Группы кольца поля Группа Определение Непустое множество

Группы, кольца, поля

Группа. Определение Непустое множество G называется группой, если в нем определена алгебраическая операция, называемая умножением, которая каждым двум элементам a, b из G ставит в соответствие элемент ab также из G, называемый их произведением, и обладает нижеследующими свойствами: I. (Закон ассоциативности) a(bc) = (ab)c; II. (Закон обратимости) Для любых a и b из G уравнения ax = b и ya = b разрешимы в G, т. е. в G существуют элементы c и d такие, что ac = b, da = b. Если групповая операция коммутативна, т. е. ab = ba для любых a, b из G, то группа G называется коммутативной. (коммутативные группы называются также абелевыми)

Пример 1. Все целые, все рациональные, все действительные и все комплексные числа являются группами относительно операции сложения чисел, играющего роль групповой операции умножения. Ни одно из этих множеств не является группой относительно операции умножения чисел, т. к. уравнения 0*x = 1 не имеют решения. Пример 2. Все рациональные, все действительные и все комплексные числа, исключая число 0, являются группами относительно операции умножения чисел. Пример 3. Множество G двух элементов e и a с операцией, заданной равенствами ee = aa = e, ea = ae = a, является группой. Все эти группы коммутативны.

Единицей группы G называется элемент e такой, что ea = ae = a для любого a из G. Обратным для элемента a из G называется -1 -1 -1 элемент a такой, что aa = a a = e, где e единица группы G. Теорема 1. В любой группе G существует единица e и притом только одна; для любого элемента a существует обратный элемент и притом только один; существующие по закону обратимости II решения уравнений ax = b и ya = b являются единственными для любых a и b из G.

Закон ассоциативности I позволяет говорить о произведении трех элементов a, b и c группы G, понимая под этим любое из равных произведений a(bc) и (ab)c, и писать рядом abc без скобок. для любого элемента a 1 из G:

Свойство произведения при совпадении сомножителей обращается в известное свойство степени

Операция, обратная для операции умножения в коммутативной группе G, называется делением. Ее результат для элементов a и b, т. е. решение уравнений ax = b и ya = b, называется частным элементов b и a и обозначается через b: a.

Групповая операция может обозначаться через a + b и называться сложением. Тогда говорят об аддитивной записи группы. Для аддитивно записанной группы G сумма n элементов обозначается так:

Операция, обратная операции сложения в аддитивно записанной коммутативной группе, называется вычитанием, а ее результат для элементов a и b, т. е. решение уравнений a + x = b и y + a = b, называется разностью элементов b и a и обозначается через b - a.

Подгруппа. Подмножество H группы G называется подгруппой этой группы, если оно само является группой при той же групповой операции, что и в G. При выяснении того, является ли данное подмножество H подгруппой, можно пользоваться следующей теоремой: Теорема 2. Непустое подмножество H группы G будет подгруппой тогда и только тогда, когда 1) произведение двух любых элементов a и b из H принадлежит H, 2) элемент a -1, обратный для любого элемента a из H, принадлежит к H.

Кольца Непустое множество R называется кольцом, если в нем определены две алгебраические операции: сложение, ставящее в соответствие каждым двум элементам a, b элемент a + b, называемый их суммой, и умножение, ставящее в соответствие каждым двум элементам a, b элемент ab, называемый их произведением.

Операции сложения и умножения удовлетворяют следующим свойствам: I. (Коммутативность сложения) a + b = b + a; II. (Ассоциативность сложения) a + (b + c) = (a + b) + c; III. (Обратимость сложения) Для любых a и b из R уравнение a + x = b имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что a + c = b; IV. (Коммутативность умножения) ab = ba; Термин "кольцо" применяется также ко множествам с некоммутативным или даже неассоциативным умножением. Формулировки других свойств также меняются. V. (Ассоциативность умножения) a(bc) = (ab)c; VI. (Дистрибутивность умножения относительно сложения) (a + b)c = ac + bc.

Примеры колец. При обычных операциях сложения и умножения кольцом является: 1. Множество целых чисел. 2. Множество рациональных чисел 3. Множество действительных чисел. 4. Множество рациональных чисел. 5. Множество, состоящее лишь из одного числа 0. 6. Множество четных чисел и вообще множество целых чисел, кратных некоторому числу n. 7. Множество комплексных чисел a + bi с целыми a и b (так называемое кольцо целых комплексных чисел).

