Гравитационное поле Земли Cила тяжести действующая на тело

Гравитационное поле Земли Cила тяжести, действующая на тело в данной системе координат, равна величине реакции опоры, поддерживающей данное тело. При этом и тело и опора предполагаются неподвижными в рассматриваемой системе координат. Сила тяжести, действующая на массу, лежащую на поверхности Земли, есть равнодействующая двух главных сил –гравитационного притяжения со стороны Земли и центробежной силы от вращения Земли вокруг своей оси.

Если бы Земля не вращалась, была бы сферически симметричным телом и имела бы сферически симметричное распределение плотностей, то ускорение силы тяжести g было бы одним и тем же во всех точках сферической поверхности радиуса r: g= M / r 2 (r R) и g = M(r) / r 2 (r < R) (1) R – радиус Земли, М – её масса, M(r) – масса пород внутри сферы радиуса r и - гравитационная постоянная ( = 6. 673 10 -11 м 3/кг с2). Вращение Земли, а также отклонение фигуры Земли от сферы, связанное с этим вращением, обуславливают широтную зависимость g.

Локальный рельеф земной поверхности и горизонтальные неоднородности в распределении плотностей ответственны за вариации в значениях g в разных точках поверхности Земного шара. Ньютон: из-за вращения Земли её фигура должна быть не сферой, а эллипсоидом вращения со сжатием: (2) Он получил для него значение 1/230. С современными значениями Re = 6378. 139 км и Rp = 6356. 75 (экваториальный и полярный радиусы Земли) это значение равно: = 1 / 298. 256. Французский математик Клеро показал, что ускорение силы тяжести на поверхности такого вращающегося сфероида изменяется с широтой места по закону: g = ge [1 + sin 2( )] (3) где ge – ускорение силы тяжести на экваторе, = (5 / 2) q - (4) и q = 2 Re / ge – отношение центробежной силы к силе тяжести на экваторе, - угловая скорость вращения Земли, Re – радиус Земли на экваторе.

ПОТЕНЦИАЛ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ Гравитационное поле Земли (без вклада центробежных сил от её вращения) является потенциальным, т. е. таким, в котором работа по перемещению массы не зависит от формы пути, а определяется лишь координатами начальной и конечной точек перемещения массы. Ускорение силы тяжести получается как градиент потенциала: (5) Если бы Земля представляла точную сферу, и распределение плотностей было сферическисимметричным, то внешний гравитационный потенциал Земли V и ускорение g имели бы вид: V = M / r g = M / r 2 (6)

Реальная форма Земли близка к сфере. Поэтому потенциал внешнего гравитационного поля Земли отличается от ньютонового потенциала (6) на одну трёхсотую. До запуска спутников с помощью наземных геодезических измерений был определён первый поправочный член к ньютоновской части поля (6) и в результате потенциал внешнего гравитационного поля Земли стал выражаться формулой : (7) где Re–экваториальный радиус Земли, (8) - гравитационный момент Земли и Р 2 -- второй полином Лежандра: (9) А и С – моменты инерции Земли относительно экваториальной и полярной осей, соответственно, = ( /2) - .

Современное значение гравитационного момента Земли J 2 = 1. 08265 10 -3 (Жарков, 1983). Относительно простой вид потенциала (7) обязан тому, что он содержит лишь начальные члены разложения по сферическим функциям, а также тому что он записан в системе координат, в которой оси координат совмещены с главными осями инерции. В общем случае разложение потенциала внешнего гравитационного поля Земли по сферическим функциям имеет вид : r, , - сферические координаты в точке наблюдения, Pn – полином Лежандра n-того порядка относительно cos , Pnm – присоединённые полиномы Лежандра относительно cos , sin.

Гравитационные моменты Jn, Anm, Bnm в (10) определяются экспериментально по траекториям искусственных спутников. До запуска спутников в (10) был известен лишь один коэффициент J 2 и потенциал записывался в виде (7). Сейчас определены коэффициенты для всех гармоник 2 n 30. Минимальная длина разрешения при этом составляет: n 2 R / n (2 3. 14 6. 3 103 / 30) 1. 3 103 км Если бы Земля находилась в состоянии гидростатического равновесия, то в разложении (10) остались бы лишь члены с чётными зональными элементами J 2, J 4, J 6. Отклонение формы Земли от гидростатически равновесной имеет порядок квадрата сжатия: h 2 R 70 м.

Геоид (геофизическая форма Земли) - определяется как эквипотенциальная поверхность внешнего потенциала силы тяжести (геопотенциала) W. W = V + V = К о (11) где Ко – значение внешнего потенциала (геопотенциала) W на поверхности Земли поверхности невозмущённого океана). силы тяжести (например, на Геопотенциал W - это сумма потенциала внешнего гравитационного поля Земли, V (слайд 4) и центробежного потенциала определяемого вращением Земли: V = 2 r 2/2, Три четверти поверхности Земли покрыто океанами и невозмущённая ветровыми течениями поверхность океана в точности совпадает с поверхностью геоида. На континентах поверхность геоида располагается под поверхностью континентов.

