Групповые представления кристаллографии математика кристаллографического пространства и правильные

Групповые представления кристаллографии (математика кристаллографического пространства) и правильные системы точек. Оператором точечной группы называется действие, которое может быть произведено над системой точек без нарушения их симметрии. Четырехкратное действие оператора m на ячейку дважды возвращает пространство в исходное состояние. Действие оператора m в ячейке, точки которых связаны преобразованием зеркального отражения все время оставляет пространство в исходном состоянии.

Пример действия оператора 4 в двумерном пространстве Четырехкратное действие оператора 4 на ячейку в итоге возвращает пространство в исходное состояние. Действие оператора 4 в ячейке, точки которых связаны преобразованием оси симметрии четвертого порядка все время оставляет пространство в исходном состоянии. Порядком группы называется число операций необходимых для составления замкнутой группы. Порядок группы m равен 2, а порядок группы 4 равен 4.

Эквивалентные точки Вся совокупность точек, которые возникают после действия оператора на исходную, образуют систему эквивалентных точек. Экономная система записи координат эквивалентных точек: Для оператора m

Определение порядка оператора по его матрице Оператор m: 4: Для определения порядка оператора нужно последовательно применить его до получения матрицы идентичности 1, тогда порядок оператора будет равен числу минимально необходимых преобразований (числу матриц).

Возможные порядки осей симметрии в кристаллографическом пространстве Вопрос о порядке осей симметрии в кристаллографическом пространстве есть вопрос о том, сколько корней и какого порядка имеет квадратная матрица идентичности пространства. Корни (собственные значения) матрицы aij: - вырожденная матрица - определитель вырожденной матрицы - степень числа - корень из числа

Специфика кристаллографического пространства: m, k -целые числа; m> k - корни матриц идентичности Число нетривиальных корней матриц идентичности определяет мерность пространства, в котором соответствующие операторы порядка m могут существовать. Возможные нетривиальные корни - возможны в одномерном пространстве; - возможны в двумерном пространстве; Эти же операторы переходят из двумерного в трехмерное пространство. Эти операторы в трехмерном пространстве считают составными, т. к. они отвечают совокупному действию двух и более нетривиальных операторов. Эти операторы в двумерном пространстве совпадают, поэтому в двумерном пространстве отсутствуют.

Матрицы операторов двумерного пространства -нетривиальные корни оператора 6 Характеристическое уравнение матрицы позволяет определить её элементы из единичных корней матрицы в виде: Рассмотрим алгебраическое дополнение определителя aij: -минор элемента aik Определитель и его алгебраическое дополнение Исходя из того, что элементы алгебраического дополнения должны быть почленно равны элементам самой матрицы, получим:

Матрицы операторов двумерного пространства Окончательно матрица оператора 6 в ортогональном пространстве: Для получения этой матрицы в присущем ей гексагональном пространстве воспользуемся преобразованием координат: Прямая и обратная матрицы перехода от ортогональных к гексагональным координатам. 6 6 орт 6 гекс

Матрицы операторов трехмерного пространства 1 m 3 z Непервичные операторы 3 xyz 4 Гексагональная система 6 z

Геометрическая интерпретация сложения операторов