При этом за операции сложения и умножения принимаются обычные действия над многочленами, известные из школьной алгебры. Эти действия имеют смысл, так как они сводятся к сложению и умножению коэффициентов многочленов, а последние принадлежат к кольцу R, где указанные действия определены. Пары (a, b) целых чисел образуют кольцо, если операции определены по формулам (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b)(c, d) = (ac, bd).

Кольцо относительно операции сложения является коммутативной группой. Поэтому во всяком кольце существует элемент 0, называемый нулем кольца, со свойством a+0=0+a=a для любого a. Далее, для любого a существует противоположный элемент -a такой, что a + (-a) = (-a) + a = 0. Следствие закона дистрибутивности. bc + (a - b)c = [b + (a - b)]c = ac.

Теорема 1. Если один из сомножителей равен нулю, то и все произведение равно нулю, т. е. a*0 = 0, 0*a = 0 для любого a.

Элементы a и b кольца, для которых , , но ab = 0, называются делителями нуля. Кольцо без делителей нуля называется также областью целостности. Теорема 2. Из ab = ac следует b = c, если только и не является делителем нуля. При умножении справедливы обычные правила знаков, а именно: a(-b) = -ab, (-a)b = -ab, (-a)(-b) = ab.

Теорема 3. (Свойства разности) В любом кольце разность элементов обладает следующими свойствами: а) a - b = c - d тогда и только тогда, когда a + d = b + c; б) (a - b) + (c - d) = (a + c) - (b + d); в) (a - b) - (c - d) = (a + d) - (b + c); г) (a - b)(c - d) = (ac + bd) - (ad + bc).

Подкольцо. Подмножество M кольца R называется подкольцом, если оно само является кольцом при тех эе операциях сложения и умножения, которые определены в кольце R. Так, кольцо четных чисел является подкольцом кольца целых чисел, а последнее в свою очередь - подкольцом кольца рациональных чисел.

Теорема 4. Для того чтобы непустое подмножество M кольца R было его подкольцом, необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность и произведение любых двух элементов из M снова принадлежали M.

Полем называется кольцо P, обладающее следующими свойствами (помимо перечисленных ранее): VII. (Обратимость умножения) Для любых a и b из P, где a ≠ 0, уравнение ax = b имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что aq = b. VIII. P содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.

Пример 1. Множество всех рациональных функций с действительными коэффициентами от одного или нескольких переменных. 2. Множество из двух элементов, которые обозначим через 0 и 1, при следующем определении операций: 0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1. Все теоремы из раздела Кольца, выведенные для колец, остаются верными, в частности, для полей. Кроме того, из свойства VII вытекают теоремы, аналогичные тем, которые были приведены в разделе Кольца из свойства III.

Группа по сложению всех элементов поля называется аддитивной, а группа по умножению всех его элементов, отличных от нуля, - мультипликативной группой поля. Поле вполне определяется заданием двух этих групп, заданием произведений нуля на все элементы и требованием дистрибутивного закона для любых его элементов, включая нуль.

Теорема 1. Поле не имеет делителя нуля, т. е. если ab = 0, то либо a = 0, либо b = 0. Утверждение, обратное этому, вообще неверно: существуют кольца без делителей нуля (например, кольцо целых чисел), не являющиеся полями. Однако для конечных колец обратная теорема также верна. А именно: Теорема 2. Всякое конечное кольцо без делителей нуля, содержащее более одного элемента, является полем.

Теорема 3. (Свойства частного) а) Если b ≠ 0, d ≠ 0, то тогда и только тогда, когда ad = bc; б) Если b ≠ 0, d ≠ 0, то в) Если b ≠ 0, d ≠ 0, то г) Если b ≠ 0, с ≠ 0, d ≠ 0, то

Характеристика поля. Существуют поля, содержащие элементы a ≠ 0 такие, что na = 0 при целом n, отличном от нуля. Так, в поле из двух элементов 0 и e имеем: 2 e = e + e = 0. Справедливо утверждение: Теорема 4. Для любого поля P имеет место один из двух случаев: а) для любого элемента a ≠ 0 и любого целого числа n ≠ 0 кратное na также отлично от нуля; б) существует единственное простое число p такое, что pa = 0 для любого элемента a. (Под простым числом понимается натуральное число, отличное от 1 и не делящееся ни на какое натуральное число, кроме 1 и самого себя)

Характеристикой поля P называется число 0, если na ≠ 0 для любого элемента a ≠ 0 и любого целого числа n ≠ 0 и простое число p такое, что pa = 0 для любого элемента a в противном случае. Так как для числа 1 и любого целого n будет n · 1 = n, то все числовые поля имеют характеристику 0.