Референц-эллипсоид Высоту поверхности геоида, т. е. эквипотенциальной поверхности (11), определяют обычно относительно другой эквипотенциальной поверхности – референцэллипсоида: Wref = V 2 + V = Ko (12), где Wref – потенциал нормального поля, равного сумме центробежного потенциала V = 2 r 2/2 и поля V 2, определяемого формулой (7) где - гравитационный потенциал

Геоид строится в два приема аналогично тому, как внешнее поле тяготения разделяется на нормальное и возмущенное. Вначале определяют основную фигуру отсчета – нормальную фигуру, а затем определяют высоты геоида (малые по величине) – расстояния геоида от нормальной фигуры. На первый взгляд можно получить хорошее приближение, если за нормальную фигуру выбрать ньютоновскую сферу со средним радиусом R 0 и средней плотностью. Так как отклонение внешнего потенциала от ньютоновского (MG/r) порядка сжатия a, то средние высоты геоида над сферой будут порядка a. R 0 21 км. Эта величина мала по сравнению с размерами Земли, но велика по сравнению с характерными высотами рельефа.

Поэтому за нормальную фигуру выбирают эллипсоид вращения, который является эквипотенциальной поверхностью для нормального потенциала. Этот эллипсоид иногда называют референц-эллипсоидом; значения определяющих его параметров J 2, Re, M известны с достаточно высокой точностью. Референц эллипсоид является весьма хорошим приближением для геоида. Действительно, внешний потенциал отклоняется от нормального на величину порядка a 2. Следовательно, отклонение геоида от нормального эллипсоида (высоты геоида) порядка a 2 R 0 70 м.

Рис. 1. Карта высот геоида, м (Vincent, Marsh, 1975).

Высоту геоида определяют относительно референцэллипсоида (12) и поэтому она качественно характеризует отклонение гравитационного поля Земли от нормального значения и имеет порядок квадрата сжатия: (R 2 ) Можно было бы ожидать, что в горных местах гравитационное поле будет сильнее за счёт притяжения масс горы, и наоборот, во впадинах дефицит масс должен бы приводить к ослаблению гравитационного эффекта. Однако, в действительности отклонения от нормального поля (высоты геоида) не связаны с главными топографическими особенностями Земли (континентами и океанами). Отсюда вывод: континентальные области изостатически скомпенсированы – материки плавают в подкоровом субстрате подобно гиганским айсбергам.

Изостазия

Небольшие отклонения гравитационного поля Земли от нормального поля (7) вызваны флюктуациями плотности в коре и мантии. Согласно принципу изостазии, лёгкая кора, состоящая из гранита и базальта, изостатически уравновешена на более тяжёлой мантии. Земная кора как бы плавает в подстилающих породах мантии. Мантия (литосферы) пропускает поперечные волны и вроде бы должна быть твёрдой, а не течь. На самом деле для сейсмических деформаций с характерным временем порядка секунд она твёрдая, а для движений с характерными временами порядка десятков и сотен тысяч лет – она ведёт себя как высоковязкое тело (Жарков, 1983). Поверхность геоида принята за поверхность сравнения и сопоставления гравиметрических наблюдений и отсчёта высот рельефа (от уровня моря).

Измерения g, проведённые в разных пунктах земной поверхности, сравниваются между собой после того, как они приведены к соответствующим точкам на поверхности геоида с помощью процедуры редукции Фая и Буге. Редукция Фая или в свободном воздухе - учитывает разницу (Н) высот точки измерения аномалии g и её проекции на поверхность геоида: g(geoid) = g(measur) + g(free air) = М/R 2 - М/(R+H)2 2 g 0 H/R так как H << R. Принимая g 0 = 979. 77 гал (см/сек 2) и R = 6371 км, получим g(free air) 0. 3086 Н, где Н - высота точки наблюдения над (под) геоидом – в км.

Редукция Буге Поправки Буге основаны на формуле Буге, выражающей аномалии силы тяжести, создаваемые притяжением бесконечного плоско-параллельного слоя толщины Н и распределением плотности с глубиной (z): Если высота поднятия (над геоидом – уровнем моря) равна Н и плотность пород поднятия , то поправка Буге к измеренным значениям g определяется по формуле: g(Bouger)= g(free air) - 2 Н = g(free air) - 0. 0419 Н

Обычно выбирают = 2. 67 г/см 3, и поправку берут отрицательной для измерений на суше и положительной – на дне моря. Тогда формула показывает, что на каждый километр поднятия рельефа g(Bouger) = 0. 307 – 0. 112 = 0. 195 гал. Эта формула позволяет эффективно исключать влияние местных особенностей рельефа, но только в том случае, если правильно определена плотность пород земной коры и рельеф поверхности не слишком крут. Для больших перепадов высот необходимо вносить дополнительную поправку за рельеф местности.

Главной причиной поверхностных аномалий силы тяжести являются неоднородности в распределении плотностей, рельефа поверхности и Мохо. Притяжение шара с центром на глубине h радиуса R и контрастом плотности : Притяжение бесконечного цилиндра с осью на глубине h радиусом R и контрастом плотности :

Гравитационные аномалии используются для оценки глубинных (мантийных) аномалий плотности Глубинное сечение литосферы переходной зоны Южной Бразилии бассейна Сантос (по гравитационным и сейсмическим данным, Leyden et ah, 1971; 1978).