Heute Ø Die Binomialverteilung Ø Poissonverteilung Ø Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Ø Arbeiten mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Die Binomialverteilung Man werfe eine Münze n mal und zähle die Häufigkeit k, mit der dabei „Kopf“ oben liegt. n=4 n=8 n = 32 Diskrete Verteilung, die mit zunehmendem n normal wird
Die Binomialverteilung Man wiederhole ein Zufallsexperiment n mal und bestimme die Häufigkeit k, mit der ein bestimmtes Ereignis E eintritt. Es sei: Bei n Wiederholungen kann das Ereignis „k-mal E“ auf genau Weisen eintreten. Da sich die einzelnen n über k Folgen gegenseitig ausschliessen, folgt mit dem Additionssatz: [Tafel-Entwicklung] Multiplikationssatz der WKn für unabhängige Versuche & Additionssatz auf die disjunkten Folgen anwenden!
Die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung Die Wahrscheinlichkeit, daß höchstens k mal E auftritt, ist: Die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens k+1 mal E auftritt, ist: Binomialverteilung: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktion Definition: definiert die Wahrscheinlichkeitsfunktion, oder Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Binomialverteilung. Sie tritt auf bei der Betrachtung der Anzahl der Erfolge einer Folge von unabhängigen Versuchen (Bernoulli-Folge), wobei p die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs bei einem Versuch ist und q = 1 - p gilt. n ist die Anzahl der Wiederholungen des Versuchs. p und n sind die beiden Parameter der Binomialverteilung: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den Parametern p und n.
Verteilungsfunktion Definition: definiert die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung. Allgemein: Die Verteilungsfunktion ist die kumulierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für Erfolge bis zu einer oberen Schranke x an. Verteilungsfunktion: Kumulierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bis zu einer Grenze x.
Verteilungsfunktion für diskrete Variable Es gilt für diskrete Zufallsvariablen: Allgemeine Eigenschaften sind: Mit der Verteilungsfunktion kann man die Wahrscheinlichkeit für beliebige Intervalle der Zufallsvariable bestimmen.
Die Poissonverteilung Sind einzelne Ereignisse selten, so kann die Wahrscheinlichkeit statt mit der Binomialverteilung über die Poissonverteilung ausgedrückt werden. Gilt: So approximiert die Possonverteilung die Binomialverteilung gut. Die poissonverteilung hat nur den Parameter l, der sowohl Mittelwert wie Varianz beschreibt. Wahrscheinlichkeitsfunktion: Die Poissonverteilung ist eine einfache Alternative zur Binomialverteilung für Seltene Ereignisse.
Vergleich: Binomial - Poisson Für Fast exakte Übereinstimmung beider Verteilungen.
Die Normalverteilung f (x) 0. 04 0. 03 0. 02 0. 01 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 x Die Normalverteilung (Gauss‘sche Glockenkurve) ist eine symmetrische Verteilung. Ihre Form ist durch die Standardabweichung und den Mittelwert eindeutig festgelegt. Sie resultiert aus dem Modell unabhängiger sich überlagernder Zufallsfehler („Galton-Brett“) [Tafelbeispiel Galton, Binomial]
Die Normalverteilung F(x) 1. 0 0. 75 0. 25 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 x Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung (Fläche unter der Normalkurve) kann man nicht auf eine geschlossene Form bringen. Sie ist aber für standardisierte Variablen (z-Standardisierung) austabelliert und elektronisch implementiert (z. B. in Excel).
Die Normalverteilung f(z) 0. 4 68. 26% 0. 3 -2 -1 0. 2 0. 1 -3 0. 2 95. 5% 0. 1 1 2 3 z -3 -2 -1 1 2 3 Die Fläche unter der Kurve ist bei der Normalverteilung eine Funktion der Standardabweichung (in Einheiten von s angebbar) [Tabellenbenutzung, Excel, Aufgabenbeispiel zu IQ‘s] z
z - Standardisierung Wahrscheinlichkeitsdichte f (z) 0. 10 0. 05 0. 00 -15 -10 -5 0 5 10 15 -3 z -2 z -1 z 0 1 z 2 z 3 z z - Standardisierung zur Überführung in Standardnormalverteilung z
Wahrscheinlichkeitsbestimmung Verteilungsfunktion (Fläche der Dichtefunktion) Eigenschaften za Benutze austabellierte Standardnormalverteilung zb
![Approximation der Binomialverteilung Die Binomialverteilung hat ebenfalls Mittelwert und Varianz: Gilt Dann gilt [Beispiele]](https://present5.com/presentation/c7a0ed8789dd1e2833ac08b02af6be18/image-15.jpg "Approximation der Binomialverteilung Die Binomialverteilung hat ebenfalls Mittelwert und Varianz: Gilt Dann gilt [Beispiele]")
Approximation der Binomialverteilung Die Binomialverteilung hat ebenfalls Mittelwert und Varianz: Gilt Dann gilt [Beispiele] so kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert werden.
Fehler 1. und 2. Art In der Population gilt H 0 H 1 Correct Rejection Miss (Fehler 2. Art) False Alarm (Fehler 1. Art) Hit Entscheidung für H 1 Hypothesenwahrscheinlichkeiten : bedingte WKn
Mittelwerteabstand aus WK Man klassifiziere man nach „Distraktor“ (H 0) und „Target“ (H 1) Tatsächlich gilt H 0 Entscheidung für H 1 0. 59 0. 077 0. 41 0. 923 1 1 Wie groß ist der Mittelwerteabstand der Likelihoodfunktionen ?
Mittelwerteabstand H 0 – Verteilung: p = 0. 59 H 1 – Verteilung: p = 0. 077 p = 0. 59 z 0 = F-1{0. 59} = 0. 23 Correct Rejection z - Berechnung für jede einzelne Verteilung z 1 = F-1{0. 077} = -1. 43 Miss
Abstand in z- Standardisierung Es gilt: Ferner: Nun betrachte im z 1 Wert den Abstand des Kriteriums k in Bezug auf m 0: (standardisierter Abstand) Annahme: beide Likelihoodfunktionen haben dieselbe Varianz
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