Подполе. Простое поле. Множество M поля P называется подполем P, если оно само является полем при тех же операциях сложения и умножения, которые заданы в поле P. Тогда P называется надполем или расширением поля M. Так, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел, а последнее - подполем поля комплексных чисел.

Теорема 5. Для того чтобы множество M поля P, содержащее не менее двух элементов, было подполем, необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность, произведение и частное (если только оно существует в P) любых элементов из M снова принадлежали к M.

Теорема 6. Пересечение (в смысле пересечения множеств) любого множества надполей поля P опять является подполем поля P. Соответствующая теорема верна и для колец, т. е. пересечение любого множества подколец кольца R есть подкольцо кольца R. Доказательство ее вполне аналогично данному здесь для полей. Теорема 7. Любое поле содержит простое подполе и притом только одно.

Изоморфность Два множества M и M', в каждом из которых определены отношения элементов, образующие некоторую систему отношений S, называются изоморфными (запись ) относительно данной системы отношений (короче просто изоморфными), если между ними существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее все отношения системы S, т. е. такое, что если любые элементы M находятся в любом из отношений системы S, то соответствующие им элементы M' находятся в том же отношении, и обратно.

Понятие изоморфизма обладает тремя основными свойствами: 1) 2) если то 2) если и то

Кольцо (или поле) R называется изоморфным кольцу (соответственно полю) R' (запись ), если существует взаимно однозначное отображение R на R', при котором сумме и произведению любых элементов R соответствуют сумма и произведение соответствующих элементов R'.

Теорема 1. Пусть R и R' - множества, в каждом из которых определены операции сложения и умножения. Пусть R изоморфно R'. Тогда, если R есть кольцо (или поле), то и R' будет кольцом (соответственно полем). Вместе с основными свойствами при изоморфизме сохраняются и все другие свойства, являющиеся следствиями основных. Так, при изоморфизме колец R и R' нулю R соответствует нуль R', и если R содержит единицу, то и R' содержит единицу, причем она соответствует единице из R. В самом деле, из a + 0 = a в R следует a' + 0' = a' в R' и из a · 1 = a в R следует a' · 1' = a' в R' для любого элемента a' из R'.

Теорема 2. Пусть R - подкольцо кольца S и R' кольцо, изоморфное R и не имеющее общих элементов с S. Тогда для любого данного изоморфного отображения f кольца R на R' существует кольцо S, содержащее в качестве подкольца R' и изоморфное кольцу S, причем существует изоморфное отображение g кольца S на S', совпадающее на R с данным отображением f, т. е. такое, что g(a) = f(a) для любого элемента a из R. Если S - поле, то и S' будет полем. Если R - подполе S, то и R' подполе S'.

Операции сложения и умножения в S' определим через операции в S путем перенесения их в S' с помощью отображения g, т. е. положим g(a) + g(b) = g(a + b), g(a)g(b)=g(ab) для любых элементов a и b из S. Операции в S' для элементов R' совпадают с операциями, заданными в кольце R'. Так как f - изоморфное отображение R на R', то справедливы равенства f(a) + f(b) = f(a + b), f(a)f(b) = f(ab) для любых a и b из R.

Образует ли группу относительно операции матричного умножения множество матриц вида где, a и b – любые, не равные одновременно нулю действительные числа. Решение. Пусть М – это множество матриц, указанных в условии задачи. Покажем сначала, что умножение матриц является на множестве М групповой операцией. Положим: две любые матрицы из множества М.

Их произведение: где e = ac – bd и f = ad + bc. Очевидно, т. е. умножение матриц на множестве М является бинарной операцией. Эта операция ассоциативна, ибо ассоциативно умножение любых согласованных матриц. Роль единицы играет единичная матрица она принадлежит множеству М, так как ее можно записать в виде: Так как то 1) так как а и b не равны нулю одновременно по условию задачи; -1 2) матрица А имеет обратную матрицу А, которая равна (1)

Таким образом, множество М относительно матричного умножения образует группу. Возьмем, например, элемент и найдем обратный для него элемент. Воспользуемся элементарными преобразованиями строк матрицы. -1 Проверим найденный элемент А. Это означает, что -1 элемент А найден верно. Ответ: множество матриц вида , где а и b – любые, не равные одновременно нулю действительные числа, относительно матричного умножения образует группу.

Пример Выясните, образует ли группу, кольцо или поле, указанное множество относительно заданных операций множество матриц вида где а, b ' Q, поле относительно матричных сложения и умножения;