodny w arytmetyce – chociaż nie jest tak najgorzej np (przy mnożeniu wystarczy zapamiętać tylko tabliczki mnożenia przez 10 i 5). Dodawanie Mnożenie

System Europejski – liczby „arabskie” • Dobrze nam znany : -), pozycyjny, o bazie 10 • Ale skąd się wziął? Nie wiadomo. Wiadomo że Arabowie skopiowali go od Hindusów, ale skąd oni go wymyślili? • Istotny jest tu wynalazek zera (bez tego nie da się zrobić systemu pozycyjnego) – na pewno po 876 n. e. (jest dokument), ale musiało istnieć i wcześniej. . . • Tak naprawdę zatem używamy liczb „hindu”, a nie arabskich. . . • W IX n. e. wieku Mohammed ibn Musa Al-Khowarizmi (z Chiwy), profesor szkoły Al-Mammun („dom mądrości” w Bagdadzie oczywiście) studiował liczby indyjskie i opisał je w serii traktatów – szeroko później kopiowanych.

Upowszechnienie liczb „arabskich” • Liczby Al-Khowarzimiego pojawiają się w europejskich dokumentach w X wieku (w Hiszpanii w 976, w Watykanie w 1077) • Pierwsze dzieła matematyczne wykorzystujące liczby „arabskie”– Fibonacci (Leonardo z Pizy) korzysta z nich w dziele Liber Abaci (nie tylko zresztą traktującej o liczbach). • Popularyzacja – Carmen de Algorismo (1220 – Alexander de Villa Dei), wierszem (!) i tylko 200 zdań (a więc łatwo skopiować) oraz też dość krótki Algorismus Vulgaris (Sacrobosco / wł. John of Halifax 1250) • A skąd „algorismus” - to przeniesienie nazwiska Al. Khowarizmi (a to za sprawą tłumaczy jego traktatów – np. w Adelard of Bath z 1120 mamy „Dixit Algorismi. . . ”) • Stąd też mamy nazwę na metodę liczenia liczbami arabskimi „algorism” i współczesne słowo algorytm

Upowszechnienie liczb „arabskich” • Ponadto nowy sposób zapisu budził naturalną nieufność – doskonały przykład podaje Robert Steel przytaczając następujący wyciąg dat urodzin dzieci, pochodzący z ksiąg parafialnych przechowywanych w British Museum : • • • Mijc. Lviii; Mijc. Lxi Mijc. 63 1264 1266 • System traktowany był także jako coś tajemniczego i szczególnie zwalczany przez „specjalistów” od liczenia na abaku • Trzeba też pamiętać że arabska nazwa zera, sifr, przełożona na łacińskie Zephirum, dała początek angielskiemu słowu cipher – czyli szyfrować. . .

Upowszechnienie liczb „arabskich” Typowa ilustracja „nowych” liczb z europejskiego tłumaczenia traktatu – skopiowana jak w oryginale „od prawej” Walka starego (abak) z nowym (algorismus)

Inne systemy notacji Chiny – pałeczki na tabliczce Peru – Kipu – węzełki na sznurkach, nigdy do końca nie odczytane. . . Niemcy – węzełki na workach z mąką Anglia - Tally sticks służące do rejestrowania należności podatkowych

Angielskie Tally Sticks Sposób na zapisywanie wartości długów (w szczególności podatkowych) Nacinany kawałek drewna Przełamywany na dwie części – foil i stick Wierzyciel zatrzymywał stock (czyli zatem był stock-holder) Stąd też angielskie określenie stock market, 1253 funty, 5 szylingów, 3 i pół pensa Dopiero w 1826 zdecydowano się zrezygnować z tych patyczków Oczywiście „archiwów” potem trzeba było się ich pozbyć – w 1834 roku zdecydowano się je spalić. . . Przy okazji spalił się House of Lords i House of Commons i – jak pisze Dickens „we are now in the second milion of the cost thereof”.

Angielskie Tally Sticks

Liczenie na palcach • Prosty sposób liczenia na palcach - taki w którym każdy palec odpowiada jednostce - jest bardzo ograniczony, pozwala bowiem jedynie na przeprowadzenie operacji dodawania i odejmowania w zakresie 10 -ciu • . . . chyba, że użyjemy także palców stóp. Jeśli zatem zachodzi potrzeba przedstawienia przy użyciu palców większych liczb, należy posłużyć się bardziej skomplikowanym systemem reprezentacji. • Taki system wykształcił się na obszarze Europy i Azji jeszcze przed narodzeniem Chrystusa. Dzięki Herodotowi wiemy iż już w V wieku p. n. e. był w powszechnym użyciu • Użyteczny – bardzo pomaga w handlu (problemy językowe!) • Mówcy rzymscy, średniowieczni autorzy traktatów teologicznych (św. Augustyn, św. Hieronim) traktują znajomość tego systemu jako coś oczywistego dla swoich czytelników. . .

Liczenie na palcach - przykłady • W jednej z satyr Juwenalisa odnajdujemy następujące zdanie: Szczęśliwy [Nestor], który setkę przekroczywszy liczy już swoje lata na prawej ręce. • System rozpowszechniony także w świecie arabskim – aby zrozumieć wiele traktatów, trzeba wiedzieć jak układały się palce np. Jeden z poematów Anwariego opiewa mądrość wezyra Nizama al-Muk słowami: Zginałeś palce lewej dłoni w wieku, gdy dzieci ssą jeszcze duży palec. (Innymi słowy, wezyr ów potrafił już w dzieciństwie liczyć powyżej 100. /nb. jest to lustrzane odbicie systemu europejskiego/)

Układ palców • trudno powiedzieć jak wyglądał – wszyscy autorzy uznają to, za rzecz oczywistą dla czytelnika – więc mało zachowało się przykładów • Najbardziej znana – ilustracja z Paciollego (Suma de Arithmetica Geometria 1494) nb. układy palców są tu bardzo podobne do tych widniejących na rzymskich monetach z I w n. e.

Inne „zastosowania” palców • Oczywiście wspomniany system przestaje być użyteczny wraz z rozpowszechnieniem pisma. . . • Pomoc w mnożeniu: • Aż do czasów nowożytnych umiejętność mnożenia jest bardzo rzadko spotykana – większość nawet wykształconych ludzi opanowuje co najwyżej tabliczkę mnożenia do pięciu (tj. do 5 x 5) aż do XVII wieku • Odpowiednie układy palców pomagają „rozszerzyć” obliczenia do 10 x 10 • Pomoc w obliczeniach „w pamięci” - np. popularny w Chinach system, w którym stawom palców przypisuje się różne wartości liczbowe (przedstawienie liczby wymaga wtedy dotknięcia jedną ręką drugiej – ale za to można przedstawić tak liczby do 9999).

Abak Bodajże pierwszy (jeśli nie liczyć rąk) przyrząd do liczenia • Początki trudne do prześledzenia – geneza niewątpliwie w liczeniu przy użyciu kamyków, o czym pisze m. in. Demostenes (IV w p. n. e. ) • Herodot pisząc z kolei o Egipcjanach, zauważa, iż w odróżnieniu od Greków piszą i rachują przy użyciu małych kamieni od prawej do lewej strony, nie zaś od lewej do prawej. • Także wczesne wizerunki na greckich wazach, np. na Wazie Dariusza

Abak – wizerunek na Wazie Dariusza

000001 5 Abak c. d. • To jak abak wyglądał nie ulega jednak wątpliwości, bo trochę się ich do dzisiaj zachowało – np. tablica z Salaminy (wyspa niedaleko Pireusu). • Jest duża – pewnie była używana np. w banku • Sposób użycia – najprawdopodobniej nie zmieniał sie przez wieki, np. opis w traktacie Roberta Recorde, którego pierwsze wydanie pochodzi z 1542 roku, zaś który drukowano bez praktycznie żadnych zmian i wykorzystywano w nauczaniu aż do XVIII wieku. Wygląd tablicy abaku przedstawiającej liczbę 287452.

Abak c. d. Sama nazwa pochodzi od kurzu – semickie abaq, po grecku abax - bo zapewne pierwsze abaki były po prostu stołami albo tabliczkami posypywanymi drobnym piaskiem. . . kamyki – calculi, więc stąd angielskie calculate i calculus W Anglii abakus to counting board, a w uproszczeniu counter – w sklepie był zwykle taki właśnie counter, na kŧórym wykładano (i obliczano wartość) towary (a konkretniej account) W starym niemieckim „rechnung auff der linen” - arytmetyka Od średniowiecza nie posługiwano się już kamykami, ale metalowymi ozdobnymi krążkami (nb. zestaw takich krążków był w wielu krajach uznawany za dobry prezent na nowy rok, stare zwykle wyrzucano do rzeki – sporo ich teraz się odnajduje). Jako że krążki takie wprawny rachmistrz rzucał na powierzchnię abaku, stąd też i ich nazwa (od francuskiego jeter – rzucać) – żetony Od rzucania z kolei mamy także angielskie „cast up an account” i pośrednio też „cast a horoscope”

Abak - żetony

Liczydła „rosyjskie” Mechaniczne rozwinięcie abaku • Wersja chińska (swan pan, od ok. 1300) • Wersja japońska (soroban, od ok. 1400, oczywiście skopiowany od Chińczyków) • Wersja rosyjska (popularna aż do XX wieku) – ta jest pozioma, a nie pionowa – z Chin przez Armenię do Rosji Przywiezione jako ciekawostka przez żołnierzy napoleona z Moskwy – podczas gdy ich pradziadkowie korzystali jeszcze z abaków. . . Na sorobanie można liczyć bardzo szybko – co pokazały zawody w 1946 pomiędzy japończykiem Kiyoshi Matsuzake a amerykaninem Thomasem Wood (korzystającym z elektrycznego kalkulatora mechanicznego) – wygrał Japończyk : -)